Cours darithmétique
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ARITHMETIQUE
Lise Jean-Claude - Cours d'arithmétique -Terminale S. 1/16. ARITHMETIQUE. Partie des mathématiques étudiant les propriétés élémentaires des nombres entiers.
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Formules concernant les suites arithmétiques et les suites
terme est u12 si le premier terme est noté u1. 5°) Formule permettant de calculer la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique : a) S = nombre
I Suites arithmétiques
1°) Définition:
On appelle suite arithmétique une suite de nombres où on passe d'un terme au suivant enajoutant toujours le même nombre (ce nombre est appelé raison de la suite arithmétique et est
souvent noté r).2°) Exemple:
Suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 3:2 5 8 11 14 17 etc.
3°) Notations possibles:
Si on note u0le premier terme, on a: u0= 2, u1= 5, u2= 8, etc. et, dans ce cas, unest le (n + 1)èmeterme. Si on note u1le premier terme, on a: u1= 2, u2= 5, u3= 8, etc. et, dans ce cas, unest le nèmeterme.Dans les deux cas, u(n+1)= un+ r
4°) Formule permettant de calculer le nèmetermed'une suite arithmétique:
nèmeterme = premier terme + (n-1) × rRemarque:
Si on note u0le premier terme, on a: un= (n + 1)èmeterme = u0+nr Si on note u1le premier terme, on a: un= nèmeterme = u1+(n-1)r Exemple: le 12èmeterme de lasuite arithmétique de premier terme 2 et de raison 3 vaut2 + 11×3 soit 35.
Remarque:
Ce 12èmeterme est u11si le premier terme est noté u0. Ce 12èmeterme est u12si le premier terme est noté u1.5°) Formule permettant de calculerla somme des n premiers termes d'une suite
arithmétique: a)S = nombre de termes ×premierterme+dernierterme 2 b)Remarque: Si on note u0le premier terme, u0+ u1+u2+ ... +un= somme des (n+1) premiers termes =0 nu u(n 1)2 Si on note u1le premier terme, u1+ u2+u3+ ... +un= somme des n premiers termes =1 nu un2 http://pernoux.perso.orange.fr c)Exempleconcernant la suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 3:2 + 5 + 8 + 11+14 +17 = 6 ×2 17
2 = 57 d)Exemple "classique» (avec la suite des entiers naturels qui est la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1):1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...... + (n-1) + n =1+nn×2=n(n 1)
2 donc1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...... +67+68 =68×69
2= 2346
e)Remarque: une formuleanalogue est utilisable pour trouverla somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique quand le premier terme considéré n'est pas le premier terme de la suite arithmétiqueExemple:
u12+ u13+u14+ ... +u33+ u34=23×12 34u u 2 Exemple "classique» (avec la suite des entiers naturels qui est la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1):25 + 26 + 27 + ... + 57 + 58 =34×25+58
2= 1411
IISuitesgéométriques
1°) Définition:
On appelle suite géométrique une suite de nombres où on passe d'un terme au suivant enmultipliant toujours par le même nombre (ce nombre est appelé raison de la suitegéométrique
et est souvent noté q)2°) Exemple:
Suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3:2 6 18 54 etc.
Attention, il y a (34-12+ 1) soit 23 termes
Attention, il y a (58-25 + 1) soit 34
termes http://pernoux.perso.orange.fr3°) Notations possibles:
Si on note u0le premier terme, on a: u0= 2, u1= 6, u2= 18, etc. et, dans ce cas, unest le (n + 1)èmeterme. Si on note u1le premier terme, on a: u1= 2, u2= 6, u3= 18, etc. et, dans ce cas, unest le nèmeterme.Dans les deux cas, u(n+1)= un× q
4°) Formule permettant de calculer le nèmeterme d'une suitegéométrique:
nèmeterme = premier terme× q(n-1)Remarque:
Si on note u0le premier terme, on a: un= (n + 1)èmeterme = u0× qn Si on note u1le premier terme, on a: un= nèmeterme = u1× q(n-1) Exemple: le 12èmeterme de la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3 vaut2 × 311soit 354 294
Remarque:
Ce 12èmeterme est u11si le premier terme est noté u0. Ce 12èmeterme est u12si le premier terme est noté u0.5°) Formule permettant de calculerla somme des n premiers termes d'une suite
géométrique: a)S = premier terme ×1q q-1 (nombre de termes) b) Remarque: Si on note u0le premier terme, u0+ u1+u2+ ... +un= somme des (n+1) premiers termes (n 1)0q 1uq 1
Si on note u1le premier terme, u1+ u2+u3+ ... +un= somme des n premiers termes n1q 1uq 1
c) Exempleconcernant la suite arithmétique de premier terme 2 etde raison 3:2 +6+18+54+162=2×
53 1 243 12 2423 1 2
d) Remarque: une formule analogue est utilisable pour trouver la somme de termes consécutifs d'une suitegéométriquequand le premier terme considéré n'est pas le premier terme dela suitegéométrique.Exemple:u12+ u13+u14+ ... +u33+ u34=u12×
23q 1q 1
Attention, il y a (34-12+ 1) soit 23 termes
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