Cours darithmétique
Ce document est la premi`ere partie d'un cours d'arithmétique écrit pour les él`eves pré- parant les olympiades internationales de mathématiques.
2- La moyenne arithmétique - a) Définition
La moyenne arithmétique d'une série ou moyenne arithmétique simple se calcule par une formule qui est donnée par l'expression :.
Explication de larithmétique binaire qui se sert des seuls caractères
9 oct. 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents whether they are pub-.
CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE
CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE. 1. Congruences. Définition 1.1. Soit m a
ARITHMETIQUE
Lise Jean-Claude - Cours d'arithmétique -Terminale S. 1/16. ARITHMETIQUE. Partie des mathématiques étudiant les propriétés élémentaires des nombres entiers.
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En effet si V était réduit à {0}
Concepts de base en arithmétique
s'initier aux exercices d'arithmétique de type olympique. Il rassemble les connaissances nécessaires et suffisantes pour pouvoir résoudre des exercices de
Les déterminants de la performance arithmétique de 7 à 10 ans
2 nov. 2015 VIII.1 Prédiction de la performance arithmétique en CE2 ... et sur les compétences arithmétiques (calcul mental ; opération écrites ...
Arithmétique (Exo7)
ARITHMÉTIQUE. 1. DIVISION EUCLIDIENNE ET PGCD. 2. Terminologie : q est le quotient et r est le reste. Nous avons donc l'équivalence : r = 0 si et seulement
Formules concernant les suites arithmétiques et les suites
terme est u12 si le premier terme est noté u1. 5°) Formule permettant de calculer la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique : a) S = nombre
Arithmétique
Vidéo"partie 1. Division euclidienne et pgcd
Vidéo"partie 2. Théorème de Bézout
Vidéo"partie 3. Nombres premiers
Vidéo"partie 4. Congruences
Fiche d"exercicesArithmétique dansZ
PréambuleUne motivation : l"arithmétique est au coeur du cryptage des communications. Pour crypter un message on commence
par le transformer en un -ou plusieurs- nombres. Le processus de codage et décodage fait appel à plusieurs notions
de ce chapitre :On choisit deuxnombres premierspetqque l"on garde secrets et on posen=pq. Le principe étant que même
connaissantnil est très difficile de retrouverpetq(qui sont des nombres ayant des centaines de chiffres).
La clé secrète et la clé publique se calculent à l"aide de l"algorithme d"Euclideet descoefficients de Bézout.
Les calculs de cryptage se ferontmodulon.
Le décodage fonctionne grâce à une variante dupetit théorème de Fermat.1. Division euclidienne et pgcd
1.1. Divisibilité et division euclidienneDéfinition 1.
Soienta,b2Z. On dit quebdiviseaet on notebjas"il existeq2Ztel quea=bq.Exemple 1.7j21; 6j48;aest pair si et seulement si 2ja.
Pour touta2Zon aaj0 et aussi 1ja.
Siaj1 alorsa= +1 oua=1.
(ajbetbja) =)b=a (ajbetbjc) =)ajc (ajbetajc) =)ajb+cThéorème 1(Division euclidienne). Soit a2Zet b2Nnf0g. Ilexistedes entiers q,r2Ztels quea=bq+r et06rTerminologie :qest lequotientetrest lereste.
Nous avons donc l"équivalence :r=0 si et seulement sibdivisea.Exemple 2.
Pour calculerqetron pose la division " classique ». Sia=6789 etb=34 alors6789=34199+23
On a bien 0623<34 (sinon c"est que l"on n"a pas été assez loin dans les calculs).678934 19934338306
329306
23dividendediviseur
quotient resteDémonstration.
Existence.On peut supposera>0pour simplifier. SoitN=n2Njbn6a. C"est un ensemble non vide car n=02 N. De plus pourn2 N, on an6a. Il y a donc un nombre fini d"éléments dansN, notonsq=maxNle plus grand élément.Alorsqb6acarq2 N, et(q+1)b>acarq+1=2 N, donc
qb6a<(q+1)b=qb+b. On définit alorsr=aqb,rvérifie alors 06r=aqbSupposons queq0,r0soient deux entiers qui vérifient les conditions du théorème. Tout d"aborda=bq+r=
bq0+r0et doncb(qq0) =r0r. D"autre part06r0Soienta,b2Zdeux entiers, non tous les deux nuls. Le plus grand entier qui divise à la foisaetbs"appelle leplus
grand diviseur commundea,bet se note pgcd(a,b).Exemple 3. pgcd(21,14) =7, pgcd(12,32) =4, pgcd(21,26) =1. pgcd(a,ka) =a, pour toutk2Zeta>0. Cas particuliers. Pour touta>0 : pgcd(a,0) =aet pgcd(a,1) =1.1.3. Algorithme d"EuclideLemme 1.
Soient a,b2N. Écrivons la division euclidienne a=bq+r. Alorspgcd(a,b) =pgcd(b,r)En fait on a mêmepgcd(a,b) =pgcd(b,aqb)pour toutq2Z. Mais pour optimiser l"algorithme d"Euclide on
applique le lemme avecqle quotient.Démonstration.
Nous allons montrer que les diviseurs deaet debsont exactement les mêmes que les diviseurs deb etr. Cela impliquera le résultat car les plus grands diviseurs seront bien sûr les mêmes. Soitdun diviseur deaet deb. Alorsddivisebdonc aussibq, en plusddiviseadoncddiviseabq=r.ARITHMÉTIQUE1. DIVISION EUCLIDIENNE ET PGCD3
Soitdun diviseur debet der. Alorsddivise aussibq+r=a.Algorithme d"Euclide.On souhaite calculer le pgcd dea,b2N. On peut supposera>b. On calcule des divisions euclidiennes successives.
Le pgcd sera le dernier reste non nul.
division deaparb,a=bq1+r1. Par le lemme1 ,pgcd(a,b) =pgcd(b,r1)et sir1=0alorspgcd(a,b) =bsinon on continue : b=r1q2+r2, pgcd(a,b) =pgcd(b,r1) =pgcd(r1,r2), r1=r2q3+r3, pgcd(a,b) =pgcd(r2,r3), rk2=rk1qk+rk, pgcd(a,b) =pgcd(rk1,rk), rk1=rkqk+0. pgcd(a,b) =pgcd(rk,0) =rk.Comme à chaque étape le reste est plus petit que le quotient on sait que06ri+1 car nous sommes sûrs d"obtenir un reste nul, les restes formant une suite décroissante d"entiers positifs ou nuls : Pour touta2Z,aeta+1sont premiers entre eux. En effet soitdun diviseur commun àaet àa+1. Alorsddivise Pour deux entiers quelconquesa,b2Z, notonsd=pgcd(a,b). La décomposition suivante est souvent utile : ARITHMÉTIQUE2. THÉORÈME DEBÉZOUT43.Calculer pgcd (560,133), pgcd(12121,789), pgcd(99999,1110). T rouvertous les entiers 1 6a650 tels queaet 50 soient premiers entre eux. Même question avec 52.2. Théorème de Bézout Soient a,b des entiers. Il existe des entiers u,v2Ztels queau+bv=pgcd(a,b)La preuve découle de l"algorithme d"Euclide. Les entiersu,vne sont pas uniques. Les entiersu,vsont descoefficients Calculons les coefficients de Bézout poura=600etb=124. Nous reprenons les calculs effectués pour trouver pgcd(600,124) =4. La partie gauche est l"algorithme d"Euclide. La partie droite s"obtient debas en haut. On exprime lepgcdà l"aide de la dernière ligne où le reste est non nul. Puis on remplace le reste de la ligne précédente, et ainsi Soignez vos calculs et leur présentation. C"est un algorithme : vous devez aboutir au bon résultat! Dans la partie droite,ilfautà chaque ligne bien la reformater. Parexemple104(1241041)5se réécriten124(5)+1046 N"oubliez pas de vérifier vos calculs! C"est rapide et vous serez certains que vos calculs sont exacts. Ici on vérifie à Calculons les coefficients de Bézout correspondant à pgcd(9945,3003) =39.9945=30033+93639=9945(16)+3003533003=9363+19539= Si dja et djb alors djpgcd(a,b).Exemple : 4j16 et 4j24 donc 4 doit diviser pgcd(16,24)qui effectivement vaut 8. Démonstration.Commedjauetdjbvdoncdjau+bv. Par le théorème de Bézoutdjpgcd(a,b).Corollaire 2. Soient a,b deux entiers. a et b sont premiers entre euxsi et seulement siil existe u,v2Ztels queau+bv=1Démonstration.Le sens)est une conséquence du théorème de Bézout.Pour le sens(on suppose qu"il existeu,vtels queau+bv=1. Commepgcd(a,b)jaalorspgcd(a,b)jau. De même Si on trouve deux entiersu0,v0tels queau0+bv0=d, cela n"impliquepasqued=pgcd(a,b). On sait seulement alors Soient a,b,c2Z.Si ajbc etpgcd(a,b) =1alors ajcExemple : si 4j7c, et comme 4 et 7 sont premiers entre eux, alors 4jc. pour obteniracu+bcv=c. Maisajacuet par hypothèseajbcvdoncadiviseacu+bcv=c.2.3. Équationsax+by=cProposition 1. Sipgcd(a,b)jcalors il existe même une infinité de solutions entières et elles sont exactement les(x,y) = (x0+ Le premier point est une conséquence du théorème de Bézout. Nous allons voir sur un exemple comment prouver le second point et calculer explicitement les solutions. Il est bon de refaire toutes les étapes de la démonstration à Doncpgcd(368,161) =23. Comme115=523alorspgcd(368,161)j115. Par le théorème de Bézout, l"équation Deuxième étape. Trouver une solution particulière : la remontée de l"algorithme d"Euclide. Troisième étape. Recherche de toutes les solutions.Soit(x,y)2Z2une solution de (E). Nous savons que (on n"a aucun intérêt à remplacerx0ety0par leurs valeurs). La différence de ces deux égalités conduit à Nous avons simplifié par23qui est le pgcd de161et368. (Attention, n"oubliez surtout pas cette simplification, valeur et nous obtenons :Les solutions entières de 161x+368y=115 sont les(x,y) = (3516k,15+7k),kparcourantZ.Pour se rassurer, prenez une valeur dekau hasard et vérifiez que vous obtenez bien une solution de l"équation. Le ppcm(a,b)(plus petit multiple commun) est le plus petit entier>0 divisible paraet parb.Par exemple ppcm(12,9) =36. Il reste à montrer que c"est le plus petit multiple. Sinest un autre multiple deaet debalorsn=ka=`bdonc kda0=`db0etka0=`b0. Or pgcd(a0,b0) =1 eta0j`b0donca0j`. Donca0bj`bet ainsim=a0bj`b=n.Voici un autre résultat concernant le ppcm qui se démontre en utilisant la décomposition en facteurs premiers :Exemple 4.
Calculons le pgcd dea=600 etb=124.600=1244+104
124=1041+20
104=205+4
20=45+0
Ainsi pgcd(600,124) =4.
Voici un exemple plus compliqué :
Exemple 5.
Calculons pgcd(9945,3003).
9945=30033+936
3003=9363+195
936=1954+156
195=1561+39
156=394+0
Ainsi pgcd(9945,3003) =39.
1.4. Nombres premiers entre euxDéfinition 3.
Deux entiersa,bsontpremiers entre euxsi pgcd(a,b) =1.Exemple 6. Exemple 7.
2.1. Théorème de BézoutThéorème 2(Théorème de Bézout).
Exemple 8.
6006+124(29)
124(5)+(6001244)6124=1041+204=
124(5)+1046
104(1241041)5104=205+44=
10420520=45+0
Ainsi pouru=6 etv=29 alors 6006+124(29) =4.
Remarque.
Exemple 9.
936=1954+15639=
195=1561+3939=1951561156=394+0
À vous de finir les calculs. On obtient 9945(16)+300353=39. 2.2. Corollaires du théorème de BézoutCorollaire 1.
ARITHMÉTIQUE2. THÉORÈME DEBÉZOUT5
Démonstration.
Commepgcd(a,b) =1alors il existeu,v2Ztels queau+bv=1. On multiplie cette égalité parc Considérons l"équation
ax+by=c(E) où a,b,c2Z. 1. L "équation(
E ) possède des solutions(x,y)2Z2si et seulement sipgcd(a,b)jc. 2. Exemple 10.
Trouver les solutions entières de
161x+368y=115 (E)
Première étape. Y a-t-il des solutions? L"algorithme d"Euclide. On effectue l"algorithme d"Euclide pour calculer
le pgcd dea=161 etb=368. 368=1612+46
161=463+23
46=232+0
On effectue la
remontée de l"algorithme d"Euclide pour calculer les coefficients de Bézout. 368=1612+46
161=463+23
46=232+023=1617+368(3)
161+(3682161)(3)
23=161346
ARITHMÉTIQUE2. THÉORÈME DEBÉZOUT6
On trouve donc 1617+368(3) =23. Comme 115=523 en multipliant par 5 on obtient : 16135+368(15) =115
Ainsi(x0,y0) = (35,15)est unesolution particulièrede (E). 161x+368y=115 et 161x0+368y0=115
161(xx0)+368(yy0) =0
=)237(xx0)+2316(yy0) =0 =)7(xx0) =16(yy0) () 2.4. ppcmDéfinition 4.
Proposition 3.
Si ajc et bjc alors ppcm(a,b)jc.
Il serait faux de penser queabjc. Par exemple6j36,9j36mais69ne divise pas36. Par contreppcm(6,9) =18quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
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