[PDF] De la non-localité - ou le probl`eme EPR2

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De la non-localite

ou le probleme EPR2

TP IV theorique - Mecanique Quantique

Loren Coquille

Fevrier 2009

Table des matieres

1 Introduction 2

1.1 De la non-localite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 L'approche EPR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Resultats connus 5

2.1 Article EPR2, 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Preuve depmaxL= 0 pour==4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Premiere borne inferieure pourpmaxL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Article de Valerio Scarani, 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Calculs preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Amelioration de la borne inferieure surpmaxL. . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.3 Borne superieure surpmaxL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Modele des calottes spheriques, Cyril Branciard, 2008 . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1 Formulation generale du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.2 Hypothese sur les marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.3 Description du modele de Bell, 1966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.4 Description du modele des calottes spheriques . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Modele des calottes spheriques generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.1 Resultats de Cyril Branciard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.2 Resultats d'Alexandre F^ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Questions ouvertes 23

3.1 De la borne superieurepmaxLcos2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Atteinte de la bornepmaxLcos2par un modele local . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Resultats obtenus 24

4.1 Modele des calottes spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.1 Cas simplie : Alice et Bob mesurent dans le plan XZ . . . . . . . . . . . 24

4.1.2 Cas general : Alice et Bob mesurent dans toute la sphere de Bloch . . . . 27

4.2 Modele des calottes spheriques generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.1 Elements de re

exion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.2 Nouvelle forme de correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Element nouveau : explication de l'echec des modeles etudies . . . . . . . . . . . 34

5 Conclusion provisoire 37

6 Appendice 38

1

Chapitre 1

Introduction

Dans ce travail, nous nous proposons d'etudier une methode, introduite par A.C.Elitzur, S.Popescu, et D.Rohrlich, surnommes "EPR2" pour des raisons evidentes, qui vise a quantier (dans le sens de decrire quantitativement) la non-localite d'un etat quantique. Avant de decrire le probleme proprement dit, il est indispensable d'introduire le formalisme mathematique et les denitions importantes concernant la non-localite en physique quantique.

1.1 De la non-localite

La mecanique quantique decrit une experience physique comme etant constituee :

1. d'un systeme physique, dont l'etat quantique est note.

2. d'un ensemble d'observateursfOig, qui mesurent les grandeurs physiques observables

fMigsur l'etat. Le processus de mesure etant intrinsequement indeterministe, les resultats de mesure chez chacun des observateurs sont des variables aleatoires, noteesfrig. La mecanique quantique predit les statistiques de mesure, ou, de maniere equivalente pour une realisation de l'experience, la probabilite d'obtenir les resultats de mesurefrigetant donne l'etat physiquedu systeme et les observablesfMig. On note : P

Q(frigj;fMig) =Tr(

ri;Mi) ou ri;Miest le projecteur sur le sous-espace associe au resultatride la mesureMi. Decrivons a present ce qu'est une distribution de probabiltie locale, de maniere a pouvoir comprendre de facon precise en quoi la mecanique quantique est non-locale. Pour simplier les notations, nous considerons un systeme physique a deux particules, mais ceci se generalise aisement au cas de n particules. Le but est de "mathematiser" les assertions suivantes. Le comportement du systeme est dit local si :

1. chacune des particules emporte avec elle un ensemble de proprietes physiques, non necessai-

rement connues de l'observateur (et donc sur lesquelles on peut moyenner), qui determinent le resultat de mesure chez l'observateur qui la recoit. Mathematiquement, la distribution de probabiltie locale doit se factoriser : P

L((rA;rB)j;(MA;MB)) =PL(rAj;MA)PL(rBj;MB) (1.1)

2 Plus generalement, s'il existe des proprietes physiques inconnues, noteesA;Bdites variables cachees locales, on doit avoit independance conditionnelle des variables aleatoires r

AetrBrelativement aA;B:

P

L((rA;rB)j;(MA;MB)) =Z

d

AdBg(;A;B)

P

L(rAj;MA;A)PL(rBj;MB;B)

Remarque : a priori,A(ouB) est un vecteur aleatoire : il peut contenir plusieurs variables cachees. 1

2. Cette deuxieme condition est aussi appelee condition deNo Signaling. Le choix de l'ob-

servable chez l'un des observateurs ne doit pas in uencer le resultat de mesure chez l'autre. Mathematiquement, les marginales chez les deux observateurs doivent ^etre independantes du choix de l'autre, i.e. E

LrkAj;MA;MB;=ELrkAj;MA;

E

LrkBj;MA;MB;=ELrkBj;MB;

ou E designe l'esperance, etk= 1;2 (on impose cette condition sur les deux premiers moments de la v.a.rA(resp.rB)).

3. Cette condition est aussi appelee condition deNon Contextualite. Le choix des ob-

servables ne doit pas in uencer les proprietes physiques (connues ou non) de chaque particule. E

L(g(;)jMA;MB) =EL(g(;))

La troisieme condition assure que les variables cachees ne sont pas liees aux observables choisies par les observateurs. Le theoreme suivant montre que les conditions ci-dessus sont suf- santes pour obtenir les inegalites de Bell-CHSH dans le cas de deux particules et 4 settings de mesure. Nous travaillerons par la suite sur ces inegalites et sur leur generalisation a N directions de mesure. TheoremeSoientrA;rA0;rB;rB0quatre variables aleatoires { a valeurs dansf1;1g, { satisfaisant la condition de no signaling, { telles queE(rijMi) = 0;i=A;A0;B;B0, { et telles que leurs covariancesE(rArB);E(rArB0);E(rA0rB);E(rA0rB0) soient donnees. Alors les trois conditions suivantes sont equivalentes (on ne mentionne plus les observables pour simplier) :

1. Il existe une variable cachee satisfaisant la conditon de non-contextualite et telle que

E(rArA0rBrB0j) =E(rAjA)E(rA0jA0)E(rBjB)E(rB0j;B0)1. Jusque la, l'existence d'une variable cachee =figtelle que (rA;rB) sont conditionnellement

independants relativement a est possible, il sut de prendre l'ensemble des v.a.(rA;rB) indicees par l'en-

semble de toutes les observables possibles. 3

2. il existe une distribution de probabilite jointe des variables aleatoiresrA;rA0;rBetrB0

compatible avec les moyennes et covariances donnees.

3. les variables aleatoiresrA;rA0;rBetrB0satisfont les inegalites de Bell-CHSH :

jE(rArB) +E(rArB0) +E(rA0rB)E(rA0rB0)j 2 La demonstration de ce theoreme n'entre pas dans le cadre de ce travail, nous nous referons a [7].

1.2 L'approche EPR2

L'idee fondamentale de l'approche EPR2 est la suivante : des experiences bien connues comme celle d'A.Aspect montrent que la mecanique quantique est incompatible avec la notion de "realisme local", dans le sens ou les inegalites de Bell peuvent ^etre violees par un etat quantique de deux photons. Cependant, cela n'implique pas que toutes les paires de photons utilisees lors d'une experience (pour realiser les statistiques de mesure) se comportent chacune de maniere non locale. On pourrait imaginer qu'une fraction de ces paires sont "locales" (i.e. les resultats de mesure associes peuvent ^etre predits par des variables cachees locales) alors que les autres sont "non locales" et donc seules responsables de la violation des inegalites de Bell. M^eme si cette description n'est clairement pas satisfaisante d'un point de vue physique (pourquoi y aurait-il deux sortes de paires de photons? pourquoi une classe donnee fait-elle partie de la classe locale plut^ot que de l'autre?), elle constitue au moins un outil permettant de quantier la non localite. Le type de question que l'on se pose donc dans ce "probleme EPR2" est : quelle est la fraction minimale/maximale de la distribution de probabilite quantique associee aux resultats de mesure d'un etat quantique donne qui peut ^etre attribuee a une distribution de probabilite locale? Si la fraction minimale est nulle, on peut alors dire, comme EPR2, que toutes ces paires sont non locales (ou que la non-localite predite par la mecanique quantique est une propriete associee a chaque paire de particules.) Dans ce qui suit, on etudie donc les distributions de probabilite quantiques comme somme convexe d'une partie locale et d'une partie non locale : P

Q=pLPL+ (1pL)PNL

Plus precisement, pour un etat de deux particules voyageant vers deux observateurs, P Q r

A;rBj ();MA= ^a;MB=^b

=pLPL r

A;rBj ();^a;^b

+(1pL)PNL r

A;rBj ();^a;^b

doit ^etre valable pour tous les resultats de mesurerAetrBet pour toutes les directions de mesureMA;MB2S2. De plus, le poidspL( ())2[0;1] doit ^etre independant des resultats et directions de mesure. Remarquons encore que par construction,PNLsatisfait la condition de no-signaling, puisque P LetPQla satisfont eux-m^eme, mais cette distribution n'est bien s^ur pas contrainte a provenir d'une distribution de probabilite quantique. 4

Chapitre 2

Resultats connus

2.1 Article EPR2, 1992

Dans cet article, A.C.Elitzur, S.Popescu, et D.Rohrlich montrent que la distribution de probabilite associee a l'etat maximalement intrique (==4) ne contient pas de partie locale (pmaxL= 0). Ils proposent ensuite un modele local explicite qui reproduit une fractionpL= 14 (1sin(2)) de la distribution de probabilite associee a l'etat j i= cos()j00i+ sin()j11i Ceci fournit donc une borne inferieure pourpL, qui n'est pas optimale puisqu'en= 0 l'etat est factorisable etpL= 1. En eet, le modele de Bell que nous presentons par la suite modelise les statistiques de mesure de cet etat factorisable de maniere locale.

2.1.1 Preuve depmaxL= 0pour==4

Remarque :Dans leur article, EPR2 traitent le cas de l'etat singuletj i=1p2 (j01i j10i). Leur argument se base sur l'hypothese d'invariance sous rotation des correlations de cet etat, (i.e.E(rArBj^a;^b) =f(^a^b)), qui n'est pas valable pour l'etat maximalement intriquej i= 1p2 j00i+j11i), i.e.==4. Cependant, un theoreme plus general que nous ne mentionnons pas ici assure que le poids local maximal associe a tout etat maximalement intrique est nul, doncpL(==4) = 0. Cadre de l'experience : l'etatj idecrit la polarisation d'une paire de photons. L'un des deux photons est envoye vers Alice, qui mesure la polarisation selon l'axe ^a2S1. Le second est envoye vers Bob, qui mesure la polarisation selon l'axe^b2S1. Les resultats de mesure possibles chez les deux observateurs sont1. SoitEQ(^a;^b)EQ(rArBj ;(MA= ^a;MB=^b)) la fonction de correlation quantique associee, i.e. E

Q(^a;^b) =X

;=1P Q r

A=;rB=j ;(MA;MB) = (^a;^b)

On ecrit donc :

E

Q(^a;^b) =pLEL(^a;^b) + (1pL)ENL(^a;^b)

5 ouEL(resp.ENL) represente la fonction de correlation locale (resp. non locale). E Ldoit par denition satisfaire l'inegalite de Bell-CHSH (valable pour toute theorie com- patible avec le "realisme local") : jEL(^a;^b) +EL(^a0;^b) +EL(^a;^b0)EL(^a0;^b0)j 2

On fait encore trois suppositions surEL:

1. Si ^a!^b)EL(^a;^b)!1

En eet, pour l'etat singulet,EQ(^a;^a) = 1, il faut donc satisfaire cette condition pour reproduire les correlations quantiques lorsque Alice et Bob mesurent dans la m^eme direc- tion.

2.9^a;^b tq EL(^a;^b)6= 1

Le m^eme raisonnement que precedemment peut ^etre fait : la mecanique quantique predit une anti-correlation parfaite lorsque^b=^a.

3.EL(^a;^b) =f(^a^b) etEL(^a;^b) =EL(^b;^a)

Les correlations de l'etat singulet sont invariantes par rotation, i.e.EQ(rArBjsingulet;^a;^b) = ^a^b. Ceci n'implique pas queELetENLle soient tous deux, mais l'hypothese (2) est valable si on moyenne les mesures sur toutes les directions (2S2). Choisissons maintenant deux directions de mesure particulieres pour Alice et deux pour

Bob, telles que :

^a=^bdonc par l'hyp.(1)EL(^a;^b) = 1 ^b0satisfaitEL(^a;^b0) =EL(1) ^a0satisfaitEL(^a0;^b0) =EL(2) et doncEL(^a0;^b) =EL(1+2)Figure2.1 { Directions de mesure d'Alice et Bob Soitl'angle entre deux directions de mesures. On sait (hyp.(3)) queEL(^a;^b) =f(^a^b) = f(cos), doncEL(^a;^b) =EL() avec=](^a;^b).

DevelopponsEL() au voisinage de= 0 :

6 E

L(1) =EL(^a;^b0) = 1ck1+O(k+11)

E

L(2) =EL(^a0;^b0) = 1ck2+O(k+12)

E

L(1+2) =EL(^a0;^b) = 1c(1+2)k+O((1+2)k+1)

avecc >0 carjEL()j 1, etkla plus petite puissance deappairaissant dans le developpement de Taylor. Remarque :On montre facilement queEL() ne peut pas ^etre constant (egal a 1) dans un voisinage ni de zero. En eet, par l'absurde, si1;22(0;) etEL(1) =EL(2) = 1, alors

CHSH) j1 +EL(1) +EL(2)|{z}

2EL(1+2)j 2

doncEL(1+2)1)EL(1+2) = 1, c'est-a-direEL() = 18, ce qui contre- dit l'hyp.(2).

En remplacant dans CHSH, on obtient :

j1 +EL(1) +EL(2)EL(1+2)j= j1 +c(1k1) +c(1k2)c(1(1+2)k) +:::j 2 ) j ck1ck2+c(1+2)k+:::j 0 Or ceci ne peut ^etre satisfait pour les petits angles que sik1 Nous voulons maintenant voir sous quelles conditionsEQest reproduite par un modele local. On a E

Q(singulet) =^a^b= cos2

Puisquek1, la decroissance deELest plus rapide que celle deEQpour les petits angles.

Il faudra donc que les paires non locales compensent cette decroissance.Figure2.2 { Decroissance des correlations quantique et classique au voisinage de= 0

7

Mais commejENL()j 1, on a au mieux :

p

LEL() + (1pL)1pLEL() + (1pL)ENL() =EQ()

Pour les petits angles :

p L(1c k+:::)|{z} E

L()+(1pL)1(2)2+:::|{z}

E Q() pLc k+pL(:::) + 11(2)2+::: aveck1 etc >0. Cette inegalite est fausse poursusamment petit sauf sipL= 0. On a donc montre que p maxL= 0 pour l'etat singulet. Remarque :La demonstration a ete faite pour des settings dansS1, elle est donc a fortiori valable pour des settings dansS2(plus de conditions ne peuvent que faire baisserpmaxL).

2.1.2 Premiere borne inferieure pourpmaxL

Pour l'etat general

j i= cos()j00i+ sin()j11i on n'a plus invariance sous rotation, les hypotheses surELsont remplacees par :

1. Si ^a et^b! j0iouj1i )EL(^a;^b)!1

En eet, pour l'etat singulet,EQ(^a;^a) = 1, il faut donc satisfaire cette condition pour reproduire les correlations quantiques lorsque Alice et Bob mesurent dans la m^eme direc- tion.

2.9^a;^b tq EL(^a;^b)6= 1

Ces nouvelles hypotheses permettent de mettre un poidspLnon nul dansPQ, comme nous allons le voir. Le modele local propose par Elitzur, Popescu et Rohrlich en 1992 est le suivant : P

Q=pLPL+ (1pL)PNL

avec P L r

A=;rB=j ();MA= ^a;MB=^b

=14 [1 +sgn(az)][1 +sgn(bz)] Par denition, le modele predit la probabilite pour un observateur d'obtenir un resultat donne, pour une direction de mesure donnee, et la probabilite jointe pour les deux observateurs est le produit des deux probabilites "individuelles". On a par exemple (pour l'un des deux observateurs) : P

L(r= +1jM= ^v= (v;v)) =(v)

avec (v) =8 :1si v2[0;=2[

1=2si v==2

0si v2]=2;]

8 Figure2.3 { Modele local EPR2 pourPL(r= +1jM= ^v= (v;v))

Et donc

P L r

A= +1;rB= +1jMA= ^a;MB=^b

=(a)(b) Pour trouver la fraction maximale de paires de photons qui peuvent ^etre decrite par un modele local donne, on cherche le maximum de l'ensemble despLqui sont compatibles avec une distribution non-localePNLpositive (ou nulle), i.e. p maxLmax p

LjPNL=PQpLPmodeleL1pL0

Precisons que l'on obtient une borne inferieure surpmaxLcar onetudie un modele local particulier. Les auteurs ont montre que ce modele local mene a une distributionPNLvalide sipL 14 (1sin(2)), i.e. p maxLmax p

LjPNL=PQpLPEPR2L1pL0

=14 (1sin(2))Figure2.4 { Borne inferieure surpmaxLobtenue par EPR2 Remarque :Comme deja mentionne, ce modele ne mene pas a la bonne limite pour!0 puisqu'un etat produit peut ^etre completement decrit par un modele local. Ici : ==4)pL= 0 mais= 0) j i=j00ietpL= 1=4 9 On obtient donc une borne inferieure surpmaxL: le contenu localPQest au moins de14 (1sin(2)). Ceci montre que les correlations provenant d'un etat non maximalement intrique ne sont pas totalement non-locales.

2.2 Article de Valerio Scarani, 2008

2.2.1 Calculs preliminaires

On etudie toujours le cas d'un etat pur non maximalement intrique de deux particules : j ()i= cosj00i+ sinj11i et on decompose la distribution de probabilite quantique (donnant les resultats de mesure) en une somme convexe d'une distribution locale et d'une distribution non-locale : P Q r

A;rBj ();MA= ^a;MB=^b

=pLPL r

A;rBj ();^a;^b

+(1pL)PNL r

A;rBj ();^a;^b

En calculant explicitementPQau moyen des projecteurs associes aux resultats de mesuresrA etrB, on obtient :1 P Q=14

1 +rAEQ(rAj ();^a) +rBEQ(rBj ();^b) +rArBEQ(rArBj ();^a;^b)

avec les expressions suivantes pour les marginales et la correlation quantique : E

Q(rAj ();^a) =azcos2(2.1)

E

Q(rBj ();^b) =bzcos2(2.2)

E

Q(rArBj ();^a;^b) =azbz+ sin2(axbxayby) (2.3)

2.2.2 Amelioration de la borne inferieure surpmaxL

Une amelioration de la borne inferieure obtenue dans l'article EPR2 peut ^etre obtenue en modiant l'expression dePL(rj ;M), tout en gardant une expression produit pour la probabilite jointe (sans introduire une integrale sur une variable cachee). On pose donc : P

L(rAj ;^a) =1 +rAf(az)2

P

L(ra;rBj ;^a;^b) =14

[1 +rAf(az)][1 +rBf(bz)] avec f(x) =sgn(x)min

1;cos21sin2jxj

Par le m^eme procede, on montre que ce modele local mene a une distribution de probabilite non-localePNLvalide sipL1sin2, i.e. p maxLmax pquotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

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