[PDF] Notes de Cours dALGEBRE LINEAIRE.

View - Download Notes de Cours dALGEBRE LINEAIRE.

Previous PDF

Next PDF

Notes de Cours d'ALGEBRE LINEAIRE.

B. Landreau, D. Schaub

Departement de Mathematiques

Universite d'Angers

Introduction

L'algebre lineaire est presente dans tout probleme scientique ne f^ut-ce que dans la resolution d'un systeme d'equations lineaires. Mais aussi la plupart des problemes s'expriment, en premiere - et souvent tres grossiere - approximation en termes lineaires (graphes de fonctions, solutions approchees d'equations dierentielles, etc...). On peut aussi evoquer - pour des geographes - la necessite de reperes; un tel reperage se fait en xant d'abord une origine, puis en choisissant deux directions : c'est ce que nous appellerons une base de l'espace vectorielR2. Note Ce recueil est constitue des notes du cours d'Algebre Lineaire de L1 MPCIE donne au 2e semestre de l'annee universitaire 2014/2015. Il ne remplace evidemment pas un manuel comme on peut en trouver a la bibliotheque universitaire et ne pretend pas a l'exhaustivite. Malgre une relecture, des coquilles peuvent encore subsister ici ou la, merci de nous les signaler s'il y a lieu.

1 Espaces vectoriels surR

1.1 Generalites

Nous ne nous occuperons que de travailler sur le corpsRdes reels, m^eme si nous pourrons, ici ou la, travailler surC. Denition 1.1Un ensembleEest un espace vectoriel sur le corpsRsiEest muni d'une operation interne, notee+ayant les proprietes suivantes, pour tousv;v0;v002E: (1) associativite :v+ (v0+v00) = (v+v0) +v00; (2) commutativite :v+v0=v0+v; (3) element neutre : il existee2Etel quev+e=e+v=v(on le note0); (4) elements symetriques : il existew2Etel quev+w=w+v=e(notantepar

0, on noterawparv);

d'une multiplication par les reels ayant les proprietes suivantes, pour tousv;v02Eet tousa;b2R: (5)1v=v; (6)a(v+v0) =av+av0; 1 (7)(a+b)v=av+bv; (8)a(b(v) = (ab)v. Les elements deEseront appelesvecteurs. Ceux deRsont appelesscalaires. Exemples : 1. L'ensembleR2est muni d'une loi interne +, mais aussi d'une multiplication externe(ne pas confondre avec une multiplicationinternecomme dans la denition ci- dessus) avec les elementsa2R. Montrons certaines proprietes de "R-espace vectoriel". Faire la m^eme chose pourRn(avecn"petit"). On remarquera que tout ev (de dimension nie) est essentiellement de ce type.

2. L'espace des suites reelles est muni d'une structure d'espace vectoriel surR.

3. L'espace des matrices reelles anlignes,mcolonnes est un espace vectoriel (c'est

en faitRnm).

4. L'espaceE=F(I;R) des fonctionsf:I!Rest naturellement muni d'une

structure deR-espace vectoriel (on precisera les operations).

5. L'ensembleR[X] des polyn^omes a une variable surR, autrement dit l'ensemble des

expressions formelles du typeP(X) =a0+a1X+a2X2++adXdoua0;a1;:::;ad2R, un espace vectoriel en le munissant d'une addition :A(X)+B(X) est le polyn^ome obtenu en additionnant les coecients des termes enXideA(X) et deB(X) en considerant que si un termeXkn'appara^t pas dansAou dansB, on peut considerer le coecient comme nul. La multiplication deA(X) par un reelconsiste a multiplier tous les coecients de

A(X) par.

Exercice 1.1Rest-il un ev surR?CsurR?

Exercice 1.2a) montrer qu'on peut munirRnd'une structure d'espace vectoriel surR. b) Montrer queCpeut ^etre muni d'une structure deR-espace vectoriel. c) Montrer que0v= 0et que(1)v=v.

1.2 Sous-espaces vectoriels

Dans leplanR2, considere commeR-espace vectoriel, peut-on trouver des sous- ensemblesFqui sontstablespar addition et multiplication externe? (autrement dit, tels quev;v02F)v+v02Fet (v2F;a2R))av2F?) Donner des exemples : dans R

2,F=f(0;0g,F=f(x;y);x= 0g,F=f(x;y);x+y= 0g,F=f(x;y);x+y= 1g,

F=f(x;y);x2+y2= 0g,F=f(x;y);x2+y2= 1g,...

Denition 1.2Un sous-ensemble, non vide,Fd'unR-espace vectorielEest un sous- espace vectoriel si (i) pour tousv;v02F,v+v02F; (ii) pour toutv2Fet touta2R,av2F. Remarque 1.11. Tout espace vectoriel est un sous-espace vectoriel de lui-m^eme.

2. Un sous-espace vectorielFd'un espace vectorielEest un espace vectoriel (le

montrer). Les operations surFsont en fait induites par les operations surE. 2 Lemme 1.1Les conditions (i) et (ii) precedentes sont equivalentes a la conditions (iii) pour tousa;b2R, et tousv;v02F,av+bv02F.

La preuve est immediate.

Exercice 1.3a) Soienta;b2R, montrer que l'ensembleM=f(x;y)2R2jax+by= 0g est un sous-espace vectoriel deR2, appele \droite". Faire de m^eme dansR3pour parler de \plan". Qu'est une droite deR3? b) Faire la liste de tous les sous-espaces vectoriels deR. c) Dans les sous-ensembles suivants deR3, lesquels sont des sous-espaces vectoriels : F=f(x;y;z);2x+y+z= 0g,G=f(x;y;z);3xy+z= 3g,H=f(x;y;z);(2x+y+z)2= 0g. Lemme 1.2Toute intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. Preuve : Demontrons le pour l'intersection de deux sous-espaces vectoriels. Soit doncF;G deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectorielE. Soientx;y2F\Get;2R. Alorsx;y2F, d'ou, puisqueFest un sev,x+y2F. De maniere analogue,x;y2 lG)x+y2G. D'oux+y2F\G. D'ou le resultat. Pour un nombre quelconque de sev, la demonstration est similaire.

2 Familles de vecteurs generatrices, libres; bases

Les notions abordees dans cette section sont centrales pour toute l'algebre lineaire. Ce sont les notions de familles generatrices, de familles libres, et donc debases, qui donnent tout son inter^et a l'algebre lineaire.

2.1 Parties generatrices

Denition 2.1Etant donne un ensemble de vecteursV=fv1;:::;vngd'un espace vecto- rielE, on appelle combinaison lineaire des vecteurs deVou des vecteursv1;:::;vntoute expression de la formea1v1+a2v2++anvnoua1;:::;an2R(eventuellement nuls). Exemple 2.11. Soiente1= (1;0)ete2= (0;1)dansR2. Tout vecteurv= (a;b) deR2peut alors s'ecrire comme combinaison lineaire dee1ete2. En eet, clairement, v=ae1+be2.

2. Considerons l'espace vectorielR3et les trois vecteurse1= (1;0;0);e2= (0;1;0);e3=

(0;0;1). Alors tout vecteurv= (x;y;z)deR3peut s'ecrirev=xe1+ye2+ze3. Le vecteur vest donc combinaison lineaire dee1;e2;e3. Comme c'est le cas pour tout vecteur deR3, on en conclut que la famillefe1;e2;e3gengendre toutR3, on dira que c'est une famille generatrice deR3. Exercice 2.1Montrer que l'ensemble des combinaisons lineaires d'elements d'une fa- mille de vecteursV=fv1;:::;vngforme un sous-espace vectoriel deE. 3 On appelle ce sous-espace vectorielsous-espace vectoriel engendre parV=fv1;:::;vng.

On le notera Vect(v1;:::;vn). En particulier,

Denition 2.2Si Vect(v1;:::;vn)=E, on dira queV=fv1;:::;vngest une famille generatrice ou un systeme de generateurs deE. Exemple 2.2f1gengendreR;f(1;0);(0;1)gengendreR2. Qu'en est-il deRnouCn? Exercice 2.21. Montrer que, siAetBsont deux familles de vecteurs telles queA B, alors Vect(A) est un sous-espace vectoriel de Vect(B).

2. Montrer que siFest un sev deE, alors Vect(F)=F.

3. Montrer que, siV=Vect(v1;:::;vn),Vest le plus petit sev deEcontenant

v

1;:::;vn. En deduire que

V=\

WsevdeEW3v1;:::;vnW:

Remarque 2.1En general, la reunion de 2 sev n'est pas un sev. SoientVetWdeux sev d'un evE. Alors, la reunionV[West un sev deEsi et seulement siVWou

WV(exercice).

Cette remarque conduit a la

Denition 2.3SoientV,Wdeux sev d'un evE. AlorsV+West le sous-espace engendre parVetW(autrement dit c'est le plus petit sev qui contient a la foisVetW).

2.2 Familles liees, familles libres

Denition 2.4Une famille de vecteursV=fv1;:::;vngest lineairement dependante ou liee s'il existe des nombres reels1;:::;n, non tous nuls, tels que

1v1+2v2++nvn= 0:(1)

Autrement dit, s'il existe une combinaison lineaire \non triviale" desvjqui est nulle.Une telle relation est une relation de dependance lineaire entre les vecteurs. On dit aussi que les vecteurs deVsont lineairement dependants. Dans le cas ou il n'existe pas de relation de dependance lineaire, on dit que la famille Vest libre ou lineairement independante ou encore que les vecteursv1;:::;vnforment un systeme libre. On dit alors aussi que les vecteurs sont lineairement independants. Lemme 2.1Le familleV=fv1;:::;vngest libre si et seulement si

8(1;:::;n)2Rn; 1v1+2v2++nvn= 0)1=2==n= 0:(2)

Remarque 2.21. Par convention, on dira que la famille vide est libre.

2. On notera aussi que la famillef0gest liee.

Lemme 2.2La familleV=fv1;:::;vngest liee si et seulement si l'un des vecteursvi peut s'ecrire comme combinaison lineaire des autres. 4

Preuve laissee en exercice.

Lemme 2.3Si la familleV=fv1;:::;vngest liee, pour tout vecteurw2E, la famille V

0=fv1;:::;vng [ fwgest liee. En particulier, toute famille qui contient le vecteur nul

est liee.

Preuve laissee en exercice.

2.3 Bases

Denition 2.5Un systeme de vecteurfv1;:::;vngest une base deEs'il est a la fois libre et generateur deE. Proposition 2.1Si un espace vectorielEest engendre par un systeme denvecteurs, alors tout systeme de vecteurs den+ 1vecteurs deEest lie. Preuve : la demonstration se fait par recurrence surn. Traitons le casn= 1. Dans ce cas, il existe un vecteurutel queE= Vect(u). Soit alors n'importe quel systeme de deux vecteursfv;wg. Commev2E,vpeut s'ecrire v=u, de m^eme,w=u. Si l'un de ces deux vecteurs,v;wetait nul, le systemefv;wg contenantOserait lie (puisque n'importe quel systeme contenant le vecteur nul est lie). Auquel cas, le resultat est vrai. On peut donc supposerv6= 0 etw6= 0, d'ou evidemment

6= 0 et6= 0. Mais clairement

vu=(u)(u) = 0: D'ou une combinaison lineaire non triviale (6= 0) entrevetwqui est nulle : doncfv;wg est un systeme lie. Supposons maintenant (hypothese de recurrence) que, pour tout espace vectorielE admettant un systeme de generateurs den1 vecteurs, tout systeme denvecteurs deE est lie. Considerons alorsFun espace vectoriel admettant un systeme de generateursfu1;:::;ung denvecteurs et considerons un systeme den+ 1 vecteursfv1;:::;vn+1g. Comme, pour touti= 1;:::;n+ 1,vi2E, on peut ecrirevi=i1u1++inun. Mais, pour tout i= 2;:::;n+ 1, le vecteurwi=inv11nvi2Vect(u1;:::;un1) car la dierence elimine a chaque foisun. Nous avons doncnvecteursw2;:::;wn+1dans l'espace vectoriel engendre par lesn1 vecteursu1;:::;un1. Par hypothese de recurrence, il existe donc une combinaison lineaire non triviale

2w2++n+1wn+1= 0:

En utilisant la denition dewi, on peut reecrire cette relation qui donne :

2(21v11nv2) ++n+1(n+1;1v11nvn+1) =

(221++n+1;1n+1;1)v121nv2 n+11nvn+1= 0: Comme on peut supposer que, au moins un desin6= 0 (sinon tous les vecteursv1;:::;vn2 Vect(u1;:::;un1) et le systeme est deja lie par recurrence) et que lesjne sont pas tous 5 nuls, la relation precedente est une relation de dependance lineaire. Ce qui nit la preuve.

Une consequence importante est le

Theoreme 2.1SiEadmet une base formee denvecteurs, alors toute base deEsera composee denvecteurs. Preuve : Soientfe1;:::;engetff1;:::;fmgdeux bases deE. Alors,ff1;:::;fmglibre )mnet de m^eme dans l'autre sens.

2.4 Dimension; theoreme de la base incomplete

Denition 2.6On dit qu'un espace vectorielE6=f0gest de dimension nie s'il admet au moins une famille generatrice nie. Dans toute la suite, on ne considerera que des espaces vectoriels de dimension nie, sauf mention expresse du contraire. Proposition 2.2Un espace vectoriel de dimension nie admet une base nie. Preuve : SiEest de dimension nie, alorsEadmet une famille generatricefv1;:::;vng. Rappelons qu'alors toute famille den+1 vecteurs est liee. Construisons un systeme libre de la maniere suivante. Soitu16= 0 un vecteur. Le systeme constitueA1=fu1gde ce seul vecteur est libre. Si Vect(u1) =E, ce systeme est libre et generateur, donc constitue une base deE. Si Vect(u1)6=E, alors, il existeu22Etel que le systemefu1;u2gsoit libre. Encore une fois, deux cas se presentent : soit Vect(u1;u2) =E, auquel cas ce systeme constitue une base deE, soit Vect(u1;u2)$E, auquel cas, il existe un vecteuru32Etel que le systemefu1;u2;u3gsoit libre. Et on recommence pour construire ainsiu4;u5;:::;ut. Le processus s'arr^ete parce que, chaque fois que le systeme libre construit n'engendre pasE, on peut rajouter un vecteur. Le nombre total de vecteurs qu'on peut ajouter est limite par n. Si donc, a un moment, on ne peut plus ajouter de vecteur, c'est que, necessairement, le premier terme de l'alternative est vrai, c'est-a-dire Vect(u1;u2;:::;us) =E. Ce systeme constitue alors une base deE. Au passage, on note quesn. Denition 2.7La dimension deEest le nombre de vecteurs (ou cardinal) d'une base de E(rappelons que toutes les bases ont m^eme nombre d'elements). Remarque 2.3Lorsque l'on parle de familles de vecteurs libres ou liees, l'ordre des vec- teurs n'a pas d'importance (le montrer). Par contre, s'agissant de bases, on considerera que deux systemes constitues des m^emes vecteurs, ecrits dans un ordre dierent, sont deux bases distinctes. C'est pourquoi, on preferera noter une base sous la forme(v1;:::;vn) plut^ot quefv1;:::;vng. 6 Theoreme 2.2SoitEun espace vectoriel etB= (e1;:::;en)une base deE. Alors, pour tout elementudeE, il existe un uniquen-uplet de nombres reels1;:::;n2Rtels que u=1e1++nen: Les nombres reels1;:::;nsont appeles coordonnees deudans la baseB. Pour touti,iest lai-eme coordonnee deudansB. Preuve : Le fait queBest une famille generatrice assure l'existence desi. La seule chose a montrer est donc l'unicite de cen-uplet. Pour cela, supposons qu'il y ait deux tels n-uplets :1;:::;nd'une part,1;:::;nd'autre part. On peut donc ecrireu=1e1++nen=1e1++nen, d'ou, en faisant tout passer dans un membre : (11)e1++ (nn)en= 0: Utilisant maintenant le fait que la familleBest libre, on en deduit que, pour touti=

1;:::;n,i=i.

Exemple 2.3On adim(f0g) = 0;dim(R) = 1et, plus generalement,dimR2= 2, dimRn=n(le prouver en exhibant une base de chacun de ces espaces). Le theoreme suivant a, de par ses applications, une importance primordiale : Theoreme 2.3de la base incomplete : SupposonsEunR-ev de dimension nien,A0 une partie generatrice nie deE,Aune partie libre deE,AA0. Alors, il existe une partie libre et generatrice (base)BdeEtelle queABA0. Preuve : (peut ^etre admis) Soient doncAune partie libre deEetA0une partie generatrice deE,AA0. EcrivonsA=fv1;v2;:::;vsgles vecteurs deA. Evidemment,8i= 1;:::;s,vi2A0. Alors, soit tout vecteur deA0appartient a Vect(A), auquel casA0Vect(A), donc

E= Vect(A0)Vect(A)Eet c'est ni.

Sinon, il existe un vecteurw12A0tel quew12/Vect(A). Mais cela signie que le systemeA[ fw1gest libre. Nous avons donc construit un nouveau systeme libreB0tel queAB0A0. On reedite alors le processus avecB0jouant le r^ole deA. Autrement dit, soit Vect(B0) = Vect(A0) =Eet, en posantB=B0, la question est resolue. Sinon, il existe un vecteurw22A0tel que le systemeB1=B0[ fw2gest libre. On est s^ur qu'au bout d'un nombre ni de pas, le processus s'arr^ete parce que, s=card(A)card(B0)card(B1)dim(E) =ncard(A0). Proposition 2.3SoitEun espace vectoriel de dimension nien. i) SiLest un systeme libre denvecteurs deE, alorsLconstitue une base deE. ii) SiGest un systeme de generateurs deEconstitue denvecteurs, alors il constitue une base deE. 7 Preuve : i) SiLn'etait pas une base, on pourrait la prolonger en une base dont le cardinal serait alors strictement superieur an, ce qui contredit le fait que la dimension deEestn. ii) SiGn'est pas un systeme libre, on peut trouver un vecteurv2 Gqui est combi- naison lineaire des autres (pourquoi?), on peut donc le retirer et le systemeG n fvgest un systeme generateur deE. Alors, soit le nouveau systeme est libre, soit on peut encore retirer un vecteur et on poursuit jusqu'a ce que le systeme obtenu soit libre et generateur, donc une base. Mais, par construction, cette base aura strictement moins denvecteurs, ce qui est impossible. Remarque 2.4On peut donc remarquer les equivalences pour un systeme de vecteurs

V=fv1;:::;vngd'un espace vectoriel de dimensionn:

Vest un systeme libre, Vest une famille generatrice, Vest une base deE. On peut encore noter une facon equivalente de lire ces resultats : Proposition 2.4SoitEun espace vectoriel de dimensionn. (1) Le cardinal d'une famille libre estn. (2) le cardinal d'une famille generatrice estn.

2.5 Dimension d'un sous-espace vectoriel

Denition 2.8La dimension d'un sous-espace vectoriel de dimension nie est sa dimen- sion comme espace vectoriel. Theoreme 2.4SoitEun espace vectoriel de dimension nie etFEun sous-espace vectoriel. AlorsdimFdimEetdimF= dimEssiF=E. Preuve : La dimension deFest le nombre d'elements d'une base deF. Considerons une telle baseB. D'apres le theoreme de la base incomplete, s'agissant d'un systeme libre de vecteurs deE, on peut la prolonger en une baseB0deE, le nombre de vecteurs deB0est donc superieur au nombre de vecteurs deB, d'ou dimFdimE. SiE=F, le resultat est clair. Si dimF= dimE, alorsFadmet une base (b1;:::;bn), donc un systeme libre denvecteurs, mais alors ce systeme de vecteurs, etant un systeme libre denvecteurs est aussi une base deE. DoncE= Vect(b1;:::;bn) =F.

2.6 Rang d'une famille de vecteurs, forme echelonnee

Denition 2.9SoitF=fv1;:::;vngune famille d'elements d'un espace vectorielE. On appelle rang deF, on noterg(F), la dimension du sous-espace vectoriel engendre parF, ie.rg(F) = dimVect(F). Proposition 2.5SiF=fv1;:::;vrg, alorsrg(F)r. De plus,rg(F) =rssiFest une famille libre. Preuve : La familleFetant une famille generatrice, tout systeme de plus dervecteurs est lie, d'ourg(F) = dimVect(F)r(cf. Proposition 2.1). Inversement, siFest une famille libre,rg(F) = dimVect(F)r=card(F) par la proposition 2.4 (1), d'ou l'egalite. S'il y a egalite, le systeme est necessairement aussi libre, donc est une base, d'ou le resultat. 8 Exemple 2.4Le rang du systemefugest 0 siu= 0et 1 sinon. Le rang du systemefu;vgest 0 siu=v= 0et 1 si la famille est liee (en eet, dans ce cas, soit l'un des vecteurs est nul et on se ramene au cas d'un seul vecteur, soit les 2 vecteurs sont colineaires, d'ou Vect(u;v)=Vect(u)=Vect(v). Enn si les 2 vecteurs sont lineairement independants,fu;vgforme une base de Vect(u;v), doncdim(Vect(u;v)) = 2. Proposition 2.6SoitF=fv1;:::;vrgune famille de vecteurs d'un espace vectorielE. On ne change pas le sev engendre parFet donc pasrg(F), - si on remplace un vecteurviparvi(6= 0) et en lui ajoutant une combinaison lineaire des autres vecteurs deF; - si on supprime les vecteurs nuls eventuels;quotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

[PDF] polycopié algèbre linéaire epfl

[PDF] algèbre linéaire livre pdf

[PDF] livre d'algèbre pdf

[PDF] polynomes exercices corrigés pdf

[PDF] aide-mémoire algèbre

[PDF] algebre exercice

[PDF] algèbre secondaire 1

[PDF] algebre calcul

[PDF] algèbre formules de base

[PDF] l'algèbre linéaire pour les nuls

[PDF] algèbre-trigonométrie afpa

[PDF] test afpa niveau 4 pdf

[PDF] cours de maths seconde s pdf

[PDF] algo mas 1ere livre du prof

[PDF] programme algobox