[PDF] Feuille dexercices n°15 : Estimation

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ECE2MathématiquesFeuille d"exercices n°15 : EstimationEstimation ponctuelle

Exercice 1.(☀)

La durée de vie d"une lampe est une v.a.r. qui suit une loi exponentielle de paramètre 1m inconnu. On cherche à estimer la durée de vie moyennemde la lampe. On prélève un échantillon denlampes et on noteX1,X2, ...,Xnleurs durées de vie. On poseX n=1n n P k=1X k. 1. a) Montrer queX nest un estimateur sans biais dem. b)Calculer son risque quadratique.

2.On poseYn= min(X1;:::;Xn).

a)Déterminer la loi deYn. b)En déduire queZn=nYnest un estimateur sans biais dem. c)Calculer son risque quadratique.

3.Comparer les deux estimateurs.

Exercice 2.(?)

Le second tour d"une élection met en présence deux candidats A et B.

On souhaite réaliser un sondage afin de connaître, avec un niveau de confiance de0;95, le futur

vainqueur. Sachant par ailleurs que les deux candidats sont au coude à coude, on veut réduire la marge

d"erreur à0;01.

1.Donner le nombre minimal d"électeurs à interroger si on se fie à l"inégalité de Bienaymé-Tchebychev

pour faire le calcul.

2.Même question en utilisant le théorème de la limite centrée.

Exercice 3.(☀)

SoitXune v.a.r. suivant la loi uniforme sur[0;], où >0est un paramètre inconnu. On considère

unn-échantillon(X1;X2;:::;Xn)de la v.a.r.X.

On considère les estimateurs suivants :

T n= 2X n; T0n= max(X1;X2;:::;Xn)etT00n=n+ 1n T0n oùX n=1n n P k=1X kest la moyenne empirique dun-échantillon. 1. a) Montrer queTnest un estimateur sans biais de. b)Déterminer le risque quadratique deTn. c)Tnest-il un estimateur convergent de? 2. a) Déterminer les biais et risque quadratique deT0n. b)Donner un équivalent simple en+1der(T0n).

3.Mêmes questions pourT00n.

Quel est le meilleur des trois estimateurs?

4.Écrire un programmeScilabsimulant ces trois estimateurs.1

ECE2MathématiquesExercice 4.(☀)

SoientX1;:::;Xn; Y1;:::;Ym,n+mvariables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre inconnup. On se propose d"estimerp. On suppose dans la suite quen > m.

On considère les estimateurs depsuivants :

M 1=1n n P k=1X k; M2=1m m P k=1Y ketN=M1+M22 1. a) Déterminer le biais des estimateursM1,M2etN. b)Démontrer que ces3estimateurs sont convergents? c)Quel est le meilleur des trois estimateurs?

On discutera suivant les valeurs denetm.

2.On considère des estimateurs depde la formeaM1+bM2avec(a;b)2R2.

a)Parmi ces estimateurs, lequel est le meilleur estimateur sans biais? b)Quel est son risque quadratique?

Exercice 5.(☀☀)

Un jeu télévisé consiste à poser à un candidat une succession de questions à choix multiples. Les

questions sont posées dans un ordre de difficulté croissant et rapportent de plus en plus d"argent au

candidat.

L"équipe qui conçoit les questions décide de tester la difficulté d"une d"entre elles pour savoir à quel

moment du jeu il serait préférable de la poser. Pour ce faire, on se propose de réaliser un sondage dans

la population.

Modélisation du problème

On propose à chaque personne interrogée3réponses, la réponse correcte étant la réponse1.

Le comportement d"une personne interrogée est le suivant : si elle connaît la réponse correcte, elle la donne. sinon elle choisit au hasard une destroisréponses proposées.

On prend ainsi en compte la possibilité qu"une personne interrogée donne la réponse correcte par

chance. On noteXla v.a.r. égale à la réponse donnée par la personne interrogée.

On noteYla v.a.r. égale à :

1si la personne interrogée connaît la bonne réponse,

0sinon.

Enfin, on note(paramètre que l"on cherche à estimer) la probabilité qu"une personne de la popu-

lationconnaissela réponse correcte. 1. a) Reconnaître la loi deY. b)Déterminer, en fonction de, la loi deX. On notep=P([X= 1]).

Exprimer alorsen fonction dep.

c)Quelle est, en fonction de, la probabilité qu"une personne ayant choisi la réponse1l"ait fait

car elle connaissait réellement la réponse?

2.Afin d"estimer, on constitue dans la populationngroupes de30personnes qui seront interrogées

par un enquêteur. Pour16i6n, on noteVila variable égale au nombre de réponses1obtenues dans le groupei. Les v.a.r.Visont supposées mutuellement indépendantes. On note enfinZn=V1++Vn30n.2 ECE2Mathématiquesa)Déterminer l"espérance deZn, et sa variance. b)Déterminer, à partir deZn, un estimateur sans biaisTnde. c)Déterminer le risque quadratique deTn. d)Montrer :8" >0;P([jTnj>"])6120n "2.

Que peut-on en déduire sur l"estimateurTn?

3.Dans la question précédente, on a proposé un estimateurTnde. L"estimateur initialZn, biaisé,

n"a pas été retenu mais a permis de construire l"estimateur sans biaisTn. Une estimationbdeest alors fournie par une réalisation deTn. Dans cette question, on cherche à obtenir une estimationbpdep.

Pour ce faire, on va raisonner comme suit : on part d"une réalisation(v1;v2;:::;vn)de l"échantillon

(V1;V2;:::;Vn)et on cherche à obtenir, grâce à cette donnée, le meilleur estimateur pourp.

On s"intéresse alors à la quantitéL(p)suivante :

L(p) =Pp([V1=v1]\:::\[Vn=vn])

Lest une fonction appeléevraisemblance. Elle permet de mesurer la probabilité que notre modèle

ait donné lieu à l"observation(v1;:::;vn). Le principe dumaximum de vraisemblanceest de choisir comme estimation depla valeur qui maximise la vraisemblance de modèle par rapport à la donnée(v1;:::;vn). a)Expliciter, en fonction dep, la valeur deL(p). b)Étudier les variations de la fonctionf:p7!ln(L(p)). c)Montrer quefet doncLadmet un maximum.

On notebple point en lequelfatteint ce maximum.

Remarque

La quantitébps"écrit sous la forme :

bp=h(v1;:::;vn) Elle est choisie comme estimation du paramètrep. On définit alors L"estimateurZndumaximum de vraisemblancepar : Z n=h(V1;:::;Vn)

Exercice 6.(☀)(d"aprèsESC 2006)

Dans cet exercice, on considèrer >0et la fonctionfsuivante : f:t7!8 :2tr

2sit2[0;r]

0 sit =2[0;r] 1. a) Étudier la continuité def. b)Montrer quefest une densité de probabilité. On note dans toute la suiteXune v.a.r. réelle de densitéf. F

Xdésigne sa fonction de répartition.

2. a) Déterminer la valeurFX(x)lorsquex <0, puis lorsquex > r. b)Montrer que pour tout réelxde[0;r],FX(x) =x2r 2. 3. a) Montrer queXadmet une espérance et queE(X) =2r3 .3 ECE2Mathématiquesb)Montrer queXadmet une variance et queV(X) =r218 Dans toute la suitendésigne un entier naturel non nul et(X1;X2;:::;Xn)unn-échantillon de la v.a.r.X. On cherche alors à estimer le réelr.

4.On noteTn=32nn

P k=1X ket on cherche à estimerravecTn. a)Montrer queTnest un estimateur sans biais der. b)Calculer le risque quadratique deTn(notér(Tn)).

5.On noteMnla v.a.r. prenant pour valeur le maximum des valeurs prises par les variablesX1;X2;:::;Xn,

de sorte que, pour tout réelx: [Mn6x] = [X16x]\[X26x]\:::\[Xn6x] a)Montrer que :8x2R,P([Mn6x]) = (FX(x))n.

En déduire la fonction de répartition deMn.

Puis montrer queMnest une v.a.r. à densité.

b)Montrer qu"une densité possible deMnest la fonctiongndéfinie par : g n:t7!8 :2nt2n1r

2nsit2[0;r]

0 sit =2[0;r] c)Montrer queMnadmet une espérance et une variance, et que :

E(Mn) =2n2n+ 1retV(Mn) =n(n+ 1)(2n+ 1)2r2

d)On cherche à estimerravecMn. Calculer le biais deMn, notéb(Mn), et son risque quadratiquer(Mn). 6. a) Déterminer un équivalent simple (lorsquen!+1deb(Mn)etr(Mn). b)Quels sont les avantages et les inconvénients réciproques des estimateursTnetMn?

7.Déduire deMnun estimateurUnsans biais der.

EntreTnetUn, quel estimateur derchoisissez-vous?

8.Montrer queTnest un estimateur convergent der.

9. a) Montrer que, pour tout"2]0;r[:[jMnrj> "] = [Mnr <"]. b)En déduire que, pour tout"2]0;r[: lim n!+1P([jMnrj> "]) = 0

Puis montrer queMnest un estimateur convergent.

10. a) Montrer que, pour tout"2]0;r[: [jUnrj> "] = M n>2n(r+")2n+ 1 M n<2n(r")2n+ 1 b)En déduire que, pour tout"2]0;r[:

P([jUnrj> "]) =P

M n>2n(r+")2n+ 1 +2n2n+ 1 2n 1"r 2n c)En déduire que, pour tout"2]0;r[:limn!+1P([jUnrj> "]) = 0.

Puis montrer queUnest un estimateur convergent.4

ECE2Mathématiques11.Montrer que :MnL!n!+1r.

Exercice 7.(☀)

SoitXune v.a.r. réelle admettant une espérance estmet une variance2. Soit(X1;X2;:::;Xn)unn-échantillon de la v.a.r.X.

1.Montrer queTn=1n

n P k=1X kest un estimateur sans biais dem.

2.On poseVn=1n

n P k=1(XkTn)2. a)Montrer que :Vn=1n nP k=1X2k (Tn)2. b)Montrer que :Vn=1n nP k=1(Xkm)2 (Tnm)2. c)Montrer queE(Vn) =n1n 2. d)Construire, à partir deVn, un estimateur sans biaiscVnde2. e)On dispose d"un échantillon denobservations(x1;x2;:::;xn)de la v.a.r.X. Donner une méthode pour obtenir une estimation ponctuelle de2à partir de ces observations. Exercice 8.(☀☀)(adapté deESSEC 2009 - Maths II)

La sécurité routière fait une enquête sur le nombre d"accidents survenus par semaine sur un tronçon

d"autoroute. SoitXla v.a.r. égale au nombre d"accidents par semaine. On suppose queXsuit une loi de Poisson de paramètreinconnu (2]0;+1[).

On se propose d"évaluer le paramètre e

=P([X= 0]). On noteX1,X2, ...,Xnles résultats des observations faites pendantnsemaines. On supposeX1;:::;Xn indépendantes et de même loi queX.

1.Pour touti2J1;nK, on définitYipar :Yi= 1siXi= 0, etYi= 0sinon.

On note aussi :Y

n=1n n P i=1Y i. a)Pour touti2J1;nK, donner la loi deYi. b)Montrer queY nest un estimateur sans biais de e. c)Calculer le risque quadratique deY n. d)Montrer queY nest un estimateur convergent de e. e)Expliquer pourquoiY nest un estimateur " naturel » de e. Cet estimateur ne tient pas compte du fait queXsuit une loi de Poisson. On peut donc espérer trouver un meilleur estimateur sans biais convergent de e

2.On poseSn=nP

i=1X i. a)Quelle est la loi deSn? b)Calculer l"espérance de eSnn

à l"aide du théorème de transfert.

c)Montrer que eSnn est un estimateur biaisé de e. d)Montrer que eSnn est asymptotiquement sans biais, c"est-à-dire quelimn!+1E eSnn =e.5 ECE2Mathématiques3.Pour tout entier naturelj, on définit la probabilité conditionnelle : '(j) =P[Sn=j]([X1= 0])

Montrer que, pour toutj2N,'(j) =

11n j On a donc'(j)indépendant du paramètreinconnu. 4. a) Montrer que'(Sn)est un estimateur sans biais de e. b)Calculer le risque quadratique de'(Sn). c)Montrer que'(Sn)est un estimateur convergent de e. 5. a) En utilisant le théorème des accroissements finis, démontrer que :

16exp()1

6exp()

b)Soithla fonction définie sur[0;1]parh(t) =texp() + (1t)exp(t).

Étudier les variations deh.

c)En déduire que :expn

6exp()n

+n1n d)Quel est le meilleur estimateur de eentre'(Sn)etY n?6

ECE2MathématiquesProblème(ESSEC I 2007)

Dans tout l"exercice, les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé(

;T;P).

I. Préliminaires

Dans cette partieI.,désigne un réel strictement positif.

1.SoitXune variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre.

a)Déterminer la fonction :x7!P([X > x])(appeléefonction de survie deX).

Démonstration.

CommeX ,! E(), sa fonction de répartition est donnée par : F

X:x7!(0six <0

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