[PDF] CONCOURS COMMUN H.E.C. E.S.C.P. E.S.C.L. 1995

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CONCOURS COMMUN H.E.C. E.S.C.P. E.S.C.L. 1995

MATHÉMATIQUES II

OPTIONS: ÉCONOMIQUE ET TECHNOLOGIQUE

Ce problème est consacré à l"étude de la loi de Pareto (ViIfredo Pareto 1848-1923).

La première partie étudie les propriétés de cette loi. On montre ensuite, sur un exemple, comment elle

permet de modéliser de façon très satisfaisante des phénomènes rencontrés en démographie. Les revenus

d"une population sont aussi très bien modélisés par une loi de Pareto, et on compare deux modes de calcul

d"impôts sur des revenus suivant une loi de Pareto. La seconde partie est l"étude de l"indice d"inégalité de

Gini dans le cas d"une loi de Pareto.

Toutes les variables aléatoires considérées dans ce problème sont à valeurs réelles.

PARTIE I. La loi de Pareto.

Dans tout le problèmeetx0désignent deux nombres réels strictement positifs.

On dit qu"une variable aléatoire réelleXsuit une loi de Pareto de paramètresetx0siX, à valeurs dans

[x0;+1[, admet pour densité la fonctionfdé...nie par : (f(x) = 08x < x0 f(x) =x0x +18xx0

On écrit alors queXsuitV P(;x0).

A. Quelques résultats probabilistes.

1. SoitXune variable aléatoire suivantV P(;x0).

a)fest continue par morceaux surR(x+16= 0pourxx0>0) et positive.R+1

1fest impropre en1:Rx0

1f=Rx0

10converge et vaut 0.Z

M x 0f=Z M x 0x0x +1dx= x0x M x=x0=x0M +x0x

0!1quandM!+1car >0donc

R +1 x

0fconverge et vaut 1.

DoncR+1

1f= 1etfest bien une densité de probabilités.

b) On aF(x) =Z x 1 fdonc pourx < x0on aF(x) =Rx

10 = 0et

pourxx0:F(x) =Rx0

10 +Rx

x

0f= 1x0x

= 1x0x

Pourxx0;ln(1F(x)) = lnx0x

=ln(x0)ln(x)carxetx0>0

2. SoitXune variable aléatoire suivantV P(;x0):

a)Xadmet une espérance siR+1

1xf(x)dxconverge (impropre en1)Rx0

1xf(x)dx=Rx0

10 = 0swp0000Page 1/??

Z +1 x

0xf(x)dx=Z

+1 x 0x0x dxintégrale de Rieman qui converge si et seulement si >1

Et pour >1 :Z

M x

0xf(x)dx=

1x 0x 1 M x=x0=1 x0M 1x0x 10 !x01 quandM!+1car >0 doncXa une espérance si et seulement si >1;etE(X) =x01 b)Xadmet une variance si et seulement si elle a une espérance ( >1)et siX2en a une : siR+1

1x2f(x)dxconverge.Rx0

1x2f(x)dx=Rx0

10 = 0Z+1

x

0x2f(x)dx=Z

+1 x 0x0x

1dxintégrale de Rieman qui converge si et seulement si1>1

Et pour >2 :Z

M x

0x2f(x)dx=

2x 0x 2 M x=x0=2 x0M 2x0x 20 !x202 quandM!+1car >0 DoncX2a une espérance si et seulement si >2etE(X2) =x202

D"où,Xa une variance ssi >2etV(X) =x202x01

2 =x2022+ 12+ 2(2)(1)2 x

20(2)(1)2

3. Soient une variable aléatoireXsuivantV P(;x0)

La fonction de répartitionGdeY=Xest dé...nie parG(x) =p(Yx) =p(Xx) = p(Xx=)car >0=F(x=)avecFla fonction de répartition deX:Donc pourx= < x0i.e.xx0on aG(x) = 0et pourxx0:G(x) = 1x0(x=)= 1(x0)x et on reconnait là, la fonction de répartition deV P(;x0)(avecx0>0). Conclusion :Ysuit la loiV P(;x0).DoncYsuit cette loi.

4. Soit une variable aléatoireWqui suit une loi exponentielle de paramètre >0:

Soientkun nombre réel strictement supérieur à 1 etx0un nombre réel strictement positif. La fonciton de répartition deT=x0kWestGdé...nie parG(x) =p(Tx) =px0kWx

On résout :

x0kWx=kWx=x0carx0>0 = (Wln(k)ln(x=x0))six >0carx=x0du signe dex

Wln(x=x0)ln(k)

carln(k)>0cark >1donc Donc six0alorsG(x) = 0 swp0000Page 2/?? si0< xalorsln(x=x0)<0etG(x) =p

Wln(x=x0)ln(k)

=Fln(x=x0)ln(k) avecFla fonction de répartition deW

On a alors le choixde chercher la fonction de répartition de la loi exponentielle ou de revenir au

théorème caractérisant les fonctions de répartitions de variables à densité : CommeWest à densité,Fest continue surRet tend vers0en -1:

DoncGest continue sur]1;0]et sur]0;+1[

En0+:quandx!0on aln(x=x0)! 1et doncFln(x=x0)ln(k)

!0 =G(0)doncGest continue en0+donc surR. CommeFestC1surRalorsGestC1surRnfx0g(le point pour lequelln(x=x0) = 0)

DoncTest à densité de densité

g(x) =G0(x) = 0sur]1;0[et g(x) =F0ln(x=x0)ln(k)

1lnk1x

=fln(x=x0)ln(k)

1ln(k)1x

pourx >0etx6=x0 -Pour0< x < x0on aln(x=x0)<0et doncg(x) = 0 -Pourx > x0:g(x) = eln(x=x0)lnk1lnk1x =x0x =lnk1lnk1x =lnkx =lnk 0x =lnk+1

Finalement on reconnait la densité deV P

ln(k);x0 la fonction de répartition d"une variable à densité

Conclusion :Tsuit la loiP

ln(k);x0 .5. Soit une variable aléatoireXsuivantV P(;x0). La probabilité quepXsoit dé...nie est de 1 car la densité deXest nulle surR SoitGla fonction de répartition depX, etFcelle deX:

G(x) =ppXx

donc six <0on aG(x) = 0 six0on aG(x) =p(Xx2) =F(x2) =8 :0six2< x0i.e.0x Conclusion :Donc la loi de pXestV P2;px

0B. Propriété caractéristique de la loi de Pareto.

Soient une variable aléatoireXde densitéf, admettant une espérance, et un nombre réelxtel queR+1

xf(t)dt6= 0: On appelle moyenne deXsur[x;+1[le nombre réelM(x)égal àR +1 xtf(t)dtR +1 xf(t)dt. swp0000Page 3/??

1.(M(x)x)()R+1

xtf(t)dtxR+1 xf(t)dt car le dénominateur est strictement positif. (puisque non nul et positif)

On doit donc comparer deux intégerales

xR+1 xf(t)dt=R+1 xxf(t)dt et donc on compare leurs contenus : Pourtxon atf(t)xf(t)carf(t)0donc en intégrant pourNx;RN xtf(t)dtRN xxf(t)dtR +1

1f(t)dtconverge carfest une densité etR+1

1tf(t)dtcarXa une densité.

Donc par passage à la limite dans les inégalités quandN!+1,R+1 xtf(t)dtR+1 xxf(t)dt= x R+1 xf(t)dtd"oùR +1 xtf(t)dtR +1 xf(t)dtxet

Conclusion :M(x)xpour tout réelx2. Dans cette question on suppose que la variableXsuitV P(;x0)avec >1.

Pour toutx2Ron aR+1

xf(t)dt= 1F(t)6= 0:(avecFla fonction de répartition deX)

Pourxx0; F(x) = 1x0x

etZ +1 x f(t)dt=x0x Z N x tf(t)dt=Z N x x0t dt= 1x 0t 1 N t=x =1 x0N 1x0x 1 1x 0x 1=Z +1 x tf(t)dt etM(x) =1x 0x 1x 0xquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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