[PDF] Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités





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MSI 101

Exercice 8. Soit E(x) la partie entière de x. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : f : x ↦→ √x − E(x) g : x ↦→ E(x) + √x 



Mathématiques SN4

25 mai 2020 Exercices associés dans Netmath : ○ Fonctions partie entière;. ○ Étudier le graphique de la fonction partie entière de la forme f(x) = [bx].



Ayoub et les maths

Soit la fonction partie entière définie sur ℝ. On rappelle que pour tout réel ( ) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à . Ainsi



350 exercices corrigés dAnalyse

❏ Partie entière : soit x ∈ R il existe un unique entier relatif p ∈ Z La fonction x → sin(x) − cos(2x) est 2π-périodique





Corrigé TD 3 Exercice 1.

∼ x où E(x) désigne la fonction partie entière. Par définition de la partie On peut donc conclure que −2πx est un équivalent (c.f. aussi l'exercice 3).



Corrigé du TD no 11

la partie entière nous avons : 10nα ≤ ⌊10nα⌋ < 10nα + 1 d'où : α ≤ un valeur absolue est continue donc la fonction



Mathématiques : du lycée aux CPGE scientifiques

On exprimera Nn à l'aide les fonctions partie entière et logarithme décimal. 51. Page 52. Exercice 139 ( 3 ). Déterminer la limite de la suite (un)n≥1 



Thème : nombres

Dans cet exercice on note la fonction partie entière. On a par exemple : (π) = 3



MSI 101

Exercice 8. Soit E(x) la partie entière de x. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : f : x ?? ?x ? E(x).



Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités

où p est un entier naturel et les ai sont des entiers éléments de {0



chapitre 5 : fonction partie entière - solutionnaire

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Corrigé Série dexercices n°4 : Les fonctions et procédures

Exercice 1 : Ecrire une fonction ou procédure qui calcule la partie entière d'un nombre positif. Fonction entiere (x : reel) : 



Chapitre 10 : Borne sup partie entière

https://www.faidherbe.org/~pcsimath/pcsi2/exoscolle/chap10.pdf



Chapitre 14 NOMBRES RÉELS Enoncé des exercices

Exercice 14.7 Soit n un entier non nul donner une formule simple (utilisant la fonction partie entière) pour déter- miner le nombre de chiffres de n.



Corrigé du TD no 9

D'autre part on constate que f(0) = 1 donc 1 est à la fois un majorant et une valeur de la fonction f. Par conséquent



EXERCICES SUR LES SÉRIES ENTIÈRES

9 Jan 2012 Si la fonction f est de classe Cn+1 sur [a b]



Chapitre 18 FONCTIONS RÉELLES CONTINUITÉ Enoncé des

Ainsi f n'a pas de limite en 0. Exercice 12.15. 1. On sait que la fonction partie entière est continue sur R Z et est continue à droite en tout 



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CHAPITRE 5 : FONCTION PARTIE ENTIÈRE SOLUTIONNAIRE-----------> EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES 1- C 2- B Page 2 4 a) B b) D c) A d) C 5 a) D b) C c) A d) B 



[PDF] Valeurs absolues Partie entière Inégalités - Exo7

Exercice 10 **I Soient n un entier naturel et x un réel positif 1 Combien y a-t-il d'entiers naturels entre 1 et n ? entre 1 et x ?



Partie entière : Cours et exercices corrigés - Progresser-en-maths

Propriétés · La partie entière est une fonction croissante · Elle est continue par morceaux · Elle est dérivable sur tout intervalle de la forme ] n ; n + 1 [ ]n 



[PDF] MSI 101 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

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Fonction partie entière - etude-generalecom

16 jan 2022 · Exercice 1 (La fonction partie entière exercices corrigés) Soit ƒ la fonction numérique définie par : ƒ(x) = tan(?x)/x?E(x) Déterminer D 



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Soit la fonction partie entière définie sur ? On rappelle que pour tout réel ( ) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à



f1 Fonction Partie Entiere Cours PDF - Scribd

La fonction partie entière est la fonction définie sur ? qui à tout réel associe l'entier relatif tel que ? ? + On note cette fonction Exercice d' 



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Exercice 14 7 Soit n un entier non nul donner une formule simple (utilisant la fonction partie entière) pour déter- miner le nombre de chiffres de n



Exercices sur la partie entière - 01 - Math-OS

9 sept 2019 · Neuf exercices de difficulté graduée sur la fonction partie entière (fiche n° 1)

  • Comment déterminer la partie entière d'une fonction ?

    En mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière suivante : Pour tout nombre réel x, la partie entière notée E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. Par exemple : E(2,3) = 2, E(?2) = ?2 et E(?2,3) = ?3.

  • Comment déterminer la partie entière d'un nombre réel ?

    Si x est un réel, la partie entière de x est le plus grand entier n qui est inférieur ou égal à x . En clair, la partie entière de x est le seul entier n?Z n ? Z tel que n?x<n+1 n ? x < n + 1 .

  • Quelle est la partie entière ?

    Les nombres décimaux
    La partie entière est à gauche de la virgule. La partie décimale. est à droite de la virgule.
  • Si on trace une droite graduée de 1 en 1 et qu'on place par exemple 5,5 ou -5,5, la partie entière est le nombre entier, si le nombre qu'on a placé n'est pas entier, situé avant ce nombre. la partie entière de 5,1;5,01;5,6 est 5.
Exo7 Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1**I Moyennes arithmétique, géométrique et harmoniqueSoientxetydeux réels tels que 0 (moyenne arithmétique),g=pxy(moyenne géométrique) et 1h =12 (1x +1y )(moyenne harmonique). Montrer quex6h6g6m6y. qu"avec les deux opérations+et) que pourn2N,(1+1n )n<3.

Pour cela développer, puis majoreruk=Cknn

ken commençant par majorervk=uk+1u kpar12

Montrer que(a1+a2+:::+an)(1a

1+:::+1a

n)>n2(développer et penser àf(x) =x+1x j nå k=1a kbkj6nå k=1jakj:jbkj6sn k=1a2ksn k=1b2k:

(Indication. Considérer le polynômef(x) =ånk=1(ak+bkx)2, développer puis ordonner suivant les puissances

décroissantespuisutiliser, danslecasgénéral, lesconnaissancessurleseconddegré). Retrouveralorslerésultat

de l"exercice 4 inférieur ou égal à 14 1

2.Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)6E(x+y).

3. Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y). n=a0+10a1+:::+10pap;

oùpest un entier naturel et lesaisont des entiers éléments def0;:::;9g,apétant non nul. Déterminerpen

fonction den. 2. 1. Combien y a-t-il d"entiers naturels entre 1 et n? entre 1 etx? 2. Combien y a-t-il d"entiers naturels entre 0 et n? entre 0 etx? 3.

Combien y a-t-il d"entiers naturels pairs entre 0 et x? Combien y a-t-il d"entiers naturels impairs entre 0

etx? 4.

Combien y a-t-il de multiples de 3 entre 0 et x?

5. Combien l"équation x+2y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle de couples solutions ? 6. De combien de f açonspeut-on payer 10 euros a vecdes pièces de 10 et 20 centimes d"euros ? 7.

(***) Combien l"équation 2 x+3y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle

de couples solutions ? ) =E(nx)(poser la division euclidienne deE(nx)parn). (n+2E(n25 ))) =E(8n+2425 1. Montrer qu"il e xiste(an;bn)2(N)2tel que(2+p3)n=an+bnp3, puis que 3b2n=a2n1. 2. Montrer que E((2+p3)n)est un entier impair (penser à(2p3)n)). 2 ) =E(x).

Montrer quejx1+2x2+:::+nxnj6E(n24

(commencer par vérifier que pourk=2;3;:::;n, on a :(nk+1)k>n). (remarquer que six2[0;1];x26x). Correction del"exer cice1 NSoientxetydeux réels tels que 0On a déjà x=x+x2 6x+y2 =m6y+y2 =yet doncx6m6y. (on peut aussi écrire :mx=x+y2 x=yx2 >0). 2.

On a ensuite x=px:x6pxy=g6py:y=yet doncx6g6y.

3.mg=x+y2

pxy=12 ((px)22pxy+(py)2) =12 (pypx)2>0 et donc,x6g6m6y. 4.

D"après 1), la mo yennearithmétique de

1x et1y est comprise entre1x et1y , ce qui fournit1y 61h
61x
, ou encore x6h6y. 5. D"après 3), la mo yennegéométrique des deux réels 1x et1y est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique. Ceci fournitq1 x :1y 612
(1x +1y )ou encore1g 61h
et finalement x6h6g6m6yoù1h =12 1x +1y ,g=pxyetm=x+y2 .Remarque 1.On ah=2xyx+y, mais cette expression ne permet pas de comprendre que1h est la moyenne arithmétique de 1x et1y Remarque 2.On peut visualiser l"inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique.

Si(ABC)est un triangle rectangle enAetA0est le pied de la hauteur issue deA, on sait queAA02=A0B:A0C.

On se sert de cette remarque pour construireget la comparer graphiquement àm. Onaccolledeuxsegmentsdelongueursrespectivesxety. Onconstruitalorsuntrianglerectangled"hypothénuse

ce segment (de longueurx+y) noté [BC], tel que le troisième sommetAait une projection orthogonaleA0sur

(BC)vérifiantBA0=xetCA0=y.x+ym g x y A

B CALa moyenne arithmétique dexetyestm=x+y2

, le rayon du cercle, et la moyenne géométrique dexetyest g=pxy=pA

0B:A0C=AA0, la hauteur issue deAdu triangle(ABC).Correction del"exer cice2 N(1+a)n= (1+a):::(1+a) =1+na+:::>1+na.Correction del"exer cice3 N4

Pourn2N,(1+1n

)n=ånk=0Cknn k. Pourk2 f0;:::;ng, posonsuk=Cknn kpuisvk=uk+1u k. Pourk2 f1;:::;n1g, on a alors v k=Ck+1n:nkC kn:nk+1=1n +n+1n(k+1) 61n
+n+12n(cark>1) 12

12n<12

Ainsi, pourk2 f1;:::;n1g,uk+1612

uket donc, immédiatement par récurrence, u k612 k1u1=12 k1nn =12 k1:

En tenant compte deu0=1, on a alors pourn2N,

(1+1n )n=nå k=0u k61+nå k=112 k1=1+112 n112 =1+2(112 n) =312 n1<3:Correction del"exer cice4 NSoientn2Neta1,a2,...,an,nréels strictement positifs. nå i=1a i! nå j=11a j!

16i;j6na

ia j=nå i=1a ia i+å

16i j+aja i) =n+å

16i j+aja i)

Pourx>0, posons alorsf(x) =x+1x

.fest dérivable sur]0;+¥[et pourx>0,f0(x) =11x

2=(x1)(x+1)x

2.f

est donc strictement décroissante sur]0;1]et strictement croissante sur[1;+¥[.fadmet ainsi un minimum en

1. Par suite,

8x>0;f(x)>f(1) =1+11

=2:

(Remarque.L"inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique permet aussi d"obtenir le résultat :

12 (x+1x )>rx:1x =1:)

On en déduit alors que

nå i=1a inå j=11a j>n+å

16i

=n2:Correction del"exer cice5 NPourxréel, posonsf(x) =ånk=1(ak+bkx)2. On remarque que pour tout réelx,f(x)>0. En développant lesn

carrés, on obtient, f(x) =nå k=1(b2kx2+2akbkx+a2k) = (nå k=1b2k)x2+2(nå k=1a kbk)x+(nå k=1a2k):

1er cas.Siånk=1b2k6=0,fest un trinôme du second degré de signe constant surR. Son discriminant réduit est

alors négatif ou nul. Ceci fournit 5

0>D0= (nå

k=1a kbk)2(nå k=1b2k)(nå k=1a2k); et donc nå k=1a kbk 6sn k=1a2ksn k=1b2k:

2ème cas.Siånk=1b2k=0, alors tous lesbksont nuls et l"inégalité est immédiate.

Finalement, dans tous les cas,

j

ånk=1akbkj6qå

nk=1a2kqå

nk=1b2k:Cette inégalité est encore valable en remplaçant lesaket lesbkpar leurs valeurs absolues, ce qui fournit les

inégalités intermédiaires.

Retrouvons alors l"inégalité de l"exercice

4 . Puisque lesaksont strictement positifs, on peut écrire : nå i=1a i! nå i=11a i! nå i=1pa i2! nå i=1r1 a i2 nå i=1pa ir1 a i! 2

=n2:Correction del"exer cice6 NSi l"un des réelsa,boucest strictement plus grand que 1, alors l"un au moins des trois réelsa(1b),b(1c),

c(1a)est négatif (puisquea,betcsont positifs) et donc inférieur ou égal à14 Sinon, les trois réelsa,betcsont dans[0;1]. Le produit des trois réelsa(1b),b(1c)etc(1a)vaut a(1a)b(1b)c(1c):quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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