[PDF] EXERCICES SUR LES SÉRIES ENTIÈRES





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Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités

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Exercice 8. Soit E(x) la partie entière de x. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : f : x ↦→ √x − E(x) g : x ↦→ E(x) + √x 



Mathématiques SN4

25 mai 2020 Exercices associés dans Netmath : ○ Fonctions partie entière;. ○ Étudier le graphique de la fonction partie entière de la forme f(x) = [bx].



Ayoub et les maths

Soit la fonction partie entière définie sur ℝ. On rappelle que pour tout réel ( ) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à . Ainsi



350 exercices corrigés dAnalyse

❏ Partie entière : soit x ∈ R il existe un unique entier relatif p ∈ Z La fonction x → sin(x) − cos(2x) est 2π-périodique





Corrigé TD 3 Exercice 1.

∼ x où E(x) désigne la fonction partie entière. Par définition de la partie On peut donc conclure que −2πx est un équivalent (c.f. aussi l'exercice 3).



Corrigé du TD no 11

la partie entière nous avons : 10nα ≤ ⌊10nα⌋ < 10nα + 1 d'où : α ≤ un valeur absolue est continue donc la fonction



Mathématiques : du lycée aux CPGE scientifiques

On exprimera Nn à l'aide les fonctions partie entière et logarithme décimal. 51. Page 52. Exercice 139 ( 3 ). Déterminer la limite de la suite (un)n≥1 



Thème : nombres

Dans cet exercice on note la fonction partie entière. On a par exemple : (π) = 3



MSI 101

Exercice 8. Soit E(x) la partie entière de x. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : f : x ?? ?x ? E(x).



Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités

où p est un entier naturel et les ai sont des entiers éléments de {0



chapitre 5 : fonction partie entière - solutionnaire

CHAPITRE 5 : FONCTION PARTIE ENTIÈRE. SOLUTIONNAIRE-----------> EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES. 1- C 2- B. Page 2. 4. a) B b) D c) A d) C. 5. a) D b) C c) A d) B 



Corrigé Série dexercices n°4 : Les fonctions et procédures

Exercice 1 : Ecrire une fonction ou procédure qui calcule la partie entière d'un nombre positif. Fonction entiere (x : reel) : 



Chapitre 10 : Borne sup partie entière

https://www.faidherbe.org/~pcsimath/pcsi2/exoscolle/chap10.pdf



Chapitre 14 NOMBRES RÉELS Enoncé des exercices

Exercice 14.7 Soit n un entier non nul donner une formule simple (utilisant la fonction partie entière) pour déter- miner le nombre de chiffres de n.



Corrigé du TD no 9

D'autre part on constate que f(0) = 1 donc 1 est à la fois un majorant et une valeur de la fonction f. Par conséquent



EXERCICES SUR LES SÉRIES ENTIÈRES

9 Jan 2012 Si la fonction f est de classe Cn+1 sur [a b]



Chapitre 18 FONCTIONS RÉELLES CONTINUITÉ Enoncé des

Ainsi f n'a pas de limite en 0. Exercice 12.15. 1. On sait que la fonction partie entière est continue sur R Z et est continue à droite en tout 



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CHAPITRE 5 : FONCTION PARTIE ENTIÈRE SOLUTIONNAIRE-----------> EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES 1- C 2- B Page 2 4 a) B b) D c) A d) C 5 a) D b) C c) A d) B 



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Exercice 10 **I Soient n un entier naturel et x un réel positif 1 Combien y a-t-il d'entiers naturels entre 1 et n ? entre 1 et x ?



Partie entière : Cours et exercices corrigés - Progresser-en-maths

Propriétés · La partie entière est une fonction croissante · Elle est continue par morceaux · Elle est dérivable sur tout intervalle de la forme ] n ; n + 1 [ ]n 



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Fonction partie entière - etude-generalecom

16 jan 2022 · Exercice 1 (La fonction partie entière exercices corrigés) Soit ƒ la fonction numérique définie par : ƒ(x) = tan(?x)/x?E(x) Déterminer D 



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Exercice 14 7 Soit n un entier non nul donner une formule simple (utilisant la fonction partie entière) pour déter- miner le nombre de chiffres de n



Exercices sur la partie entière - 01 - Math-OS

9 sept 2019 · Neuf exercices de difficulté graduée sur la fonction partie entière (fiche n° 1)

  • Comment déterminer la partie entière d'une fonction ?

    En mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière suivante : Pour tout nombre réel x, la partie entière notée E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. Par exemple : E(2,3) = 2, E(?2) = ?2 et E(?2,3) = ?3.

  • Comment déterminer la partie entière d'un nombre réel ?

    Si x est un réel, la partie entière de x est le plus grand entier n qui est inférieur ou égal à x . En clair, la partie entière de x est le seul entier n?Z n ? Z tel que n?x<n+1 n ? x < n + 1 .

  • Quelle est la partie entière ?

    Les nombres décimaux
    La partie entière est à gauche de la virgule. La partie décimale. est à droite de la virgule.
  • Si on trace une droite graduée de 1 en 1 et qu'on place par exemple 5,5 ou -5,5, la partie entière est le nombre entier, si le nombre qu'on a placé n'est pas entier, situé avant ce nombre. la partie entière de 5,1;5,01;5,6 est 5.

EXERCICES

SUR LES SÉRIES ENTIÈRES

G.EGUETHER

9 janvier 2012

Table des matièresAvertissementiii

1 RAYON ET DOMAINE DE CONVERGENCE 1

1.1 Règle d"Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1

1.2 Règle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7

1.3 Avec des équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 9

1.4 Par comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 16

1.5 Séries paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 21

1.6 Séries incomplètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 25

1.7 Séries diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 31

2 SOMMATION DE SÉRIES ENTIÈRES49

2.1 Série de l"exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 49

2.2 Série du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 60

2.3 Séries mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 87

2.4 Séries diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 95

3 DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE ENTIÈRE123

4 SOMME DE SÉRIES NUMÉRIQUES155

5 CALCUL DE SUITES179

6 EXERCICES THÉORIQUES191

7 RÉSOLUTION D"ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 229

8 SÉRIES ENTIÈRES ET INTÉGRALES273

9 CONVERGENCE NORMALE ET UNIFORME 297

10 AUTRES EXERCICES303

i iiTABLE DES MATIÈRES

AvertissementOn trouvera dans ce qui suit de nombreux exercices sur les séries entières classés (grossièrement)

par thèmes. On s"est efforcé de rendre chaque exercice autonome. Cependant les trois premiers

exercices traités dans le chapitre " Exercices théoriques »seront admis comme résultats de cours.

Une même série entière peut se trouver traitée dans plusieurs exercices, suivant des points de

vue différents.

Ces exercices ayant été rédigés pour des publics divers, et àdes moments divers, il existe, malgré

un effort d"uniformisation, certaines disparités dans les démonstrations. Par ailleurs, dans chaque

exercice, on propose une démonstration (parfois deux), mais il peut, bien sûr, y avoir d"autres

moyens de procéder.

Le théorème de convergence dominée sera utilisé sans hypothèse de convergence uniforme sur les

compacts. Les formules suivantes seront utilisées sans démonstration. arctanx+ arctan1 x=π2six >0. n!≂?n e? n⎷2nπ(Formule de Stirling). n=11 n2=π26. n p=1p

2=n(n+ 1)(2n+ 1)

6. n p=11 p≂lnnet limn→+∞(( n? p=11p-lnn)) =γ(constante d"Euler). iii ivAVERTISSEMENT lnxdx=xlnx-x. dx lorsquea?= 0etΔ =b2-4ac <0. m p=nv pwp=vm? m? k=nw k? + (vm-1-vm)? m-1? k=nw k? +···+ (vn-vn+1)? n? k=nw k? (Formule de sommation d"Abel)

Si la fonctionfest de classeCn+1sur[a, b], alors

f(b) =f(a) +b-a

1!f?(a) +···+(b-a)nn!f(n)(a) +b

a(b-t)nn!f(n+1)(t)dt. (Formule de Taylor avec reste intégral)

On utilisera également :

- la fonctionΓdéfinie sur]0,+∞[par

Γ(x) =∞

0 e -ttx-1dt, qui vérifie, pour tout nombre réelxstrictement positif

Γ(x+ 1) =xΓ(x),

et pour tout entier naturelnplus grand que 1,

Γ(n) = (n-1)! ;

- les formules de trigonométrie usuelles, valables pour lesnombrescomplexes, comme par exemple cos(z+z?) = coszcosz?-sinzsinz? avec de plus cosiz=ichzet siniz=ishz . Chapitre 1RAYON ET DOMAINE DECONVERGENCE1.1 Règle d"Alembert Déterminer le rayon de convergenceR, l"ensembleC(resp.A) des nombres réels pour lesquels la série entière de coefficient a n=(-1)n lnn converge (resp. converge absolument).

On a|an|

|an+1|=ln(n+ 1)lnn= 1 +ln(1 + 1/n)lnn et cette expression converge vers R= 1.

Six=-1, on a

a nxn=1 lnn qui est le terme général d"une série positive divergente (série de Bertrand).

Six= 1,

a nxn=(-1)n lnn

est le terme général d"une série alternée, car la suite(1/lnn)décroît et converge vers 0. Elle

converge sans converger absolument. Donc

A=]-1,1[ etC=]-1,1].

2CHAPITRE 1. RAYON ET DOMAINE DE CONVERGENCE

Déterminer le rayon de convergenceR, l"ensembleC(resp.A) des nombres réels pour lesquels la série entière de coefficient a n=lnn n2 converge (resp. converge absolument). On aa n an+1=lnnln(n+ 1)(n+ 1)2n2=11 +ln(1+1/n)lnn(n+ 1)2n2 et cette expression converge vers R= 1.

Si|x|= 1, on a

|anxn|=lnn n2

qui est le terme général d"une série de Bertrand convergente.La série converge donc absolument

dans ce cas et par suite

A=C= [-1,1].

Déterminer le rayon de convergenceR, l"ensembleC(resp.A) des nombres réels pour lesquels la série entière de coefficient a n=nn+1 n! converge (resp. converge absolument).

Comme, au voisinage de 0 on a

ln(1 +u) =u+◦(u), on en déduit a n an+1=?

1 +1n?

-n-1 = exp? (-n-1)ln?

1 +1n??

= exp(-1 +◦(1)) et cette expression converge vers R=1 e. Si|x|= 1/e, on a, grâce à la formule de Stirling, |anxn| ≂nn+1 en? en? n1⎷2nπ≂? n

2π.

et cette expression ne converge pas vers 0. La série diverge grossièrement dans ce cas. Donc

A=C=]-1/e,1/e[.

1.1. RÈGLE D"ALEMBERT3

Déterminer le rayon de convergenceR, l"ensembleC(resp.A) des nombres réels pour lesquels la série entière de coefficient a n=n! nn+1 converge (resp. converge absolument).

Comme, au voisinage de 0 on a

ln(1 +u) =u+◦(u), on en déduit a n an+1=?

1 +1n?

n+1 = exp? (n+ 1)ln?

1 +1n??

= exp(1 +◦(1)) et cette expression converge vers R=e. Si|x|=e, on a, grâce à la formule de Stirling |anxn| ≂en nn+1? ne? n⎷2nπ≂?2π n. La série diverge donc, mais le terme général tend vers 0. On a a n+1en+1 anen=e?

1 +1n?

-n-1 = exp?

1-(n+ 1)ln?

1 +1n??

Mais, siu≥0, on a

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