[PDF] MSI 101 Exercice 8. Soit E(x)

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SECONDE EDITION

JUIN 2010

MSI 101

EXERCICES POUR LE COURS INTEGRE

Nous vous souhaitons la bienvenue à l'Université Bordeaux 1 et la réussite dans vos études. Pour favoriser votre insertion à l'Université nous vous proposons ce fascicule d'exercices qui couvre le programme actuel de MSI 101. Il se veut un instrument de travail, tant dans le cadre des exercices résolus en cours qu e dans celui de votre travail personnel. Il y a beaucoup plus d'exercices que ce que l'on peu t raisonnablem ent traiter penda nt les travaux dirigés, ceci est volontaire et nous vous encourageons à travailler des exercices de ce polycopié qui n'ont pas été vus en cours. Les modalités de contrôle des connaissances en MSI 101 s'articulent suivant : Hdeux devoirs surveillés de 1h30 (coefcient 0.20 chacun) Hun devoir surveillé terminal de 3h (coefcient 0.40 )

Hdeux devoirs à remettre (coefcient 0.10)

Hdes tests aléa toires durant les séances de cours intégré s (coefcient 0.10) Pour vous guider dans votre travail, un contrat pédagogique a été mis en ligne sur ULYSSE. Chaque semaine vous y trouverez un nouveau guide contenant des exercices avec des corrections détaillées ou d es solutions dans le cas d'exercices calculatoires. Vous pouvez travailler sur ces guides soit à l'espace Alpha soit de l'extérieur de l'Université si vous avez une connexion à internet. Ce contrat nous permet aussi de vous transmettre des informations sur le MSI

101. Cinq séances de tutorat intégré sont prévues dans votre emploi du temps

pour travailler sur ce contrat. Ces séances sont encadrées par un tuteur. Le rôle du tuteur est de répondre aux questions que vous vous posez en travaillant sur ces guides. Le tuteur peut aussi vou s aider s ur d'autres exe rcices de mathématiques. L'Université Bordeaux 1 met à votre disposition des services de tutorat gratuit le kiosqu e et le tutorat d'accompa gnement personnal isé. Ces tutorats so nt e f ectués par des étudi ants de maste r ou doctoran ts en mathématiques. Le kiosque fonctionne tous les jours du lundi au vendredi entre 12h30 et 13h30 dans le hall du bâtiment A. 22. Le tuteur qui assure la permanence peut, soit vous aider sur une question de mathématiques, si cette question est simple, soit vous propo ser un rendez- vous avec un tuteur pour trav ailler su r votre problème : c'est le tutorat d'accompagnement personnalisé. Nous vous invitons fortement à profiter de cette aide gratuite qui vous est proposée.

L'équipe pédagogique de

MSI101

Le 10 juillet 2010

COMMENT SʼINCRIRE AU CONTRAT PEDAGOGIQUE MSI 101.

Avant de s

inscrire il est nécessaire d avoir " valider ses comptes

», ceci peut se faire

soit à l espace alpha soit dans les salles informatiques.

Pour s

inscrire au contrat MSI 101, al ler sur le site de l université (http://www.u- bordeaux1.fr/) : •Cliquer sur le lien Accès ENT qui se trouve en bas à droite. •Cliquer ensuite sur le lien sʼidentifier qui se trouve en haut à droite. •Entrer votre identifiant et votre mot de passe puis cliquer sur connexion. •Cliquer sur lʼonglet Espace de formations •Cliquer sur le logo ULYSSE •Cliquer ensuite sur le bouton de la boussole Contrats Pédagogiques •Développer lʼarbre pédagogique en cliquant successivement sur les " + » devant les valises : - Formation initiale à l'Université Bordeaux 1 - Cycle Licence -Tronc commun MISMI -MSI 101/ Mathématiques •Cliquer ensuite sur " la flèche » qui se trouve en bout de la ligne •Cliquer ensuite sur le bouton "sʼinscrire ». À partir de là vous êtes inscrit au contrat MSI 10 1. Lorsque vou s allez sur la page d accueil d ULYSSE votre contrat est sélectionné dans le bandeau se trouvant à droite, en cliquant sur le lien, vous accéderez directement au contrat MSI 101. Le contrat est constitué de guides. Ces guides contiennent des exercices corrigés qui suivent la progression de votre cours.

En cas de difficulté pour vous s

inscrire, vous pouvez demander de l aide à l accueil de l espace Alpha.

Table des matières

1 Bases de logique et théorie des ensembles 6

A - Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 B - Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 B - 1 Images, antécédents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 B - 2 Image directe et image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 B - 3 Composition des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 B - 4 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 C - Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Nombres entiers - Dénombrement -

Initiation à l'arithmétique -

Nombres rationnels 11

A - Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 B - Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 C - Division euclidienne et PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 C - 1 Algorithme d"Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 C - 2 Exercices théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 D - Rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 E - Exercices variés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Nombres réels et propriétés deR14

A - Equations et inéquations dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 B - Borne supérieure et inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 C - Densité des rationnels et des irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Nombres complexes 16

A - Ecriture algébrique et trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 B - Résolution d"équations dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 B - 1 Racines\iemesde l"unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 B - 2 Equation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 B - 3 Equation de degré supérieur ou égal à3. . . . . . . . . . . . . . . . . .17 C - Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Suites réelles 19

A - Dénition de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 B - Calcul de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 C - Propriétés des suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 D - Etude de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Fonctions numériques 22

A - Généralités sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
B - Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 B - 1 Dénition de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 B - 2 Calcul de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
C - Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
C - 1 Dénition de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
C - 2 Propriétés des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
D - Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
D - 1 Dénition de la dérivée en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
D - 2 Calcul de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
D - 3 Calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
D - 4 Propriétés des fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
E - Etude de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7 Fonctions numériques usuelles 28

A - Fonctions logarithme, exponentielle et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
B - Fonctions circulaires et leurs réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
C - Fonctions hyperboliques et leurs réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
D - Etude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8 Intégration, calcul de primitives 31

A - Exercices théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
B - Intégration à vue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
C - Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
D - Intégration par changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
D - 1 Changement en sin, cos, cosh, sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
D - 2 Changement ane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
E - Intégration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
E - 1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
E - 2 Expressions rationnelles ensinetcos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 E - 3 Expressions polynômiales ensinetcos. . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 E - 4 Expressions rationnelles enexp,sinh,cosh. . . . . . . . . . . . . . . . .35 E - 5 Fractions rationnelles obtenues après un changement de variable quelconque 35
F - Autres calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9 Equations diérentielles 36

A - Equations diérentielles linéaires d"ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
B - Equations diérentielles linéaires d"ordre 2 à coecients constants . . . . . . . . 37

10 Fonctions de 2 ou 3 variables réelles 39

A - Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
B - Calcul de gradient, divergence et rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
C - Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

11 Annales41

5

Chapitre 1

Bases de logique et théorie des

ensembles

Des exercices sur les tables de vérité, les démonstrations par contraposée, par l"absurde et

par récurrence ont été faits, en principe, dans le cadre de l"UE de méthodologie

A - Ensembles

Exercice 1.

1.

Soien tA=f2;3;4;5getB=f4;5;6g. Déterminer :

A\B ; A[B ;{NA ;{RA ;{NB ;{A[BA

2. Soien tles in tervalles(de R)I= [1;3]etJ= [2;4]. Déterminer :

I\J ; I[J ;{RI ;{RJ ;{R(I[J):

Exercice 2.

1. Soit Aune partie d"un ensembleE. Déterminer{E{EAetA[{EA. 2. Mon trerque si AetBsont deux parties d"un ensembleE, on a

E(A\B) ={EA[{EBet{E(A[B) ={EA\{EB:

3.

Mon trerque :

AB=){EB{EA:

Exercice 3.

SoientA,B,Ctrois parties d"un ensembleE. On suppose que l"on a les inclusions suivantes :

A[BA[CetA\BA\C.

Montrer que l"on a l"inclusionBC.

Exercice 4.

SoientEun ensemble, etF,Gdeux parties deE. Montrer

FG()F[G=G

FG(){EF[G=E

6

Exercice 5.(Examen janvier 2007)

SoientAetBdeux parties d"un ensembleE. Montrer que

En(A\B) = (EnA)[(EnB)

Exercice 6.(DM1 2007)

SoientA,BetCtrois parties d"un ensembleE. Montrer que

A[B[C= (AnB)[(BnC)[(CnA)[(A\B\C)

B - Applications

B - 1 Images, antécédents

Exercice 7.

Soit{1dénie par :

1:R?!R

x7!x2

1Déterminer les images de0;1;?2;p2.

2Déterminer, s"ils existent, les antécédents de0;1;?2;p2.

Exercice 8.

Pour l"application{2dénie par :

}:R2?!R2 (x;y)7!(2x?3y;?4x+ 6y)

1Déterminer les images de(0;0);(?1;0);(1;?2).

2Déterminer, s"ils existent, les antécédents de(0;0);(?1;0);(1;?2).

Exercice 9.

Pour l"application{3dénie par :

}:R2?!R (x;y)7!x2+y

1Déterminer les images de(0;0);(?1;0);(1;0);(0;1).

2Déterminer, s"ils existent, les antécédents de0;1.

Exercice 10.

Pour l"application{4dénie par :

}:R?!R2 x7!(x2;x+ 5)

1Déterminer les images de0;1;?1.

2Déterminer, s"ils existent, les antécédents de(0;0)(?1;0);(1;6).

Exercice 11.

Pour toute partieAdeR, on dénit l"applicationAdeRdansRpar

A(x) = 1 six2A

A(x) = 0 six62A

Dessiner le graphe de la fonctionAlorsqueAest la partie deR:A= [1;2[[f3g. 7

B - 2 Image directe et image réciproque

Exercice 12.

On considère l"application{deRdansRdénie par{(x) =jxj.

1Déterminer les images directes :

{(f?1;2g) ;{([?3;?1]) ;{([?3;1]):

2Déterminer les images réciproques :

1(f4g) ;{1(f?1g) ;{1([?1;4]):

Exercice 13.

Pour l"application

{:R!R x7!cos(x) calculer les images directes : {(f0;1g); {([0;1=2]); {(Z); {(2Z); où2Zest l"ensemble des entiers pairs.

Exercice 14.

On considère l"application

{:RR!R (x;y)7!x2+y2:

1Calculer les images réciproques :

1(f0g); {1(]? 1;0]); {1(f1g); {1(]?1;1]); {1(]4;+1[):

2Calculer les images directes :

a{(X1)oùX1=f(x;y)2RRjx >0g. b{(C)oùC= [0;1][?2;3].

B - 3 Composition des applications

Exercice 15.

On considère les applications{et}suivantes :

{:R!R x7!e1x }:R!R x7!1x Les expressions{}et}{ont-elles un sens? Si oui les expliciter.

Exercice 16.

Mêmes questions avec{et}dénies par :

{: ]0;+1[!R x7!px }: ]0;+1[!R x7!lnx 8

B - 4 Injection, surjection, bijection

Exercice 17.

On considère les deux ensemblesE=fa;bgetF=fc;d;eg. Déterminer toutes les applications deEdansFet dire, pour chacune d"entre elles, si elle est injective, surjective, bijective.

Exercice 18.

On considère les applications{et}suivantes :

{:R!R x7!2x+ 3}:R!R x7!7x?1

1Montrer que{et}sont bijectives.

2Déterminer{1,}1,{},({})1et}1{1.

Exercice 19.

L"applicationh:(

N!N \7!3\est-elle injective? Surjective? Bijective?

Exercice 20.

On considère les applications{et}suivantes :

{:R2!R (x;y)7!xy}:R!R2 x7!(x;x2)

1Déterminer les applications{}et}{.

2Les applications{,},{}et}{sont-elles injectives? surjectives? bijectives?

Exercice 21.

Soient{:X!Yet}:Y!Zdes applications. Montrer que :

{et}surjectives =)}{surjective; {et}injectives =)}{injective:

Exercice 22.

Soient(a;b)2R2et{a;bl"application

a;b:R!R x7!ax+b: 1. Déterminer p ourq uellesv aleursde (a;b)la fonction{a;best injective, pour quelles valeurs elle est surjective. 2.

Mon trerque si {a;b={c;d, alorsa=cetb=d.

3.facultatif :Interpréter la dernière condition en terme d"injectivité d"une certaine applica-

tion. 4. Lorsque {a;best bijective, déterminer son inverse.

Exercice 23.

Dire si les applications{deEdansFsuivantes sont injectives, surjectives, bijectives. Dans le cas où l"application est bijective, déterminer son application réciproque.

1E=R2; F=R; {: (x;y)7!x+y.

9

2E=F=R2; {: (x;y)7!(x+y;x?y).

3E=F=P(N); {:A7!{NA.

Exercice 24.

On considère l"application{dénie par

{:R!R x7!x(1?x): 1. Calculer {1(fyg)pour tout réely. Pourquoi la valeury= 1=4est-elle particulière?

Est-ce que{est injective? Surjective?

2. T rouverdeux in tervallesIetJ, aussi grands que possibles, tels que l"applicationI!J donnée par la même formule que{soit une bijection.

Exercice 25.

Soient{et}les applications deNdansNdénies par

{(\) = 2\; }(\) =Eh\2 i oùE[x]est la partie entière dex, c"est-à-direE[x]2NetE[x]x < E[x] + 1.

1Les applications{et}sont-elles bijectives?

2Calculer}{puis{}. Les applications}{et{}sont-elles bijectives?

Exercice 26.

SoientE,F,Gtrois ensembles,{une application deEdansFet}une application deFdans G.

1On suppose que}{est injective. Montrer que{est injective.

2On suppose que}{est surjective. Montrer que}est surjective.

3On suppose que}{et}sont bijectives,{est-elle bijective?

C - Autres exercices

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