Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths fonction de n. Correction ▽. [005153]. Exercice 9 **I. Soient x un réel ...
MSI 101
Exercice 8. Soit E(x) la partie entière de x. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : f : x ↦→ √x − E(x) g : x ↦→ E(x) + √x
Mathématiques SN4
25 mai 2020 Exercices associés dans Netmath : ○ Fonctions partie entière;. ○ Étudier le graphique de la fonction partie entière de la forme f(x) = [bx].
Ayoub et les maths
Soit la fonction partie entière définie sur ℝ. On rappelle que pour tout réel ( ) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à . Ainsi
350 exercices corrigés dAnalyse
❏ Partie entière : soit x ∈ R il existe un unique entier relatif p ∈ Z La fonction x → sin(x) − cos(2x) est 2π-périodique
À part entière : pour un véritable exercice du droit à légalité
Toutefois le cadre législatif
Corrigé TD 3 Exercice 1.
∼ x où E(x) désigne la fonction partie entière. Par définition de la partie On peut donc conclure que −2πx est un équivalent (c.f. aussi l'exercice 3).
Corrigé du TD no 11
la partie entière nous avons : 10nα ≤ ⌊10nα⌋ < 10nα + 1 d'où : α ≤ un valeur absolue est continue donc la fonction
Mathématiques : du lycée aux CPGE scientifiques
On exprimera Nn à l'aide les fonctions partie entière et logarithme décimal. 51. Page 52. Exercice 139 ( 3 ). Déterminer la limite de la suite (un)n≥1
Thème : nombres
Dans cet exercice on note la fonction partie entière. On a par exemple : (π) = 3
MSI 101
Exercice 8. Soit E(x) la partie entière de x. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : f : x ?? ?x ? E(x).
Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités
où p est un entier naturel et les ai sont des entiers éléments de {0
chapitre 5 : fonction partie entière - solutionnaire
CHAPITRE 5 : FONCTION PARTIE ENTIÈRE. SOLUTIONNAIRE-----------> EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES. 1- C 2- B. Page 2. 4. a) B b) D c) A d) C. 5. a) D b) C c) A d) B
Corrigé Série dexercices n°4 : Les fonctions et procédures
Exercice 1 : Ecrire une fonction ou procédure qui calcule la partie entière d'un nombre positif. Fonction entiere (x : reel) :
Chapitre 10 : Borne sup partie entière
https://www.faidherbe.org/~pcsimath/pcsi2/exoscolle/chap10.pdf
Chapitre 14 NOMBRES RÉELS Enoncé des exercices
Exercice 14.7 Soit n un entier non nul donner une formule simple (utilisant la fonction partie entière) pour déter- miner le nombre de chiffres de n.
Corrigé du TD no 9
D'autre part on constate que f(0) = 1 donc 1 est à la fois un majorant et une valeur de la fonction f. Par conséquent
EXERCICES SUR LES SÉRIES ENTIÈRES
9 Jan 2012 Si la fonction f est de classe Cn+1 sur [a b]
Chapitre 18 FONCTIONS RÉELLES CONTINUITÉ Enoncé des
Ainsi f n'a pas de limite en 0. Exercice 12.15. 1. On sait que la fonction partie entière est continue sur R Z et est continue à droite en tout
[PDF] CHAPITRE 5 : FONCTION PARTIE ENTIÈRE
CHAPITRE 5 : FONCTION PARTIE ENTIÈRE SOLUTIONNAIRE-----------> EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES 1- C 2- B Page 2 4 a) B b) D c) A d) C 5 a) D b) C c) A d) B
[PDF] Valeurs absolues Partie entière Inégalités - Exo7
Exercice 10 **I Soient n un entier naturel et x un réel positif 1 Combien y a-t-il d'entiers naturels entre 1 et n ? entre 1 et x ?
Partie entière : Cours et exercices corrigés - Progresser-en-maths
Propriétés · La partie entière est une fonction croissante · Elle est continue par morceaux · Elle est dérivable sur tout intervalle de la forme ] n ; n + 1 [ ]n
[PDF] MSI 101 - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Exercice 8 Soit E(x) la partie entière de x Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes : f : x ?? ?x ? E(x)
Fonction partie entière - etude-generalecom
16 jan 2022 · Exercice 1 (La fonction partie entière exercices corrigés) Soit ƒ la fonction numérique définie par : ƒ(x) = tan(?x)/x?E(x) Déterminer D
[PDF] Partie entière limites et suites Ayoub et les maths
Soit la fonction partie entière définie sur ? On rappelle que pour tout réel ( ) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à
f1 Fonction Partie Entiere Cours PDF - Scribd
La fonction partie entière est la fonction définie sur ? qui à tout réel associe l'entier relatif tel que ? ? + On note cette fonction Exercice d'
[PDF] Chapitre 14 NOMBRES RÉELS Enoncé des exercices
Exercice 14 7 Soit n un entier non nul donner une formule simple (utilisant la fonction partie entière) pour déter- miner le nombre de chiffres de n
Exercices sur la partie entière - 01 - Math-OS
9 sept 2019 · Neuf exercices de difficulté graduée sur la fonction partie entière (fiche n° 1)
Comment déterminer la partie entière d'une fonction ?
En mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière suivante : Pour tout nombre réel x, la partie entière notée E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. Par exemple : E(2,3) = 2, E(?2) = ?2 et E(?2,3) = ?3.Comment déterminer la partie entière d'un nombre réel ?
Si x est un réel, la partie entière de x est le plus grand entier n qui est inférieur ou égal à x . En clair, la partie entière de x est le seul entier n?Z n ? Z tel que n?x<n+1 n ? x < n + 1 .Quelle est la partie entière ?
Les nombres décimaux
La partie entière est à gauche de la virgule. La partie décimale. est à droite de la virgule.- Si on trace une droite graduée de 1 en 1 et qu'on place par exemple 5,5 ou -5,5, la partie entière est le nombre entier, si le nombre qu'on a placé n'est pas entier, situé avant ce nombre. la partie entière de 5,1;5,01;5,6 est 5.
Exercice 1**I Moyennes arithmétique, géométrique et harmoniqueSoientxetydeux réels tels que 0 (Indication. Considérer le polynômef(x) =ånk=1(ak+bkx)2, développer puis ordonner suivant les puissances décroissantespuisutiliser, danslecasgénéral, lesconnaissancessurleseconddegré). Retrouveralorslerésultat oùpest un entier naturel et lesaisont des entiers éléments def0;:::;9g,apétant non nul. Déterminerpen Combien y a-t-il d"entiers naturels pairs entre 0 et x? Combien y a-t-il d"entiers naturels impairs entre 0 (***) Combien l"équation 2 x+3y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle Si(ABC)est un triangle rectangle enAetA0est le pied de la hauteur issue deA, on sait queAA02=A0B:A0C. ce segment (de longueurx+y) noté [BC], tel que le troisième sommetAait une projection orthogonaleA0sur est donc strictement décroissante sur]0;1]et strictement croissante sur[1;+¥[.fadmet ainsi un minimum en (Remarque.L"inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique permet aussi d"obtenir le résultat : =n2:Correction del"exer cice5 NPourxréel, posonsf(x) =ånk=1(ak+bkx)2. On remarque que pour tout réelx,f(x)>0. En développant lesn nk=1b2k:Cette inégalité est encore valable en remplaçant lesaket lesbkpar leurs valeurs absolues, ce qui fournit les =n2:Correction del"exer cice6 NSi l"un des réelsa,boucest strictement plus grand que 1, alors l"un au moins des trois réelsa(1b),b(1c),Pour cela développer, puis majoreruk=Cknn
ken commençant par majorervk=uk+1u kpar12 Montrer que(a1+a2+:::+an)(1a
1+:::+1a
n)>n2(développer et penser àf(x) =x+1x j nå k=1a kbkj6nå k=1jakj:jbkj6sn k=1a2ksn k=1b2k: 2.Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)6E(x+y).
3. Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y). n=a0+10a1+:::+10pap; Combien y a-t-il de multiples de 3 entre 0 et x?
5. Combien l"équation x+2y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle de couples solutions ? 6. De combien de f açonspeut-on payer 10 euros a vecdes pièces de 10 et 20 centimes d"euros ? 7. Montrer quejx1+2x2+:::+nxnj6E(n24
(commencer par vérifier que pourk=2;3;:::;n, on a :(nk+1)k>n). (remarquer que six2[0;1];x26x). Correction del"exer cice1 NSoientxetydeux réels tels que 0On a ensuite x=px:x6pxy=g6py:y=yet doncx6g6y.
3.mg=x+y2
pxy=12 ((px)22pxy+(py)2) =12 (pypx)2>0 et donc,x6g6m6y. 4. D"après 1), la mo yennearithmétique de
1x et1y est comprise entre1x et1y , ce qui fournit1y 61h
61x
, ou encore x6h6y. 5. D"après 3), la mo yennegéométrique des deux réels 1x et1y est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique. Ceci fournitq1 x :1y 612
(1x +1y )ou encore1g 61h
et finalement x6h6g6m6yoù1h =12 1x +1y ,g=pxyetm=x+y2 .Remarque 1.On ah=2xyx+y, mais cette expression ne permet pas de comprendre que1h est la moyenne arithmétique de 1x et1y Remarque 2.On peut visualiser l"inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique. B CALa moyenne arithmétique dexetyestm=x+y2
, le rayon du cercle, et la moyenne géométrique dexetyest g=pxy=pA 0B:A0C=AA0, la hauteur issue deAdu triangle(ABC).Correction del"exer cice2 N(1+a)n= (1+a):::(1+a) =1+na+:::>1+na.Correction del"exer cice3 N4
Pourn2N,(1+1n
)n=ånk=0Cknn k. Pourk2 f0;:::;ng, posonsuk=Cknn kpuisvk=uk+1u k. Pourk2 f1;:::;n1g, on a alors v k=Ck+1n:nkC kn:nk+1=1n +n+1n(k+1) 61n
+n+12n(cark>1) 12 12n<12
Ainsi, pourk2 f1;:::;n1g,uk+1612
uket donc, immédiatement par récurrence, u k612 k1u1=12 k1nn =12 k1: En tenant compte deu0=1, on a alors pourn2N,
(1+1n )n=nå k=0u k61+nå k=112 k1=1+112 n112 =1+2(112 n) =312 n1<3:Correction del"exer cice4 NSoientn2Neta1,a2,...,an,nréels strictement positifs. nå i=1a i! nå j=11a j! 16i;j6na
ia j=nå i=1a ia i+å 16i
16i
Pourx>0, posons alorsf(x) =x+1x
.fest dérivable sur]0;+¥[et pourx>0,f0(x) =11x 2=(x1)(x+1)x
2.f 1. Par suite,
8x>0;f(x)>f(1) =1+11
=2: On en déduit alors que
nå i=1a inå j=11a j>n+å 16i
1er cas.Siånk=1b2k6=0,fest un trinôme du second degré de signe constant surR. Son discriminant réduit est
alors négatif ou nul. Ceci fournit 5 0>D0= (nå
k=1a kbk)2(nå k=1b2k)(nå k=1a2k); et donc nå k=1a kbk 6sn k=1a2ksn k=1b2k: 2ème cas.Siånk=1b2k=0, alors tous lesbksont nuls et l"inégalité est immédiate.
Finalement, dans tous les cas,
j ånk=1akbkj6qå
nk=1a2kqå Retrouvons alors l"inégalité de l"exercice
4 . Puisque lesaksont strictement positifs, on peut écrire : nå i=1a i! nå i=11a i! nå i=1pa i2! nå i=1r1 a i2 nå i=1pa ir1 a i! 2
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