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Université de Cergy-Pontoise S6 - P Physique Quantique II Travaux dirigés 2013/2014
Universit´edeCergy-Pontoise
PhysiquequantiqueII
S6-P -2013-2014
C.Pinette s
Planducour sdeph ysiquequantiqueII
I.Les principesde lam´ecaniquequantique
Exp´eriencedeSternetGerlach. Notiond'op´ erateur.Formalisme deDirac.P ostulatsdelam´ecanique
quantique.Illustrationdes postulats.Valeurmoy enned'uneobse rvable.Evolutiondans letemps.Repr´esentation{?r}.
II.L'oscillateurhar monique
Introduction.R´esolutionparlam´etho dedeDirac.Oscillateurharmonique3d.III.Th´eoriedu momentcin´etique
D´efinitiondumomentcin´e tique
J.Etatspropres de
J.Moment cin´etiqueorbital
L.Moment
cin´etiquedespin S.Description compl`eted'uneparticule .Magn´etisme.IV.Atome d'hydrog`ene
Syst`emes`a2corpsdans unpotentielcen tral.Etatsli ´es del'atomed'h ydrog` ene.Syst`emeshy- drog´eno¨ıdes.Classificationdutableaup´eriodique .Notiondeliaisonchimique. Siteweb ducours:http://cpinettes.u-cergy.fr/S6-MecaQ Vousytrouverezdes documen tsutilespourlecours, desannaleset dessuppl´ements(liensvers descoursen ligne,desvid ´eos,des expos´ esetde sarticlesdevulgarisation...).Universit´edeCergy-Pontoise
PhysiquequantiqueII
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-J-L.Bas devant,J.Dalibard:M´ecaniqueq uanti que,Editionsdel 'EcolePo lytechnique(2002) Excellentlivre,clair etconcis.Deno mbreusesapplica tionsconcr `etesetr´ecentesetdesexos corrig´es. -C.Cohe n-Tannoudji,B.Diu,F.Lalo¨e:M´ecaniquequantique(2 tomes), Hermann(1977) Lar´ ef´erenceniveauLicence-Master1.Tr`esco mplet(1500pa ges).Insistesurleformalisme,explicationsetcalculsd´etaill ´es.D enombreux compl´ementsd´eveloppa ntdesexemplesphysiques
concrets. -J-L.Basd evant:12le¸consdem´ecanique quan tique,Vui bert(2 006) Excellentlivrep ourcomprendre lam´ecaniquequantique. Tr`esprochedela 1`erer´ef´erence,ilinsistedavan tagesurlesconceptsphysiquesetlaisselesd´eveloppementsmath´ematiquesdecˆot´e.
Agr´eable`alire,raconte enmˆemetemps lag´en` esehistoriquedela m´eca niquequan tique. -C.Aslan gul:M´ecaniquequantique (3to mes),DeBoeck(2010) Coursr´ecentett r`escomplet.Commenceparunelo nguepa rtiesur lesexp´ erienceshist oriques. -C.Ngo,H. Ngo:Physiqueq uanti que:intr od uction,Dunod(1991)Livred'enseignementcla iretstandard.
-M.Le Bellac :Physiquequantique,EDPSci en ces/CNRSEditions(200 7) Approcheoriginale.Abor delesd´eveloppementsdelam´ ecaniquequan tiquelesplusr´ecents. -A.Mes siah:M´ecaniquequanti que( 2tomes),Dunod(1968) Lar´ ef´erencehistorique.Dense,unpeudifficilepo urunepremi`ereapproche.Enanglais
-D.Griffiths:In trod uctiontoQuantumMechanics(2ndeditio n),Pearso n(2005) -B.Bran sden,C.Joachain:QuantumMechanic s,Pearso n(2000) -Transform´eesdeFourier:Appendice I,tome2 duCohen-Tannoudji. -"Fonctions"δdeDira c:Appendice II,tome2 duCohen-Tannoudji. -EspacesdeHibert:Annexe Aduco ursen lignede Mila;cha pitres2(dimensionfinie)et7 (dimensioninfinie)duLeBell ac.FORMULAIREDEMECANIQUEQUANTIQUE
Oscillateurharmonique
a= mω2¯h
X+ i2m¯hω
P X a n n+1|? n+1 ?[a,a ]=I a mω2¯h
X- i2m¯hω
P X a|? n n|? n-1Momentcin´ etique
J 2 |j,m?=j(j+1)¯ h 2 |j,m?J =J x±iJ
y J z |j,m?=m¯h|j,m?J |j,m?=¯h j(j+1) -m(m±1)|j,m±1?Premiersharmoniquessph´eriques
Y 0 0 1 4π ;Y 0 1 3 4π cosθ;Y ±1 1 3 8π sinθe±i?
Y 0 2 516π
(3cos 2θ-1);Y
±1 2 15 8π sinθcosθe±i?
;Y ±2 2 1532π
sin 2 θe±2i?
Y 0 3 716π
(5cos 3θ-3cosθ);Y
±1 3 2164π
sinθ(5cos 2θ-1)e
±i?
Y ±2 3 10532π
sin 2θcosθe
±2i?
;Y ±3 3 3564π
sin 3 θe±3i?
Atomed'hydrog`ene
RayondeBohr:a
04π?
0 e 2 ¯h 2 ?0,529 AEnergied'ionisatio n:E
I e 24π?
0 22¯h
2 e 24π?
0 1 2a 0 ?13,6eV R 1,0 (r)= 2 a 3/2 0 e -r/a 0 ;R 2,0 (r)= 2 (2a 0 3/2 1- r 2a 0 e -r/2a 0 ;R 2,1 (r)= 1 3 1 (2a 0 3/2 r a 0 e -r/2a 0 R 3,0 (r)= 2 (3a 0 3/2 1- 2r 3a 0 2r 2 27a2 0 e -r/3a 0 ;R 3,1 (r)= 4 2 9 1 (3a 0 3/2 1- r 6a 0 r a 0 e -r/3a 0 R 3,2 (r)= 4 27
10 1 (3a 0 3/2 r a 0 2 e -r/3a 0
Int´egralesgaussiennes
I p 0 x p e -ax 2 dx:I 0 1 2 a ,I 1 1 2a ,I 2 1 4a a ,I 3 1 2a 2Universit´edeCergy-Pontoise
PhysiquequantiqueII
S6-P -2013-2014
TDn o1:For malismedeDirac
Ex.1.Syst `eme` adeuxniveaux:lamol´e culed'ammoniac Dansses´ etatsdeplus basse´energie,lamol ´eculed'ammoniac (NH 3 )a uneforme pyramidale avecunatomed'azoteausommetet troisatomes d'hydrog` ene`a labaseforman tuntriangle ´equilat´eral.Lesmouvementsde basse´energiec orrespondentaud´eplacementduplande strois atomesH(assimil´e`auneparticuledemassem)par rapport` al'atomeNlelongde l'axede sym´etriedelamol´e cule(mouveme ntunidime nsionnellelongdel'axex). Classiquement,leplande stroisatomes Hposs`ededeuxpositionsd'´equilibres tablesdepart et d'autredel'atome N.Lep otentielV(x)est doncsym´etrique etposs `ededeuxminimas´epar´es parunebarri `erede potentielmaximaleenx=0(corres pondant aux4atomescoplanaires).Pour simplifier,onmo d´ eliseralamol´eculeNH 3 parlep otentiel paireV(x)suivan t:V(x)=V
0 pour0V(x)= +∞pourx>b+a/2
Lespuitsson tcentr ´esen±betdelargeur a;onnotera Δ=2b-alalargeurde labarri` ere.Pourlamol´ eculeNH
3 onade plus,V 0 ?E,E´etantl'´energiedela mol´ecule,K 0Δ?1et
K 0 a?1av ecK 0 2mV 0 /¯h 21.V(x)´etan tpair,onpeutchercherles solutionsde l'´equation deSchr¨odingerparmi lesfonc-
tionspaires, ψ S (x)etimpaires, ψ A (x).Exprimerces solutions.En´ ecrivant lesconditions deraccordemen t,´etablirl'´equationexprimantla quantificationdel'´ energiepourchaque solutionpaireou impaire.2.Onnotera E
S etE A les´ene rgieslesplusbassespourchaquecas pairet impair.Mon trer qu'ellesnesons pas´egales (contrairement aucas classique)etqu'ellespe uventsemettre souslaf ormeE S =E 0 -AetE A =E 0 +A.ExprimerE 0 etAenfonctionde m,a,K 0 et Δ.Quedevienne ntces ´energieslorsquelabarri`erede potentiel estparfaitementopaque ?3.Dansla mol´ecule NH
3 lesniveaux d'´energiesup´ erieursnesontpasaccessibles,c arleurs ´energiessontbeaucoupplus grandes.Onpeutdonc assimilerlamol´eculeNH 3 `aunsyst `eme `adeuxniveaux.Expliquerqualitativeme ntpourquoil'´etat:ψ
D (x)= S (x)+ψ A (x) 2 correspond`al'´etatde laparticulemlocalis´eedanslepuitsdedroite.Quelestl' ´etat ψ G (x) delaparticule localis´ eedansle puitsdegauche?4.Si laparticulee st`a t=0dans l'´etat ψ
D (x),quele stson ´etatψ D (x,t)`a uninstantt? Montrerqueladens it´e deprobabilit´ edecetteparticuleoscilleentrelesdeux puitsen fonction dutemps: lepland'atome sHpassep´ eriodiquementd'unpuits`al'autrepareffettunnel. Exprimerlapuls ationωdecesos cillationsen fonctiondeA.Commen tvarie-t-elleavecla largeurde labarri` ereΔ?Cettefr´equenced'inversiondelamol ´eculeNH
3 semesure: elleestde l'ordredeν?24000MHzetcorresp ond`aunelongeurd'ondedeλ?1,25cm(dansles micro-ondes).
Ex.2.Op ´erateurs despin
Lespin estle momentcin´etiquein trins`eque desparticules´el´ ementaires.Cettegrandeurph ysique
ned´ ependpasexplicitementdescoordonn´eesd'espace etne poss`edepasd'´equiv alent enm´ecanique
classique. Onconsid` ereiciuneparticuledespin1/2,pare xempleun ´electron.On admettraque l'espace des´etats despindecetteparticule,E 2 ,est unespacededimension2 etonnotera {|+?,|-?}une baseorthonorm´ eedecetespace.Lesop´erateurs S xquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] algorithme exercice corrigé 1ere année
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