[PDF] Analyse Fonctionnelle - Examen du 8 Janvier 2014

View - Download Analyse Fonctionnelle - Examen du 8 Janvier 2014

Previous PDF

Next PDF

Master Mathématiques et Applications1ereannée Aix-Marseille Université

Année 2013-2014

Analyse Fonctionnelle - Examen du 8 Janvier 2014

Durée : 3h

Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans n"importe quel ordre. Le barême tiendra compte de la longueur manifeste du sujet. Exercice 1 (Questions de cours)1.Enoncer le théorème de Banach-Steinhaus. 2. Soit (X;d)un espace métrique complet etf:X7!Xune application. (a) Rappeler ce que signifie la propriété : fest contractante surX. (b) Démontrer que si fest contractante, elle admet un unique point-fixe dansX.Exercice 2

Soita= (an)nRNune suite de nombres réels.

1.

Montrer que, pour que la série P

n0janxnjsoit convergente pour tout élémentx2l1, il est nécessaire et suffisant quea2l1. 2. On suppose désormais que a2l1, et on définit kxkdef=X n0janxnj;8x2l1: Donner une condition nécessaire et suffisante surapour quek:ksoit une norme surl1. 3.

Sous les conditions précédentes, montrer qu"il e xisteC >0(dépendant de la suitea) telle que

kxk6Ckxkl1;8x2l1: 4. Montrer que les normes k:ketk:kl1ne sont pas équivalentes surl1. 5. Montrer que l"espace l1muni de la normek:kn"est pas un Banach.Exercice 3 SoitE=C0([0;1];R)muni de la norme infiniek:k1etFun sous-espace vectorielfermédeE. On suppose que toutes les fonctionsféléments deFsont dérivables en tout point de[0;1]. Le but de l"exercice est de montrer queFest de dimension finie. 1. On fix edans cette question un point x2[0;1]. Pour touty2[0;1]n fxg, on définit T y:f2F7!f(y)f(x)yx2R: (a) Montrer que, pour tout y6=x,Tyest une forme linéaire continue surF. (b) Montrer que, pour tout f2F, la famille(Tyf)y6=xest bornée. (c) Montrer qu"il e xisteun nombre Cx>0dépendant seulement dextel que jTyfj6Cxkfk1;8f2F;8y6=x: 2.

On fix edans cette question un nombre " >0.

(a) Montrer que pour tout x2[0;1], il existex>0tel que

8y;y02[0;1];t.q.jyxj6x;jy0xj6x;on ajf(y)f(y0)j6"kfk1;8f2F:

1 (b)Montrer qu"il e xiste >0, tel que

8y;y02[0;1];t.q.jyy0j6;on ajf(y)f(y0)j6"kfk1;8f2F:

3.

Montrer que la boule unité fermée de Fest compacte et conclure.Exercice 4 (Représentation du dual deLp(

))Soit un ouvertbornédeRd,1< p62etq=p=(p1)son exposant conjugué, qui vérifie donc26 q <+1. On munit de la mesure de Lebesgue (on noteraj jle volume de ) et on ne considèrera que des

fonctions à valeurs réelles. Le but de cet exercice est de démontrer un théorème de représentation pour le dual

de l"espaceLp( )qui s"énonce comme suit :

Pour toute forme linéaire continueL2(Lp(

))0, il existe une uniqueg2Lq( )telle que

L(v) =Z

gv dx;8v2Lp( );et de plus on akLk(Lp)0=kgkLq:(P) 1. En utilisant un résultat du cours, montrer la propriété ( P) dans le casp=q= 2. 2. On suppose maintenant que p <2. Démontrer qu"on a l"inclusionL2( )Lp( )et l"inégalité kvkLp6j j2p2pkvkL2;8v2L2( 3.

Soit v:

!Rune fonction mesurable quelconque. Pour toutn1, on définit une fonctionTnvpar T nv(x) = max(n;min(n;v(x)));8x2 (a)

Montrer les propriétés sui vantes:

i.Tnv2L1( )L2( ), pour toutn1. ii.Tnv(x)etv(x)sont de même signe, pour toutx2 et toutn1. iii.jTnv(x)j6jv(x)jpour toutx2 et toutn1. iv.limn!1Tnv(x) =v(x)pour toutx2 (b)

Montrer que si v2Lp(

), avecp <2alors(Tnv)nconverge versvdansLp( ). En déduire que L 2( )est dense dansLp( 4. On rappelle qu"on a supposé que p <2. On se donne une forme linéaire continueLsurLp( (a)

Montrer que la restric tionde Là l"espaceL2(

)est une forme linéaire continue surL2( ). En déduire qu"il existeg2L2( )telle que

L(v) =Z

gv dx;8v2L2( ):(1) (b) On pose vn=Tn(jgjq2g. En utilisant le fait que(p1)(q1) = 1, montrer que Z jvnjpdx6Z gv ndx: (c)

En déduire que pour tout n1, on akvnkp1

L p6kLk(Lp)0: (d)

En utilisant le lemme de F atou,montrer que g2Lq(

)etkgkLq6kLk(Lp)0: (e) En déduire que l"ég alité(1) est encore v alablepour tout v2Lp( (f) Montrer qu"on a en f aitl"ég alitédes normes kgkLq=kLk(Lp)0.2quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

[PDF] analyse formelle lineaire Bac +1 Littérature

[PDF] Analyse francais 2nde Français

[PDF] analyse gat PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] Analyse grammaticale 4ème Latin

[PDF] analyse grammaticale cm1 exercices PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] analyse grammaticale cm2 pdf PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] analyse grammaticale d'une phrase PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] analyse grammaticale exercices corrigés pdf PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] analyse grammaticale nature et fonction PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] analyse grammaticale nature et fonction pdf PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] analyse grammaticales sur un extrait 4ème Français

[PDF] analyse harmonique jazz PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] Analyse histoire des arts good bye lenin 3ème Histoire

[PDF] analyse i have a dream PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] Analyse image 2nde Français