[PDF] Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 Examen : Bases dAnalyse

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Universit´e Pierre et Marie Curie - Paris 6 Examen : Bases d"Analyse Fonctionnelle M1 Math´ematiques12 d´ecembre 2011, de 14h00 `a 17h00

Questions de cours

1. Donner la d´efinition d"une base hilbertienne d"un espacede HilbertX.

2. Donner la d´efinition de l"espace de SchwartzS(RN).Sous quelles conditions une suite (un)n?N

dansS(RN) converge-t-elle versu? S(RN)? Donner la d´efinition de l"espace des distributions temp´er´eesS?(RN).

Exercice 1

SoitXun espace vectoriel surCmuni d"un produit scalaire (·,·) :X×X→C.On

rappelle qu"une application lin´eaireAdeXdansX(non n´ecessairement continue) est sym´etrique si

(A(u),v) = (u,A(v))?u,v?X.

1. Montrer queAest sym´etrique si et seulement si

(A(u),u)?R?u?X. Indication : Imiter les identit´es de polarisation.

2. On consid`ere ici le casX=D(R,C), l"espace des fonctions ind´efiniment d´erivables et `a support

compact deRdansC,que l"on munit du produit scalaire deL2(R,C) (u,v) :=? R u(x) v(x)dx?u,v? D(R,C). Pour quelles valeurs dek?Nl"application lin´eaire A k:X→X, u?→dk dxku est-elle sym´etrique?

Exercice 2

SoientXetYdeux espaces de Hilbert r´eels munis de produits scalaires not´es respec-

tivement (·,·)Xet (·,·)Y.Soit˜Yun sous-espace vectoriel deYdense dansY.On munit˜Ydu produit

scalaire deY, ce qui en fait un espace pr´e-hilbertien. On fait l"hypoth`ese queY?Xet il qu"il existe

une constanteC >0 telle que o`u? · ?Xet? · ?Yd´esignent les normes induites par les produits scalaires deXetY.

On se donne une forme lin´eaire continuef?˜Y?et une forme bilin´eairea:XטY→Rtelle que

(autrement dit chacune des applications partiellesx?→a(x,y)est un ´el´ement du dualX?) et telle que ?α >0, a(y,y)≥α?y?2Y?y?˜Y . (on dit queaest coercitive sur˜Y). Le but de l"exercice est de d´emontrer la variante suivante du Th´eor`eme de Lax-Milgram : ?x??Xt.q.a(x?,y) =f(y)?y?˜Y .(1)

1. Montrer qu"il existe une application lin´eaireT:˜Y→Xtelle que

a(x,y) = (x,T(y))X?x?X,?y?˜Y .

2. Montrer queTest injective.

Dans la suite, on d´esigne parZl"image parTde˜Y, que l"on munit du produit scalaire deX.On d´esigne parR:Z→˜Yl"inverse `a gauche deT,autrement dit

R(T(y)) =y?y?˜Y .

3. Montrer queR? L(Z,˜Y),l"espace des applications lin´eaires continues

deZdans˜Y .

4. D´eduire qu"il existe une unique application lin´eaire continue¯R:¯Z→Yqui prolongeR.(Ici,¯Zd´esigne l"adh´erence deZdansX)

5. Montrer qu"il existe une unique forme lin´eaire continue

¯f?Y?qui prolongef.

6. Montrer qu"il existe un uniqueh?Ytel que

f(y) = (y,h)Y?y?Y.

7. SoitPla projection orthogonale deXsur¯Z.Montrer que¯R◦P? L(X,Y).

8. SoitA? L(X,Y) quelconque. Montrer qu"il existeA?? L(Y,X) telle que

(A(x),y)Y= (x,A?(y))X?x?X,?y?Y. (On dit queA?est l"adjoint deA)

9. Montrer quex?:= (¯R◦P)?(h) fournit une solution du probl`eme (1).

Exercice 3

Soit 0< α <1,etuα:R→Rla fonction d´efinie par u

α(x) :=?|x|-αsix?= 0

0 six= 0.

1. Montrer queuα? S?(R) (au sens de l"injection canonique) et en d´eduire que ˆuα? S?(R),o`u ˆuα

d´esigne la transform´ee de Fourier deuα.

2. Montrer que si

1

2< α <1,il existevα?L1(R) etwα?L2(R) telles queuα=vα+wαpresque

partout.

3. D´eduire que pour

1

2< α <1,ˆuα? C0(R) +L2(R).En particulier, ˆuαest une distribution

temp´er´ee associ´ee `a une fonction, que par abus on note aussi ˆuα.

4. En remarquant que pour toutλ?R\ {0},et pour toutx?R,

u

α(x

λ) =|λ|αuα(x),

montrer que pour 1

2< α <1 etλ?R\ {0}fix´es,

ˆuα(x

λ) =|λ|1-αˆuα(x) presque partout.

5. D´eduire que pour

1

2< α <1,il existe une constantecα?Ctelle que

ˆuα(x) =cα|x|α-1presque partout.

6. En utilisant la formule d"inversion de Fourier dansS?(R), ´etendre ce dernier r´esultat au cas o`u

0< α <1

2.

7.(Bonus)Montrer que ˆu1

2=u12.

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