[PDF] Analyse Fonctionnelle - Examen du 7 Janvier 2015

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Master Mathématiques et Applications1ereannée Aix-Marseille Université

Année 2014-2015

Analyse Fonctionnelle - Examen du 7 Janvier 2015

Durée : 3h

Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans n"importe quel ordre. Le barême tiendra compte de la longueur manifeste du sujet. Exercice 1 (Questions de cours)1.Enoncer le théorème d"Ascoli. 2. Soit (X;d)un espace métrique complet etf:X7!Xune application. (a) Rappeler ce que signifie la propriété : fest contractante surX. (b) Démontrer que si fest contractante, elle admet un unique point-fixe dansX.Exercice 2

Soit(k)kune suite de nombres réels telle queP

k0jkj<+1. On se donne par ailleurs une suite(qk)k d"éléments de[0;1]distincts deux à deux. 1.

Démontrer que pour toute fonction continue f: [0;1]!R, la série de terme général(kf(qk))kest

convergente. 2.

On suppose désormais que

X k0 kqnk= 0;8n0: Le but de l"exercice est de montrer que les(k)ksont nécessairement tous nuls. (a)

Montrer que, pour tout polynôme P2R[X], on a

X k0 kP(qk) = 0: (b) Démontrer (en précisant tous les ar guments)que pour toute fonction continue f: [0;1]!Ron a X k0 kf(qk) = 0: (c) Soit ':R![0;1]une fonction continue à support dans[1;1]telle que'(0) = 1. i.

Dessiner une telle fonction '.

ii.

On fix ek00. Démontrer soigneusement que

lim !00 X k0 k'qkqk0 1 A =k0: Indication :On pourra commencer, pour un" >0fixé, par choisir (en le justifiant) un indice k

1> k0tel queP

kk1jkj ". iii.

Conclure. 1

Exercice 3

Soit(H;h;i)un espace de Hilbert dont on note la normek k.

SoitA:H!Hun opérateur linéaire continu qui vérifie de plus, pour un certain >0, la condition

hAu;ui kuk2;8u2H: Le but de l"exercice est de montrer queAest bijectif. 1.

Démontrer tout d"abord que Aest injectif.

2. On fix eb2H. Pour un >0donné, on considère l"application f:u2H7!u(Aub)2H: (a) Pour tous u1;u22H, en calculantkf(u1)f(u2)k2, montrer que kf(u1)f(u2)k2(12+2kAk2)ku1u2k2: (b) Montrer que l"on peut choisir >0de sorte quefsoit contractante. (c)

Conclure. Exercice 4

SoitFun sous-espace vectoriel deC0([0;1];R). On suppose queFest fermé pour la topologie deL2(]0;1[)

(dont on noteh;i2le produit scalaire etk:k2la norme associée). Le but de l"exercice est de montrer queFest de dimension finie. 1.

Démontrer que Fest fermé dansC0([0;1];R). En déduire quek:k1etk:k2sont des normes équivalentes

surF. 2.

Justifier rapidement l"e xistencede l"opérateur de projection orthogonale sur FdansL2(]0;1[). On le note

P F. 3.

Démontrer que pour tout x2[0;1], l"application

x:f2L2(]0;1[)7!(PFf)(x)2R;

est bien définie et constitue une forme linéaire continue surL2. En déduire qu"il existegx2L2(]0;1[)

telle que (PFf)(x) =hf;gxi2;8f2L2(]0;1[): 4. Soit (fn)nune suite d"éléments de la boule unité fermée de(F;k:k1). (a) Démontrer qu"il e xisteune sous-suite (f'(n))nqui convergefaiblementdansL2(]0;1[)vers une fonction notéef2L2(]0;1[). (b) Démontrer que pour tout x2[0;1], on a la convergence simple f '(n)(x)!n!1(PFf)(x): (c) Démontrer que (f'(n))nconvergefortementversPFfdansL2(]0;1[). En déduire quef2F. (d) Démontrer que (f'(n))nconverge versfdans(F;k:k1). (e)

Conclure. 2

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