[PDF] SIMILITUDES DIRECTES PLANES 8 EXPRESSION ANALYTIQUE D'UNE

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SIMILITUDES DIRECTES PLANES

MOUNTOUMJOU ABDEL AZIZ

le 11 octobre 2012

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c rique?DÃc partement de mathÃc matiques -ENSMOUNTOUMJOU ABDEL AZIZc

ENS 2012

SIMILITUDES DIRECTES PLANES1Table des matières

1 INTRODUCTION3

2 GENERALITES3

3 DEFINITIONS4

3.1 Similitudes planes

4

3.2 Similitudes directes planes

6

4 FORME REDUITE D"UNE SIMILITUDE DIRECTE PLANE

9

5 EXPRESSION COMPLEXE D"UNE SIMILITUDE DIRECTE PLANE

9

6 PROPRIETE CARACTERISTIQUE D"UNE SIMILITUDE DIRECTE PLANE

13

7 EXISTENCE ET UNICITE D"UNE SIMILITUDE DIRECTE PLANE

14

8 EXPRESSION ANALYTIQUE D"UNE SIMILITUDE DIRECTE PLANE

16

9 ELEMENTS GEOMETRIQUES D"UNE SIMILITUDE DIRECTE PLANE

17

10 COMPOSITION DE SIMILITUDES DIRECTES PLANES

20

11 SIMILITUDES DIRECTES ET CONFIGURATIONS DU PLAN

21

12 UTILISATION DES SIMILITUDES DIRECTE PLANES

22

12.1 Rechercher les lieux géométriques

22

12.2 Problèmes de construction

23

12.3 Démonstration des propriétés

24

13 EXERCICES ET PROBLEMES

25

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SIMILITUDES DIRECTES PLANES2OBJECTIFS PEDAGOGIQUES OPERATIONNELS Au terme de cette ressource, l"apprenant doit être capable de : 1.

Définir les similitud es

2. Déterminer la forme rédui tedes similitudes directes planes 3. Donner les élémen tsgéométriques d"une similitude directe 4. Maitriser la comp oséedes similitudes d irectesplanes 5.

Construire les images des figures simples

6. Déduire une image à l"aide des similitudes directes 7. Utiliser les s imilitudesdirectes planes p ourconstru ire,rec hercherles lieux géométriq ues et démontrer les propriétés

PLACE DE LA RESSOURCE DANS LE PROGRAMME

Les similitudes directes devraient s"enseigner après les leçons sur les nombres complexes et les isométries.

PRE-REQUIS

L"apprenant doit connaitre :

1. La notion de distance en tredeux p ointset ses propriétés 2. La notion d"application et de comp ositiondes applications 3.

La notion de bary centreet ses propriétés

4.

Les homothéties et leu rsutilisations

5.

Les isométries du plan et leurs utilisations

(a) Comp osition(symétries-translations, rotations-translations ) (b) Classification des isométries (déplacemen ts,an tidéplacementset leurs co mpositions) 6.

Les nom brescomplexes

(a)

F ormesalgébriques et op érations

(b)

Conjugué et mo dule

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SIMILITUDES DIRECTES PLANES3(c)F ormetrigonométrique (d)

Notation exp onentielle

(e) Résolution des équations dans Cet des systémes d"équations à deux inconnues (f) L"expression complexe d"une transformation du plan (g) Carac térisationsdes configurations du plan à l"aide des nom bresc omplexes

HISTORIQUE ET MOTIVATION

Les notions d"homothétie et de rotation sont connues depuis les classes de Troisième et celles de similitudes en classe de Premières scientifiques. Les applications de cette dernière transformation en physique sont d"une grande importance comme en optique physique. Plus couramment, deux objets sont semblables si l"un est l"image de l"autre par une similitude. Plus généralement, une similitude agrandit ou réduit la taille de l"image d"un objet.

UTILISATIONS FUTURES

Les similitudes directes du plan nous permettent de résoudre plus facilement certains pro- blèmes de mathématiques physiques liés à la pratique dans la vie courante.

1 INTRODUCTION

2 GENERALITES

En classe de Première, les similitudes sont définies comme la composée d"une isométrie et d"une homothetie. Ici, la notion sera plus apprfondie. L"utilisation des nombres complexes

facilitera l"étude des éléments caractéristiques de cette transformation géométrique.

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SIMILITUDES DIRECTES PLANES4Le plan complexePest muni du repère orthonorméR= (O;!e1;!e2).

3 DEFINITIONS

3.1 Similitudes planes

Activité.SoitABCDun carré direct de centreO;A0,B0,C0etD0les milieux respectifs des côtés[OA],[OB],[OC]et[OD]. Soitfl"application du plan dans lui même qui transforme les pointsA,B,C,Drespectivement enA0,B0,C0D0et conservant le barycentre de deux points. 1. Démontr erque les dr oites(AB)et(A0B0),(BC)et(B0C0),(CD)et(C0D0),(AD)et (A0D0)sont parallèles. 2.

Démontr erque A0B0=12

AB,B0C0=12

BC,C0D0=12

CDetA0D0=12

AD. 3. (a) Quel lec onjecturep eutfair ep ourl"applic ationf? (b) Montr erqu esi Mest un point du plan,Mest le barycentre des pointsA;BetC.

Déduire que8M;N2 P;f(M)f(N) =12

MN.

Aziz/FIG 1.PNG

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SIMILITUDES DIRECTES PLANES5Définition 1.On appelle similitude plane toute applicationfdu plan dans lui-même telle que :

9k2R+;8M,N2 P,f(M)f(N) =kMN.kest le rapport de la similitudef.

Aziz/FIG 2.PNGExemple 1.1.T outehomothétie hde rapportk2R+est une similitude plane de rapport jkj.

En effet,8M,N2 P,

h(M)h(N) =k!MN=) kh(M)h(N)k=kkMNk =) kh(M)h(N)k=jkjkMNk =)h(M)h(N) =jkjMN. (2)

Aziz/FIG 3.png

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SIMILITUDES DIRECTES PLANES62.Soit ABCun triangle équilatéral direct de centreGetsla réflexion d"axe(AG). On a :

s(A) =A,s(B) =Cets(G) =G, c"est-à-dire ques(AB) =s(A)s(B) =AC=ABet s(GB) =s(G)s(B) =GC=GB. Doncsconserve le rapport des distances. Ainsisest une similitude plane. Aziz/FIG 4.PNG3.T outeisométrie du plan est une similitude plane de r apport1. En effet, soitfune isométrie du plan;8M;N2 P;f(M)f(N) =MN=)f(M)f(N) = kMNaveck= 1. Remarque 1.1.Une homothétie c onserveles angles orientés. Si hest une homothétie, alors

8A;B;C;D2 P;mes\(!h(A)h(B);!h(C)h(D)) =mes\(!AB;!CD).

2. Une r éflexionc onserveles angles orientés. Si sest une réflexion, alors8A;B;C;D2

P;mes\(!s(A)s(B);!s(C)s(D)) =mes\(!AB;!CD).

Les similitudes conservent les angles géométriques.

3.2 Similitudes directes planes

Activité.SoitEFGHI, un pentagone régulier direct de centreOetfl"application du plan dans lui même qui transforme les pointsE,F,G,H,Irespectivement enF,G,H,I,Eet conservant le barycentre des points. 1.

Que p eut-ondir edes angles

2. Démontr erque : mes\(!f(O)f(E);!f(O)f(F)) =mes\(!OE;!OF)etmes\(!f(O)f(F);!f(O)f(H) = mes \(!OF;!OH).

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SIMILITUDES DIRECTES PLANES7Aziz/FIG 5.png

3. Que p eut-onc onjecturerp ourmes\(!f(M)f(N);!f(M0)f(N0);8M;N;M0;N02 P?. Définition 2.Une similitude directe plane est une similitude planefqui conserve les angles orientés c"est-à-dire que8ABCD2 P;mes\(!f(A)f(B);!f(C)f(D) =mes\(!AB;!CD).

Aziz/FIG 6.PNG

Note Toute similitude directe plan qui n"est pas directe est dite indirecte ou rétrograde. Exemple 2.1.T outehomothétie est une similitude dir ecteplane. En effet, si hest une similitude, alors8M;N;M0;N02 P;mes\(!h(M)h(N);!h(M0)h(N0)) =mes\(MN;M0N0).

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SIMILITUDES DIRECTES PLANES82.T outer otationest une similitude dir ectepl ane.En effet, si rest une rotation, alors

8M;N;M0N02 P, on a :8

>>>:r(M0)r(N0) =M0N0 r(M)r(N) =MN mes \(!r(M)r(N);!r(M0)r(N0)) =mes\(MN;M0N0):

Aziz/FIG 7.PNG3.Soit ABCDparallélogramme de sens direct,HetH0les projetés orthogonaux respectifs

des pointsAetBsur la droite(DC). On considère la translationtde vecteur!AB. On a :t(A) =B,t(D) =Cett(H) =H0c"est-à-dire quet(ADH) =BCH0. Ainsi, mes(!AD;!AH) =mes(!BC;!BH0) mes(!DA;!DH) =mes(!CB;!CH0) mes(!HA;!HD) =mes(!H0B;!H0C) Donctconserve les rapports les angles orientés : c"est une similitude directe plane.

Aziz/FIG 8.PNG

Proposition 1.Une similitude directe est la composée d"un déplacement (translation ou rota- tion) et d"une homothétie.

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SIMILITUDES DIRECTES PLANES94 FORME REDUITE D"UNE SIMILITUDE DIRECTE PLANE

Activité.

Proposition 2.: Soientkun réel strictement positif etfune similitude directe plane de rapportk. Si fn"a pas de point invariant, alorsfest une translation du plan de vecteur non nul.

Aziz/FIG 9.PNG-Si fa au moins un point invariant

, alors il existe un unique angletel que l"on ait f=h( ;k)r( Aziz/FIG 11.PNGSifn"est pas l"identité du plan, et sifadmet au moins un point invariant , alors ce point est le seul point invariant. L"applicationfest déterminée par la donnée de ,ket. On dit quefest la similitude directe de centre , de rapportket d"angleet on note souvents( ;k;).

La décompositionh(

;k)r( ;)ou tout simplementhrest appelée forme réduite def.

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SIMILITUDES DIRECTES PLANES105 EXPRESSION COMPLEXE D"UNE SIMILITUDE DIRECTE PLANE Activité.Soitfune similitude directe de rapportk. Elle est composée d"un déplacementget d"une homothétiehde rapportk. 1. Démontr erque l"expr essionc omplexede gest :g(z) =az+boùaest un nombre complexe de module1etbun nombre complexe quelconque. 2. Démontr erque l"expr essionc omplexede hesth(z) =kz+doùkest le rapport le rapport de l"homothétie (donc un nombre réel non nul) et d un nombre complexe quelconque. 3.

En Dé duirel "expressionc omplexede f.

Théorème 1.Soitfune similitude directe (de rapportket d"angle). Alors,fadmet une expression complexe de la formef(z) =az+baveca=kei. Démonstration.Soit f une similitude directe de rapportket d"angle. Il est à remarquer que sifa une expression complexe de la formez0=az+b, alorsOa pour imageO0d"affixeb. Appelons doncbl"affixe deO0image deOparfet soitM0(z0)l"image deM(z)parf.

AlorsO0M0=kOM, doncjz0bj=kjz0j, soitjz0bz

j=k.

De plus,(!OM;!O0M0=.

Doncarg(z0b)arg(z0) =, soitarg(z0bz

z 0bz est le nombre complexe de moduleket d"argument,doncz0bz =kei. D"oùfs"écritz0=az+baveca=keietk6= 0donca6= 0. Activité.Soitsune application du plan dans lui-même dont l"expression complexe est de la formez0az+b,a2Cetb2C. 1. Montr erque si a= 1, alorssest la translation de vecteur!ud"affixeb. 2. Montr erque si a6= 1, alors l"écriture complexe de desestz0!=kei(z!)où!est la solution de l"équationz=az+b,kle module deaetun argument dea. En déduire ques=hr=rh. Théorème 2(Réciproque).Soientaetbdeux nombres complexes. Toute transformationfadmettant une expression complexe de la formeaz+baveca6= 0est une similitude directe de rapportk=jajet d"angle= arga. Démonstration.SoientMetNdeux points quelconques du plan d"images respectivesM0et N

0parf.

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SIMILITUDES DIRECTES PLANES11On azN0=azN+betzM0=azM+b.

AlorszN0zM0=a(zNzM).

D"oùjzN0zM0j=jajjzNzMj.

DoncM0N0=jajMNeta6= 0.

Doncfest une similitude de rapportjaj.

De plus, commea6= 0;son argument existe etarg(zN0zM0) = arga+ arg(zNzM).

Donc(!u ;!M0N0) = arga+ (!u ;!MN).

D"où(!MN;!M0N0) = arga.

fest une similitude et l"angle entre un vecteur et son image est constant. Doncfest une similitude directe et son angle vaut cette constante :arga. Définition 3.Les nombres réelsketsont appelés respectivementrapportetanglede la similitude directef.

Le point

est appelécentrede la similitude directef.

Une similitude directe qui n"est pas une translation est déterminée par son centre, son rapport

et son angle, appeléséléments caractéristiquesde cette similitude. Exemple 3.1.Donner l"expr essionc omplexede la similitude sde centre (2;1)de rapport

2et d"angle6

Aziz/FIG 9.PNG2.Etudier la tr ansformationfdéfinie par f : C!C(3) z7!(1ip3)z1 +i (5)

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SIMILITUDES DIRECTES PLANES12Solution.1.L asimilitude d irectesa pour point invariant d"affixe!= 2i.

On a :z0=az+b

)!=a!+b )b=!(1a) )z0=az !(1a) )z0=az+!(1a). Donc z

0= 2ei6

(z2 +i) + 2i = 2(p3 2 +i2 )(z2 +i)) + 2i p3 +i)(z2 +i) + 2i p3 +i)z2p312i+ip3 + 2i p3 +i)z+ 12p3 +i(p33). (7) 2. L"é criturec omplexede la tr ansformationfest de la formez0=az+b, donc f est une similitude directe.

L"équationz= (1ip3)z1 +ia pour solution

!=1 +i11 +ip3 1 +ii p3

1 +ip3

1p3 +ip3 (9) . De plus,(1 +ip3) = 2( 12 ip3 2 ) = 2ei3 On en déduit quefest une similitude directe de centre (1p3 ;1p3 )de rapport2et d"angle 3

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SIMILITUDES DIRECTES PLANES13Méthode.Pour déterminer les équations caractéristiques d"une similitude directesd"expres-

sion complexez0=az+b(a2Cnf1g;b2C), 1. R ésoudrel"é quationz=az+b, on obtient le centre des. 2. Calculer le mo dulede a, on obtient le rapport des. 3. Déterminer un ar gumentde s, on obtient l"angle des.

Cas particuliers

Les translations sont des similitudes de rapport1et d"angle nul. Une homothétie de rapportk >0est une similitude directe de rapportket d"angle nul. Une homothétie de rapportk <0est une similitude directe de rapportket d"angle. Une rotation d"angleest une similitude directe de rapport1et d"angle

6 PROPRIETE CARACTERISTIQUE D"UNE SIMILITUDE DIRECTE

PLANE

Activité.Soitsune similitude directe de centre

, de rapportket d"angle. En utilisant l"expression complexe des, démontrer que M0

M=ketmes(!

M;!

M0) =.

Proposition 3.Soitsla similitude directe de centre , de rapportket d"angle.

8M;M02 P, on a :

s(M) =M0()8 M0=k M mes(! M;! M0) = Exemple 4.1.Soit ABCDun carré direct. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directesde centreAqui transformeBenC. 2. Soit ABCun triangle équilatéral direct. SoitIle milieu du segment[BC]etH, le projeté orthogonal deIsur la droite (AC). (a) Déterminer les éléments c aractéristiquesde la similitude dir ectes0de centreAqui transformeBenI. (b) Démontr erque c ettesimilitude dir ectetr ansformeIenH.

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SIMILITUDES DIRECTES PLANES14Aziz/FIG 12.PNG

Aziz/FIG 13.PNG

Solution.1.On a : ABAC

= cos(!AB;!AC)etmes(!AB;!AC) =4 Donc, ABAC =p2 2 etmes(!AB;!AC) =4

C"est-á-dire que8

:AC=p2AB mes(!AB;!AC) =4 Nous en déduisons quesest la similitude directe de centreA, de rapportp2et d"angle4 2. (a)

On a :

AIAB = cos(!AB;!AI)etmes(!AB;!AI) =6 Donc, AIAB =p3 2 etmes(!AB;!AI) =6

C"est-á-dire que8

:AI=p3 2 AB mes(!AB;!AI) =6 Il s"en suit ques0est la similitude directe de centreA, de rapportp32et d"angle6

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SIMILITUDES DIRECTES PLANES15(b)On mo ntrede la même façon que 8 :AH=p3 2 AI mes(!AI;!AH) =6

Doncs0(I) = (H).

7 EXISTENCE ET UNICITE D"UNE SIMILITUDE DIRECTE PLANE

Activité.Soitsune similitude directe plane, SoitA,B,A0;etB0quatre points du plan tels queA6=BetA06=B0. On suppose qu"il existe une similitude directestelle ques(A) =A0ets(B) =B0. Elle a pour écriture complexez0=az+b. (a)

Montr erque a=zB0zA0z

BzAetb=zA0azA.

(b)

Conclur e.

1. On su pposeque sest une similitude directe dont l"expression complexe estz0=az+bavec a=zB0zA0z

BzAetb=zA0azA.

(a)

Montr erque aest bien définie.

(b)quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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