[PDF] ´Etude de la fonction Gamma dEuler

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´Etude de la fonction Gamma d"EulerA. Lesfari

E. mail: lesfariahmed@yahoo.fr

Site web : http://lesfari.com♠Probl`eme♠ On appelle fonction gamma d"Euler la fonction d´efinie par

Γ(x) =?

0 e-ttx-1dt.

1)Montrer que Γ est d´efinie sur ]0,+∞[.

2)Montrer que cette int´egrale converge uniform´ement sur l"intervalle [a,b]

o`u 0< a < b <+∞.

3)En d´eduire que Γ est continue sur ]0,+∞[.

4)Montrer que Γ est de classeC∞sur ]0,+∞[ avec

(k)(x) =? 0 e-t(lnt)ktx-1dt.

5)Montrer que :

?x >0,Γ(x+ 1) =xΓ(x).

6)En d´eduire que :

?k?N?,Γ(k+ 1) =k!.

7)Montrer que pour toutk?N, on a

k+12? =(2k)!22kk!⎷π, -k+12? =(-1)k22kk!(2k)!⎷π.

8)Montrer que Γ est convexe.

9)Montrer que Γ?s"annule une et une seule fois en un pointα?]1,2[.1

(A. Lesfari, fonction gamma d"Euler)210)Montrer que : lim x→0+xΓ(x) = 1, et lim x→0+Γ(x) = limx→+∞Γ(x) = +∞.

11)Calculer limx→+∞Γ(x)xet interpr´eter le r´esultat obtenu.

12)Montrer que l"on peut d´efinir la fonction Γ(x) pour des valeurs n´egatives

dexet qu"elle agit comme un prolongement de la fonction factorielle.

13)Esquisser une repr´esentation graphique de la fonction Γ(x).

14)Montrer que

Γ(x) =?

0 e-ttx-1dt= limk→+∞? k 0? 1-tk? k t x-1dt, x >0

15)Montrer que

Γ(x) = limk→+∞k

x.k!x(x+ 1)...(x+k), x >0

16)En d´eduire la formule de Weierstrass :

1Γ(x)=xeγx∞?

k=1?

1 +xk?

e -xk, x >0 o`u

γ= limk→∞?

k? l=11l-lnk? = 0,57721..., est la constante d"Euler.♣Solution♣

1)Pour toutx?R, la fonction

]0,+∞[-→R, t?-→e-ttx-1, est positive, continue sur ]0,+∞[ et donc localement int´egrable sur ]0,+∞[. L"int´egrale en question converge en mˆeme temps que les int´egrales? 1 0 e-ttx-1dt et 1 e-ttx-1dt. Au voisinage de 0, on a e -ttx-1≂tx-1. (A. Lesfari, fonction gamma d"Euler)3L"int´egrale? 1 0 tx-1dtconverge si et seulement six >0 et d"apr`es le crit`ere d"´equivalence, il en est de mˆeme pour 1 0 e-ttx-1dt. Au voisinage de +∞, on a limt→+∞t2e-ttx-1= 0, c.-`a-d., e -ttx-1=o?1t2? et l"int´egrale 1 e-ttx-1dtconverge. Par cons´equent, l"int´egrale? 0 e-ttx-1dt converge si et seulement six >0.

2)Pourx≥a >0 ett?]0,1]. On a

e

L"int´egrale

1 0 e-tta-1dt´etant convergente, alors? 1 0 e-ttx-1dtconverge nor- t?[1,+∞[, on a e

Comme l"int´egrale?

1 e-ttb-1dtconverge, alors on d´eduit du mˆeme crit`ere que 1 cons´equent, l"int´egrale en question converge normalement, donc uniform´ement sur l"intervalle [a,b] o`u 0< a < b <+∞.

3)La fonction sous le signe int´egrale est continue sur ]0,+∞[×]0,+∞[. La

continuit´e de la fonction Γ sur ]0,+∞[ r´esulte imm´ediatement de la question pr´ec´edente et du th´eor`eme de continuit´e.

4)Posonsf(x,t) =e-ttx-1. Notons quefest de classeCk,?k?N?, sur

]0,+∞[×]0,+∞[ et sa d´eriv´ee jusqu"`a l"ordrekeste-t(lnt)ktx-1. Pour montrer que Γ est de classeC∞sur ]0,+∞[ avec (k)(x) =? 0 e-t(lnt)ktx-1dt, on applique le th´eor`eme de d´erivation aux d´eriv´ees successives defpar rap- port `axen utilisant un raisonnement similaire `a celui fait dans les questions pr´ec´edentes. Pourk= 1, calculons formellement la d´eriv´ee de Γ(x) : ?(x) =? 0 e-t(lnt)tx-1dt. (A. Lesfari, fonction gamma d"Euler)4Pourx≥a >0 ett?]0,1], on a

Au voisinage de 0, on a

e -t(lnt)ta-1≂(lnt)ta-1.

En int´egrant par parties, on obtient

lim u→0? 1 u (lnt)ta-1dt= limu→0? (lnt)taa-taa2? 1 u =-1a2, a >0

L"int´egrale

1 0 (lnt)ta-1dtconverge et d"apr`es le crit`ere d"´equivalence l"int´egrale 1 0 e-t(lnt)ta-1dtconverge aussi. Donc l"in´egalit´e ci-dessus et le crit`ere de

Weierstrass montre que l"int´egrale

1 0 e-t(lnt)tx-1dtconverge normalement a e

L"int´egrale?

1 e-t(lnt)tb-1dtconverge car lim t→+∞t2e-t(lnt)tb-1= 0, c.-`a-d., e -t(lnt)tb-1=o?1t2? D"apr`es le crit`ere de Weierstrass, l"int´egrale 1 e-t(lnt)tx-1dtest normale- 0 e-t(lnt)tx-1dt converge normalement, donc uniform´ement sur l"intervalle [a,b] o`u 0< a < b <+∞. Toutes les hypoth`eses du th´eor`eme de d´erivation ´etant satisfaites, on en d´eduit que la d´erivation ci-dessus est justifi´ee et que Γ est de classeC1sur ]0,+∞[ avec ?(x) =? 0 e-t(lnt)tx-1dt. Pour les d´eriv´ees successives defpar rapport `ax, on raisonne comme ci-dessus. On consid`ere un compact [a,b]?]0,+∞[, 0< a < b. Pour toutx?[a,b], la fonction∂kf∂xk(x,t) =e-t(lnt)ktx-1,

(A. Lesfari, fonction gamma d"Euler)5est continue par rapport `atsur ]0,+∞[ et pour toutt?]0,+∞[, elle est

continue par rapport `axsur [a,b]. Comme pr´ec´edemment, on a pourx >0, kf∂xk(x,t) =o?tx2-1?, au voisinage de 0 et kf∂xk(x,t) =o?1t2? au voisinage de +∞. D`es lors, l"int´egrale?

0∂

kf∂xk(x,t) est convergente. Pour tout (x,t)?[a,b]×]0,+∞[, on a et d"apr`es le crit`ere de Weierstrass, l"int´egrale

0∂

kf∂xk(x,t), converge nor- malement, donc uniform´ement sur l"intervalle [a,b] o`u 0< a < b <+∞. Les hypoth`eses du th´eor`eme de d´erivation (appliqu´e aux d´eriv´ees successives def par rapport `ax) ´etant satisfaites, on en d´eduit que la fonction Γ est de classe C ∞sur ]0,+∞[ avec (k)(x) =? 0 e-t(lnt)ktx-1dt.

5)En int´egrant par parties, on obtient pourx >0,

u v e-ttx-1dt=e-uuxx-e-vvxx+1x? u v e-ttxdt, d"o`u

Γ(x) = lim

u→+∞v→0? u v e-ttx-1dt=1xΓ(x+ 1).

6)Comme

Γ(1) =?

0 e-tdt= 1, alors d"apr`es la formule ci-dessus, on a

Γ(2) = 1!

Γ(3) = 2Γ(1) = 2!

Γ(4) = 3Γ(2) = 3!

et par une r´ecurrence imm´ediate, on obtient la formule en question. (A. Lesfari, fonction gamma d"Euler)67)On a

Γ(x) =?

0 e-ttx-1dt, = 2 0 e-y2y2x-1dy, t=y2

En particulier,

Γ?12?

= 2? 0 e-y2dy=⎷π. Par application r´ep´et´ee de la formule de r´ecurrence :

Γ(x+ 1) =xΓ(x),

on obtient k+12? k-12? k-12? k-12?? k-32? ...32.12Γ?12? d"o`u k+12? (2k)!22kk!⎷π.

On montre de mˆeme que :

-k+12? =(-1)k22kk!(2k)!⎷π.

8)D"apr`es la question 4), on a sur ]0,+∞[,

??(x) =? 0 e-t(lnt)2tx-1dt. Cette fonction est strictement positive sur ]0,+∞[, donc Γ est convexe.

9)La fonction Γ est continue sur [1,2], d´erivable sur ]1,2[,

Γ(1) = Γ(2) = 1,

et d"apr`es le th´eor`eme de Rolle,?α?]1,2[ tel que : Γ?(α) = 0. Par ailleurs, on d´eduit de 8) que la fonction Γ ?est strictement croissante sur ]0,+∞[, donc elle

(A. Lesfari, fonction gamma d"Euler)7s"annule au plus une fois. Cette fonction est<0 sur ]0,α[ et>0 sur ]α,+∞[.

D`es lors, il existe un point uniqueα?]1,2[ tel que : Γ?(α) = 0. La fonction Γ est strictement d´ecroissante sur ]0,α] et strictement croissante sur [α,+∞[, donc Γ passe par un minimum situ´e entre 1 et 2.

10)D"apr`es la question 3), on sait que la fonction Γ est continue sur

]0,+∞[. En outre, on a montr´e dans 5) que : ?x >0,Γ(x+ 1) =xΓ(x), donc lim x→0+xΓ(x) = lim x→0+Γ(x+ 1) = Γ(1) = 1. La fonction Γ est positive et au voisinage de 0, la fonctione-tt-1n"est pas int´egrable, donc lim x→0+Γ(x) = +∞. La fonction Γ est continue et convexe. Elle croˆıt rapidement quandx→+∞ car Γ(k+ 1) =k!≂kke-k⎷2πk(formule de Stirling).

Donc Γ est croissante sur [2,+∞[ et

lim x→+∞Γ(x) = +∞.

11)Pourx >1, on a

lim x→+∞Γ(x)x= limx→+∞(x-1)Γ(x-1)x= +∞. La courbe repr´esentative de la fonction Γ poss`ede en +∞une branche parabolique de direction l"axeoy.

12)Six?]-1,0[, l"int´egrale

Γ(x+ 1) =?

0 e-ttxdt, converge et la formule

Γ(x) =Γ(x+ 1)x,

nous permet de d´efinir Γ(x) sur ]-1,0[. On peut, de proche en proche, d´efinir Γ(x) sur les intervalles : ]-(k+ 1),-k[,k?N. Plus pr´ecis´ement, on a

Γ(x+ 1) =xΓ(x),

Γ(x+ 2) = (x+ 1)xΓ(x),

(A. Lesfari, fonction gamma d"Euler)8et ainsi de suite

Γ(x+k+ 1) = (x+k)(x+k-1)...xΓ(x), k?N.

D`es lors,

Γ(x) =Γ(x+k+ 1)x(x+ 1)...(x+k), k?N

La fonction Γ(x) se d´efinit par la formule donn´ee dans la question a) et par la formule ci-dessus pour-(k+ 1)< x <-k,k?N. Elle constitue un prolongement de la fonction factoriellek! d´efinie elle, surNseulement.

13)Les droitesx=-k,k?N, sont des asymptotes.14)On a?

1-tk? k et 1-tk? k t La fonctione-ttx-1est sommable (on montre ais´ement qu"elle est absolument

(A. Lesfari, fonction gamma d"Euler)9int´egrable) et d"apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee de Lebesgue, on a

lim k→∞? k 0? 1-tk? k t x-1dt=? k 0 limk→∞? 1-tk? k t x-1dt, 0 e-ttx-1dt, d"o`u le r´esultat.

15)En faisant plusieurs int´egrations par parties, on obtient

k 0? 1-tk? k t x-1dt=kx? 1 0 (1-τ)kτx-1dτ, τ=tk =kxkx? 1 0 (1-τ)k-1τxdτ, =kxk(k-1)x(x+ 1)? 1 0 (1-τ)k-2τx+1dτ, =kxk(k-1)...1x(x+ 1)...(x+k-1)? 1 0

τx+k-1dτ,

=kxk.k!x(x+ 1)...(x+k), et le r´esultat en d´ecoule.

16)D"apr`es 15), on a

k 0? 1-tk? k t x-1dt=kx.1.2.3...kx(x+ 1)(2 +x)(3 +x)...(k+x), kxx(x+1)(2+x)(3+x)...(k+x)1.2.3...k, kxx?1 +x1??1 +x2??1 +x3?...?1 +xk? exlnkx?k l=1?1 +xl? ex(lnk-?k l=11l)x?k l=1?1 +xl?e-x?k l=11l. Or e -x?k l=11l=e-x(1+12+13+···+1k), k? l=1e -xl, (A. Lesfari, fonction gamma d"Euler)10donc?k 0? 1-tk? k tquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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