[PDF] Fonctions spéciales et polynˆomes orthogonaux arXiv:2011.06410





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Etude de la fonction Gamma Γ

Etude de la fonction Gamma Γ. Précis de mathématiques Analyse MP



´Etude de la fonction Gamma dEuler

[1] Lesfari A. : Notions fondamentales d'ANALYSE MATHÉMATIQUE. (Résumés de cours



Méthodes analytiques Exercices et sujets dexamen

14 déc. 2016 La résolution de cet exercice nécessite des connaissances sur la fonction Γ d'Euler qui sont disponibles dans le chapitre I. Page 7. Université ...



INTRODUCTION AUX FONCTIONS SPÉCIALES Vadim

fonction Γ(a) (gamma). 0.2. La deuxi`eme classe trois facteurs sous ... Exercice. En déduire l'équation différentielle 1.3. Idée: montrer que. D{ub−1(1 − u) ...



Corrigé du devoir en temps libre no 5 Autour de la fonction Gamma

3 nov. 2016 On a alors prouvé l'égalité Γ(x) × Γ(1 − x) = π/sin(πx) pour tout x dans ]01[. Exercice 1. 1. La fonction f : v ↦→ ln(v). 1 − v est définie ...



Fonction Gamma dEuler et fonction zêta de Riemann

On peut même se convaincre (exercice) qu'en un entier négatif quelconque z = -n avec n ⩾ 1 les deux membres de l'identité Γ(z + 1) = z Γ(z) sont infinis



La fonction Gamma

4 Exercices. 6. Résumé. Nous établissons dans cet article le prolongement de la fonction Γ `a C(−N) ainsi que différentes identités remarquables satisfaite 



DM n 8 - CORRECTION Exercice 1 - Un grand classique !!

On définit la fonction Γ (dite fonction gamma d'Euler) par. Γ : a →. ∫ +∞. 0 ta−1 e. −t dt. (a) L'ensemble de définition de la fonction Γ est ]0; +∞[ car 



Fonctions spéciales et polynˆomes orthogonaux arXiv:2011.06410

10 nov. 2020 Aussi des exercices corrigés sont proposés `a la fin de chaque chapitre ... fonction gamma (Γ(x) = ∫ ∞. 0 tx−1e−tdt)



Exercices corrigés

Exercices corrigés. Exercice # . Déterminer les bornes sup et inf des tx−1e−t dt; Γ est la fonction Gamma d'Euler. b) Montrer que Γ est continue ...



Etude de la fonction Gamma ?

Exercice : On appelle fonction Gamma la fonction définie par. ? : x ?? ? Montrer que ? est convexe et étudier ses variations. 1. Soit f :.



INTRODUCTION AUX FONCTIONS SPÉCIALES Vadim

Exercice. Montrer que ?(s + 1) = s?(s) et ?(n)=(n ? 1)! si n ? N. Ceci permet de prolonger ?(s) en une fonction meromorphe sur C avec des poles.



´Etude de la fonction Gamma dEuler

On appelle fonction gamma d'Euler la fonction définie par. ?(x) = (Résumés de cours exercices et probl`emes corrigés)



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10 nov. 2020 Aussi des exercices corrigés sont proposés `a la fin de chaque chapitre ... par la définition d'Euler de la fonction gamma (voir exercice 3.



Fonctions spéciales et polynˆomes orthogonaux arXiv:2011.06410

4 mars 2021 Aussi des exercices corrigés sont proposés `a la fin de chaque chapitre ... par la définition d'Euler de la fonction gamma (voir exercice 3.



Centrale Maths 1 PC 2016 — Corrigé

gamma d'Euler. ? : x ?? ? ?. +?. 0 tx?1e?t dt. Il s'agit de donner son domaine de définition D retrouver l'équation fonction-.



Méthodes analytiques Exercices et sujets dexamen

14 déc. 2016 Exercices sur la fonction Gamma d'Euler. 10. Le théor`eme de Bohr–Mollerup. Soit ? : R ? R une fonction convexe telle que.



Table des matières

1.1.3 Équivalence de deux fonctions de deux suites . 1.6.2 Exercices non corrigés . ... 4.7.3 Exercice : la fonction Gamma .



Fonction Gamma dEuler et fonction zêta de Riemann

Pour x > 0 réel la fonction Gamma est définie par : ?(x) := tielle





[PDF] Etude de la fonction Gamma ?

Exercice : On appelle fonction Gamma la fonction définie par ? : x ?? ? ? +? 0 e?ttx?1dt 1 Montrer que ? est définie sur ]0 +?[



[PDF] INTRODUCTION AUX FONCTIONS SPÉCIALES Vadim

Exercice Montrer que ?(s + 1) = s?(s) et ?(n)=(n ? 1)! si n ? N Ceci permet de prolonger ?(s) en une fonction meromorphe sur C avec des poles



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AGRÉGATION INTERNE DE MATHÉMATIQUES YjY Théorèmes de convergence Samedi 8 Octobre 2011 Exercice 1 Autour de la fonction Gamma : Soit f : (x t) ? R?



Exercice corrigé : Fonction Gamma - Progresser-en-maths

23 nov 2021 · Voici un exercice corrigé détaillé démontrant des propriétés de la fonction Gamma Il faut connaitre le théorème de convergence dominée



Corrigé: deux problèmes autour de la fonction Gamma

1 juil 2017 · La plupart des fichiers de Maths sont au format PDF et ont été écrits en LaTeX Si vous souhaitez obtenir le fichier source en LaTeX 



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14 déc 2016 · 1 La résolution de cet exercice nécessite des connaissances sur la fonction ? d'Euler qui sont disponibles dans le chapitre I



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1 2 Prolongement de ? 2 3 Identités remarquables 4 4 Exercices 6 Résumé Nous établissons dans cet article le prolongement de la fonction ? `a 



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par récurrence que pour tout n ? N In = n! 2 On définit la fonction ? (dite fonction gamma d'Euler) par ? : a ? ? +? 0 ta?1 e



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3 nov 2016 · On a alors prouvé l'égalité ?(x) × ?(1 ? x) = ?/sin(?x) pour tout x dans ]01[ Exercice 1 1 La fonction f : v ?? ln(v) 1 ? v est définie 

  • Comment calculer la fonction gamma ?

    4. ?(x + 1) = x?(x) s'obtient en intégrant par parties. e?tdt = 1 et la formule précédente donne par récurrence : ?n ? N?, ?(n)=(n ? 1)

  • Comment calculer gamma de 1 2 ?

    Formule de Legendre-Gauss pour la fonction ? : Legendre a démontré la formule : Vu que ?(1) = 1, on peut déduire de cette formule que ?(1/2) = ??.
  • La valeur normale du taux sanguin de gamma-GT est, chez l'homme, inférieure à 45 UI/L et chez la femme, inférieure à 35UI/L.
R ´epublique Alg´erienne D´emocratique et Populaire

Minist

`ere de l"Enseignement Sup´erieur et de la Recherche Scientifique

Universit

´e Mustapha Stambouli de Mascara

Facult

´e des sciences exactes

Polycopi

´e de Cours

Fonctions sp

´eciales et polynˆomesorthogonaux

Pr

´esent´e par

Benaoumeur Bakhti

Cours destin

´e aux´etudiants de la troisi`eme ann´ee licence physique Algerie 2020arXiv:2011.06410v2 [math.HO] 4 Mar 2021

A mes parents, Meriem et Abdelkader.

Table des Mati

`eres

Liste des figures v

Avant-propos vi

1 Les fonctions eul

´eriennes gamma et bˆeta 1

1.1 Fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 D

´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Relation de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.3 D"autre repr

´esentations de la fonction gamma . . . . . . . 3

1.1.4 Relation de gamma avec fonctions trigonom

´etriques . . . 4

1.1.5 Formule de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.6 Formule de compl

´ement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.7 Formule de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.8 Formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.9 Fonction gamma incompl

`ete . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.10 D

´eriv´ee logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Fonction b

ˆeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 D

´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Relation entre les fonctions gamma et b

ˆeta . . . . . . . . 14

1.2.3 Propri

´et´es de la fonction bˆeta . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Les fonctions de Bessel 22

2.1 D ´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1 Fonction de Bessel de deuxi

`eme esp`ece . . . . . . . . . . 24

2.1.2 Propri

´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.3 Fonction g

´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.4 Repr

´esentations int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.5 Relations de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Fonctions de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Fonctions de Bessel modifi

´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1 Propri

´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2 Repr

´esentations int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 iii

2.3.3 Relations de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Fonctions de Bessel sph

´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Fonctions de Hankel sph

´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.1 Relations de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Fonction erreur et int

´grales de Fresnel 49

3.1 Fonction erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.1 Propri

´et´es de la fonction erreur . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.2 Repr

´esentation en s´erie de la fonction erreur . . . . . . . . 50

3.2 Int

´egrales de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1 Properi

´et´es des fonctions de Fresnel . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2 Repr

´esentaions en s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Exponentielle int

´egrale, sinus int´egral et cosinus int´egral 56

4.1 Exponentielle int

´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.1 Propri

´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2 Logarithme int

´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Sinus int

´egral et cosinus int´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.1 Propri

´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.2 Repr

´esentations en s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Les polyn

ˆomes orthogonaux 66

5.1 Polyn

ˆomes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.1 Fonction g

´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1.2 Formule de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.1.3 Repr

´esentation int´egrale de Laplace . . . . . . . . . . . . 73

5.1.4 Propri

´et´es des polynˆomes de Legendre . . . . . . . . . . . 74

5.1.5 Relation d"orthogonalit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.6 S

´eries de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.1.7 Relations de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2 Polyn

ˆome associ´e de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2.1 Relation d"orthogonalit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3 Harmoniques sph

´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3.1 Relation d"orthogonalit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3.2 Properi

´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.4 Polyn

ˆomes d"Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.4.1 Fonction g

´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.4.2 Relation d"orthogonalit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4.3 Relations de r

´ecurrece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.5 Polyn

ˆome de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

TABLE DES MATI

`ERESiv5.5.1 Fonction g ´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.5.2 Relation d"orthogonalit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.5.3 Relations de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.6 Poly

ˆnome de Laguerre associ´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.6.1 Fonction g

´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.6.2 Relation d"orthogonalit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.6.3 Relations de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.7 Polyn

ˆome de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.7.1 Repr

´esentations en s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.7.2 Fonctions g

´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.7.3 Relations d"orthogonalit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.7.4 Relations de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6 Les fonctions hyperg

´eom´etriques 118

6.1 Fonction hyperg

´eometrique de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.1.1 ´Equation hyperg´eom´etrique de Gauss . . . . . . . . . . . 119

6.1.2 Relation avec d"autres fonctions sp

´eciales . . . . . . . . . 119

6.1.3 Repr

´esentation int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.2 Fonction hyperg

´eom´etrique confluente . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.2.1 Relation avec d"autres fonctions sp

´eciales . . . . . . . . . 123

6.2.2 Repr

´esentation int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.3 Fonctions hyperg

´eom´etriques g´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . . . 123

6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Liste des figures

1.1 Trac

´e de la fonction gamma le long de l"axe des r´eels. . . . . . . . 3

1.2 Le plantu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Trac

´e de la fonction de BesselJn(x) pourn=0;1;2;3;4. . . . . . 25

2.2 Trac

´e de la fonction de Bessel de deuxi`eme esp`eceYn(x) pourn=

0;1;2;3;4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Trac

´e du module des fonctions de HankelH(1)n(z) dans le plan com- plexe pourn=0 (gauche) andn=1 (droite). . . . . . . . . . . . 34

2.4 Trac

´e du module des fonctions de HankelH(2)n(z) dans le plan com- plexe pourn=0 (gauche) andn=1 (droite). . . . . . . . . . . . 34quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42
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