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Fonctions spéciales

Cours de master 1, 4M004

Université Pierre et Marie Curie

Nicolas Lerner

nicolas.lerner@imj-prg.fr

25 novembre 2015

2

Table des matières

1 Introduction

7

1.1 Les fonctions classiques

7

1.2 Fonctions holomorphes

13

1.3 Le logarithme complexe

17

2 La fonction Gamma

21

2.1 Définition, premières propriétés

21

2.2 La fonctionsur la droite réelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Dessins

27

3 La méthode d"Euler-Maclaurin

29

3.1 La série harmonique

29

3.2 Polynômes de Bernoulli

3 2

3.3 Formule d"Euler-Maclaurin

36

4 Développements eulériens

39

4.1 Produits infinis

39

4.2 Développements eulériens pourcotan;sin:. . . . . . . . . . . . . . . .42

4.3 Formules de Gauss et de Weierstrass

46

5 La fonction Zeta de Riemann

55

5.1 Introduction

55

5.2 Nombres de Bernoulli et valeurs de(2n). . . . . . . . . . . . . . . .59

5.3 Estimation du reste d"Euler-Maclaurin

61

6 Le théorème des nombres premiers

65

6.1 Prolongement de la fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

6.2 Le théorème des nombres premiers

68

6.3 L"hypothèse de Riemann

78

7 Équation fonctionnelle de la fonction Zeta

81

7.1 La formule de Stirling

81

7.2 Développement de Stirling

84

7.3 Équation fonctionnelle de la fonction Zeta

91
3

4TABLE DES MATIÈRES

8 Fonctions de Bessel

101

8.1 Introduction

101

8.2 Équation différentielle de Bessel

109

8.3 Utilisation des fonctions de Bessel

127

9 Fonctions d"Airy

135

9.1 L"équation d"Airy

135

9.2 Développements asymptotiques

143

9.3 Dessins

148

10 Oscillateur harmonique, fonctions d"Hermite

153

10.1 Polynômes d"Hermite

1 53

10.2 Fonctions d"Hermite

159

10.3 Oscillateur harmonique

162

11 Appendice

171

11.1 Arithmétique élémentaire

171

11.2 Sous-groupes additifs deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176

11.3 Fonctions holomorphes

176

11.4 Analyse de Fourier

1 94

11.5 Coordonnées polaires, cylindriques, sphériques

2 17

11.6 La fonctionerf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227

Préface

Le mathématicien Leonhard Euler considérait qu"une fonction devait être défi- nie par une formule "explicite". Le but de ce cours est de passer en revue une liste conséquente de fonctions définies par des formules ... explicites. C"est le cas de la fonction exponentielle, des déterminations du logarithme complexe, de la fonction Gamma d"Euler, de la fonction Zeta de Riemann et de bien d"autres exemples. Nous rappellerons des propriétés classiques des fonctions holomorphes et introduirons des méthodes d"analyse comme la méthode d"Euler-MacLaurin pour décrire en détail les propriétés de ces fonctions spéciales. Les liens de la fonction Zeta avec la théo- rie des nombres et la distribution des nombres premiers sont bien connus et nous démontrerons le théorème d"Hadamard & de La Vallée Poussin. Beaucoup de ces fonctions spéciales sont liées à des questions de physique mathématique et jouent

un rôle important pour fournir des solutions modèles à des équations différentielles :

c"est le cas notamment des fonctions d"Airy, de Bessel, d"Hermite et de Legendre. L"un des objectifs de ce cours est de fournir une liste importante d"exemples signifi- catifs de fonctions méromorphes reliées à divers problèmes mathématiques (théorie des nombres, analyse, équations différentielles, physique mathématique). Ce cours peut également être utile aux agrégatifs. Prérequis :Notions de base de calcul différentiel et intégral, notions sur les fonctions holomorphes (des rappels seront faits). Thèmes abordés :Théorie élémentaire des fonctions holomorphes et méro- morphes d"une variable complexe. Développements eulériens (produits infinis, fonc- tion cotan, sin, Gamma). Méthode d"Euler-MacLaurin. Fonction Zeta de Riemann, théorème des nombres premiers. Fonctions de Bessel, fonctions d"Airy. 5

6TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Introduction

1.1 Les fonctions classiques

La fonction exponentielle

Pourz2C, on pose

e z=X k0z kk!:(1.1.1) Cette série entière possède un rayon de convergence infini car sikN0+ 12; k! =k(k1):::(N0+ 1)N0!N0!(N0+ 1)kN0; ce qui implique(k!)1=k(N0!)1=k(N0+1)1+N0k !(N0+1)1lorsquektend vers +1et par conséquentlimk!+1(k!)1=k= 0:La fonctionexponentiellequi àz2C associeezest donc une fonction entière (i.e. holomorphe surC). On a en outre pour z

1;z22C,

e z1+z2=ez1ez2;(1.1.2) car pourN2N, posanteN(z) =P

0kNzkk!, il vient

e

2N(z1+z2) =X

0k2N(z1+z2)kk!=X

0k1+k22Nz

k11k 1!z k22k 2! X 0k1Nz k11k 1! X 0k2Nz k22k 2!+X k

1+k22N

max(k1;k2)>Nz k11k 1!z k22k 2! |{z} r

N(z1;z2):

On remarque que

jrN(z1;z2)j X k 1>NX k

20jz1jk1k

1!jz2jk2k

2!+X k 2>NX k

10jz1jk1k

1!jz2jk2k

2! =ejz2jX k

1>Njz1jk1k

1!+ejz1jX

k

2>Njz2jk1k

2!; 7

8CHAPITRE 1. INTRODUCTION

et par conséquentlimN!+1rN(z1;z2) = 0. On obtient finalement e z1+z2= limNe2N(z1+z2) = limNeN(z1)eN(z2) +rN(z1;z2) = lim

NeN(z1)eN(z2)=ez1ez2;

soit ( 1.1.2 N.B.Le théorème suivant est sans doute très familier au lecteur, qui pourrait le considérer comme "évident", ce que nous ne contestons pas. Néanmoins, nous sou- haitons ici attirer l"attention sur le fait qu"une définition rigoureuse et sans circularité du nombreet des fonctions trigonométriques usuelles requiert un certain effort, essentiellement résumé dans les démonstrations qui suivent.

Théorème 1.1.1.

(1)La fonction exponentielle, définie par(1.1.1)est une fonction entière surC, à valeurs dansC, qui vérifieddz (ez) =ez: (2)L"applicationR3t7!eit2S1=fz2C;jzj= 1gest un homomorphisme surjectif de groupe, et

8w2C;9z2C; w=ez:

(3)Il existe un unique nombre positif appelétel que e i=2=i;etez= 1()z22iZ: (4)La fonction exponentielle restreinte àRest une fonction convexe strictement croissante, lim x!1ex= 0; e0= 1;et pour tout entiern2N,limx!+1exxn= +1: Démonstration.Pour obtenir(1), on remarque queezez=e0= 1et que la dériva- tion pour les séries entières fournit l"équation différentielle. (2)On remarque queez=e z;ce qui implique pourt2Rquee it=eit, ce qui donne jeitj2=e iteit=eit+it= 1; en outre pourt;s2R, on a e iteis=ei(t+s):(1.1.3) Considérons les fonctions entières définies pourz2Cpar cosz=eiz+eiz2 ;sinz=eizeiz2i;(1.1.4) coshz=ez+ez2 = cos(iz);sinhz=ezez2 =isin(iz):(1.1.5) On obtient facilementsin0= cos;cos0=sinet pourz2C, cosz=X k0(1)kz2k(2k)!;sinz=X k0(1)kz2k+1(2k+ 1)!:(1.1.6)

1.1. LES FONCTIONS CLASSIQUES9

Par conséquent pourt2R, il vient

lim N!+1X

0k2N+1(1)kt2k(2k)!

|{z} C

2N+1(t)= cost= limN!+1X

0k2N(1)kt2k(2k)!

|{z} C

2N(t):

La suite

C2N(2)

N0est décroissante car

C

2N(2)C2N+2(2) =24N+4(4N+ 4)!+24N+2(4N+ 2)!

24N+2(4N+ 4)!(4N+ 3)(4N+ 4)40;

et la suite

C2N+1(2)

N0est croissante car

C

2N+3(2)C2N+1(2) =24N+6(4N+ 6)!+24N+4(4N+ 4)!

24N+4(4N+ 6)!(4N+ 6)(4N+ 5)40;

ce qui implique 1222
+244!
266!
cos21222 +244!
=1 +1624 =1=3<0: Commecos0 = 1, la fonctioncosdoit s"annuler en au moins un point de l"intervalle ]0;2[. On pose = 2infft2]0;2[;cost= 0g;cos(=2) = 0;cost >0pourt2[0;=2[: On a0< <4et il vient1desin0 = 0;sin0= cosque la fonctionsinest strictement croissante sur[0;=2], donc strictement positive sur]0;=2]et on obtient le tableau de variation 1.1 a vecdes flèc hesdésignan tune stricte monotonie 2.

Il vient également

e

i=2= cos(=2) +isin(=2) =isin(=2) =icarjei=2j= 1,1. On trouve plus précisément le développement décimal

= 3;1415926535897932384626433832795028841971693993751::: La commandeMathematicaN[Pi, k]permet d"obtenir une approximation deaveckchiffres significatifs.

2. Sif: [a;b]!Rest une fonction continue sur[a;b], différentiable sur]a;b[, de dérivée

strictement positive, le théorème des accroissements finis implique quefest strictement croissante

sur[a;b]. Soit en effetax < yb; il existe alorsc2]x;y[tel que f(y)f(x)yx=f0(c)>0et doncf(y)> f(x):

10CHAPITRE 1. INTRODUCTIONt0=2cost1&0cos

0=sin0 1sint0%1sin

0= cos1+0Table1.1 -Tableau de variation des fonctionssin;cos:

et e i=ei=2ei=2=i2=1;et pourk2Z,e2ik= (1)2k= 1: Soitx+iy2C;x2+y2= 1;x0;y0. Il existet2[0;=2]tel quex= cost.

Comme de (

1.1.3 ), il vient pourt2R,cos2t+sin2t= 1, et quesint2[0;1], il vient y= sint. Par suite, siz2C;jzj= 1;z=x+iy,x0;y0, il vient de (1.1.3) z=i=yix=ei=)z=eiei=2=)z=ei(+=2): Siz2C;jzj= 1;z=x+iy,y0, on trouve2Rtel quez=eiet doncz=ei, ce qui démontre la surjectivité de l"homomorphisme de(2).

Siw2C, montrons qu" il existe2Rtel que

w=jwjei: En effet, commelim+1ex= +1etlim1ex= lim+1ex= 0;il existet2Rtel quejwj=etet (1.1.2) donnew=et+i;terminant la démonstration de(2). La première partie de(3)est déjà démontrée et siz=x+iy2Cvérifieex+iy= 1; il vient (en prenant le module)ex= 1et donceiy= 1. On remarque que pourt2R, e t2Ret e t= (et=2)2; etet= 1; ce qui impliqueet>0et de(1),R3t7!etstrictement croissante. Il vient donc x= 0. Soitu:R!S1l"homomorphisme surjectif de(2)etkeruson noyau : on a keru=ft2R;eit= 1g; qui est un sous-groupe additif deR(cf. le paragraphe11.2 ). Ce sous-groupe est discret, sinon on pourrait trouver une suite(tj)j1dansRde limite0telle que e itj= 1et donc vérifiantcostj= 1, contredisantcost2]0;1[pourt2]0;=2[. Par ailleurs ce sous-groupe n"est pas réduit àf0gcare2i= 1. Il existe donc un unique nombrea >0tel quekeru=aZ;22aZ. Si l"on avaita <2, cela impliquerait que0< a=4< =2

1 =eia; eia=42 f1;ig:

Par définition dea, on ne peut avoireia=4= 1nieia=2= 1, ce qui implique donc e ia=42 figetcos(a=4) = 0, contredisant la définition de. Il vient donckeru=

2Zety22Z, démontrant(3).

1.1. LES FONCTIONS CLASSIQUES11

(4)La convexité est une conséquence de l"égalitéd2(ex)=dx2=ex>0, vue plus haut. Par ailleurs, sin2N;x >0, e xxn=X k0x knk!x(n+ 1)!; démontrant le dernier point.Corollaire 1.1.2.L"application:]0;+1[];]!Cdéfinie par (r;) =rei est bijective et continue. L"application réciproque1n"est pas continue. Démonstration.L"applicationest continue et à valeurs dansCgrâce à la conti- nuité de l"exponentielle et à l"identité jreij=r;pourr >0;2R. En outre le point(2)du Théorème1.1.1 implique q uep ourw2C, il existea;b2R tels que w=eaeib:

Soitkla partie entière deb2+12

: on ak2Zet k b2+12 2k2=)2k+b >2k; ce qui donne w=eaei(b2k); b2k2];]; et la surjectivité de. De plus si l"on suppose r

1ei1=r2ei2;(rj;j)2]0;+1[];]; j= 1;2;

il vientr1=r2en prenant le module de chaque membre et e i(21)= 1; ce qui implique d"après le point(3)du Théorème1.1.1 que 2122Z, et comme j21j<2, on obtient2=1et l"injectivité.

Pour2]0;], on a

ei=ei(+)=ei(+);+2];0]];]; ce qui implique

1(ei) = (1;+)etlim!0+1(ei) = (1;):

On a par ailleurs1 =eiet donc1(1) = (1;);ce qui démontre la discontinuité de1au point1.

12CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Corollaire 1.1.3.Pourz2C, on a

sinz= 0()z2Z;(1.1.7) cosz= 0()z22 +Z:(1.1.8)quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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