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INTRODUCTION AUX FONCTIONS SP´ECIALES

Vadim Schechtman

Notes du cours. Automne 2006

Toulouse

1 2

Table de Mati`eres

Leitfaden . . . 3

Prologue. Jardin de fonctions sp´eciales . . . 4

Chapitre I. Fonctions Gamma et Beta

1. Fonctions Γ et. . . 5

2. S´erie de Stirling . . . 16

Chapitre II. Fonction hyperg´eom´etrique de Gauss

1. S´erie hyperg´eom´etrique . . . 20

2. Int´egrale de Barnes . . . 26

3.´Equation de Riemann . . . 28

4. Polynˆomes d"Euler et fonction hyperg´eom´etrique . . . 29

Chapitre III. Fonctions de Whittaker

1. Fonctions de Kummer() . . . 31

2. Fonctions de Whittaker() . . . 33

3. Fonctions d"Hermite . . . 35

Chapitre IV. Fonctions de Bessel

1. Fonctions() . . . 39

2. L"ordre semi-entier . . . 45

3. Fonctions de Macdonald . . . 46

Chapitre V. Fonctions de Legendre

1. Polynˆomes de Legendre . . . 48

2. Fonctions de Legendre . . . 50

3. Fonctions adjointes . . . 52

Chapitre VI.

´Equations de Maxwell et l"´equation d"ondes

1. Des ´equations de Maxwell `a l"´equation d"ondes . . . 53

2. Une solution de l"´equation d"ondes . . . 57

Bibliographie . . . 59

3

LEITFADEN

Jacob BERNOULLI, 1654 - 1705

Leonhard EULER, 1707 - 1783

Jean Baptiste Joseph FOURIER, 1768 - 1830

Johann Carl Friedrich GAUSS, 1777 - 1855

Friedrich Wilhelm BESSEL, 1784 - 1846

Charles HERMITE, 1822 - 1901

Leopold KRONECKER, 1823 - 1891

Georg Friedrich Bernhard RIEMANN, 1826 - 1866

James Clerk MAXWELL, 1831 - 1879

Hermann HANKEL, 1839 - 1873

Heinrich Martin WEBER, 1842 - 1913

Robert Hjalmar MELLIN, 1854 - 1933

Edmund Taylor WHITTAKER, 1873 - 1956

Peter Joseph William DEBYE

(Petrus Josephus Wilhelmus DEBIJE), 1884 - 1966

George Nevill WATSON, 1886 - 1965

4

PROLOGUE

JARDIN DES FONCTIONS SPECIALES

0.1.Toutes les fonctions sp´eciales qu"on va discuter, peuventˆetre ´ecrites sous

une forme de certainsint´egrales d´efinies(oup´eriodes) ou les int´egrales curvilignes (le long d"un contour).

On peut les diviser en deux classes:

la premi`ere classe, deux facteurs sous int´egrale: 2

1(1)(2)la fonction() (beta) d"Euler

Cas d´eg´en´er´e, ou cas limite:

()la fonction Γ() (gamma)

0.2.La deuxi`eme classe, trois facteurs sous int´egrale:

j i(1)(2)(3)fonction hyperg´eom´etrique de Gauss(;)

Cas particuliers:

polynˆomes de Jacobi; fonctions (polynˆomes) de Legendre

Cas limite:

(1)(2)fonctions de Whittaker() oufonctions hyperg´eom´etriques confluentes.

Cas particuliers:

polynˆomes deLaguerreet polynˆomes d"Hermite. Ces fonctions satisfont`a une ´equation diff´erentielle d"ordre2 par rapport `a. Ils sont li´ees ´etroitement aux representations des groupes2(R) et2(C). 5

CHAPITRE I. FONCTIONS GAMMA ET BETA

1. FonctionsΓet

1.0. `A la place d"une introduction. La m´ethode d"une fonction g´en´eratrice. Consid´erons, avec Euler, le probl`eme suivant: d´efinir une fonction Π() C, telle que Π() =! pournaturel. Pour le r´esoudre, on ´ecrit une fonction g´en´eratrice =0 =0

Par la formule de Cauchy,

1

Π()=12

(0+)()+1=1Π()=12 (0+) 1

Ici (0+) d´esigne un circle

(0+) =02

Donc on peut essayer de d´efinir

1

Π()=12

(0+) 1 C Il faut faire attention quand mˆeme, puisque la fonction1est multiforme. Ce sujet sera r´epris plus tard, cf. 1.15 ci-dessous.

1.1.On d´efinit:

0

1(111)

()0. Plus pr´ecisement, (1.1.1) d´efinit Γ() comme une fonctioon holomorphe dans le demi-plan()0. Exercice.Montrer que Γ(+ 1) =Γ() et Γ() = (1)! siN. Ceci permet de prolonger Γ() en une fonction meromorphe surC, avec des poles simples en= 012, cf. 1.7 ci-dessous.

En effet, on a:

Γ(++ 1) = (+)(+1)Γ()

ou

Γ() =Γ(++ 1)

(+)(+1) 6et

Γ(++ 1) = 1 +(+)

d"o`u

Γ() =(1)

!(+)+(1) i.e. Γ() a en=un pˆole simple avec le r´esidu Res =Γ() =(1) !(112)

1.2.La fonctionBetad"Euler est d´efinie par

1 0

1(1)1()()0

1.3.Th´eor`eme.

D´emonstration, cf. [Jacobi]. On a

0 0 11 On fait le changement de variables+= =, donc 0 , 01 et =+ =+ = (1) donc=(ori´entations: () et ()). Il s"en suit: 1 0 1(1)1 0 +1=()Γ(+)

1.3.1.Exercice.Montrer que

i0;Pi1 =1 r11=Γ(1)Γ()

Γ(1+++ 1)

(Dirichlet). Ici tous0. Cf. [WW], 12.5.

1.4.Exercice.Calculer Γ(12).

Solution.On a

Γ(12)2=Γ(12)Γ(12)

Γ(1)=(1212)

Par d´efinition,

(1212) = 1 0

12(1)12=

7 (=2) = 2 1 0

12= 2arcsin 1 =

d"o`u

Γ(12) =

0 12=

On remarque que

0 12= 2 0 2= 2 donc 2= (l"int´egrale de Poisson).

1.5.Th´eor`eme(Euler, Gauss).

Γ() = lim(+ 1) = lim!

(+ 1)(+)= = lim (1)! (+ 1)(+1)(151)

Cf. [Gauss], Section 20.

En effet, on remarque que

= lim1 d"o`u

Γ() = lim

01

1(152)

(pour une preuve, cf. 1.6 ci-dessous). On a: 01 1= 1 01)1

PourNon a

(+ 1) = 1 0 (1)1=! (+ 1)(+) et cela est vrai pour tous= 01(prouver!), d"o`u (1.5.1).

1.6.Exercice.Preuve de (1.5.2), cf. [WW], 12.2.

8 (a) Pour tous 0 1,

1 +(1)1

(b) Pour tous 01, (1)1 (c) D´eduire de (a) et (b) que 0 1 12 pour tous 0 . [En effet, en faisant=dans (a), on obtient:

1 +(1)1

d"o`u (1 +)(1) et (1 +)(1)

Il s"en suit:

0(1)= 1(1)

1(122)

D"un autre part, d"apr`es (b) avec=22, on aura

1(122)2

d"o`u le r´esultat. ] (d) En d´eduire que 0 1 1 0 quand . [En effet, d"apr`es (c), 0 1 1 1 0 +1 1 0 +1 ce qui0, puisque la derni`ere int´egrale converge. ] 9 (e) En d´eduire (1.5.2).

1.7.D´efinition de Weierstrass.

(a) Prouver que la limite = lim =1

1log(171)

existe. Elle s"appellela constante d"Euler - Mascheroni. On a= 05772157. (b)Th´eor`eme. 1 =1 1 + (172) D´emonstration.Cf. [WW], 12.11. La formule de Euler 1.5 et l"identit´eΓ() =

Γ(+ 1) impliquent:

1

Γ()=lim

=1 1 +

D"un autre cˆot´e,

lim =1 1 + = lim (Pmn=11log) =1 1 + =1 1 + cqfd. (c) En d´eduire: logΓ()quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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