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´e Mustapha Stambouli de Mascara
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´e de Cours
Fonctions sp
´eciales et polynˆomesorthogonaux
Pr´esent´e par
Benaoumeur Bakhti
Cours destin
´e aux´etudiants de la troisi`eme ann´ee licence physique Algerie 2020arXiv:2011.06410v2 [math.HO] 4 Mar 2021A mes parents, Meriem et Abdelkader.
Table des Mati
`eresListe des figures v
Avant-propos vi
1 Les fonctions eul
´eriennes gamma et bˆeta 1
1.1 Fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 D
´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Relation de r
´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 D"autre repr
´esentations de la fonction gamma . . . . . . . 31.1.4 Relation de gamma avec fonctions trigonom
´etriques . . . 4
1.1.5 Formule de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.6 Formule de compl
´ement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.7 Formule de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.8 Formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.9 Fonction gamma incompl
`ete . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.10 D
´eriv´ee logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Fonction b
ˆeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 D
´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 Relation entre les fonctions gamma et b
ˆeta . . . . . . . . 14
1.2.3 Propri
´et´es de la fonction bˆeta . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Les fonctions de Bessel 22
2.1 D ´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.1 Fonction de Bessel de deuxi
`eme esp`ece . . . . . . . . . . 242.1.2 Propri
´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.3 Fonction g
´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.4 Repr
´esentations int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.5 Relations de r
´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2 Fonctions de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Fonctions de Bessel modifi
´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Propri
´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.2 Repr
´esentations int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 iii2.3.3 Relations de r
´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Fonctions de Bessel sph
´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Fonctions de Hankel sph
´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5.1 Relations de r
´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Fonction erreur et int
´grales de Fresnel 49
3.1 Fonction erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1 Propri
´et´es de la fonction erreur . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.2 Repr
´esentation en s´erie de la fonction erreur . . . . . . . . 503.2 Int
´egrales de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.1 Properi
´et´es des fonctions de Fresnel . . . . . . . . . . . . 523.2.2 Repr
´esentaions en s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Exponentielle int
´egrale, sinus int´egral et cosinus int´egral 564.1 Exponentielle int
´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.1 Propri
´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Logarithme int
´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Sinus int
´egral et cosinus int´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.1 Propri
´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.2 Repr
´esentations en s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Les polyn
ˆomes orthogonaux 66
5.1 Polyn
ˆomes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.1.1 Fonction g
´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.1.2 Formule de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.1.3 Repr
´esentation int´egrale de Laplace . . . . . . . . . . . . 735.1.4 Propri
´et´es des polynˆomes de Legendre . . . . . . . . . . . 745.1.5 Relation d"orthogonalit
´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.6 S
´eries de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.1.7 Relations de r
´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2 Polyn
ˆome associ´e de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.1 Relation d"orthogonalit
´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 Harmoniques sph
´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3.1 Relation d"orthogonalit
´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.2 Properi
´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.4 Polyn
ˆomes d"Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.4.1 Fonction g
´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4.2 Relation d"orthogonalit
´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4.3 Relations de r
´ecurrece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.5 Polyn
ˆome de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96TABLE DES MATI
`ERESiv5.5.1 Fonction g ´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.5.2 Relation d"orthogonalit
´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5.3 Relations de r
´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.6 Poly
ˆnome de Laguerre associ´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.6.1 Fonction g
´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.6.2 Relation d"orthogonalit
´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.6.3 Relations de r
´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.7 Polyn
ˆome de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.7.1 Repr
´esentations en s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.7.2 Fonctions g
´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.7.3 Relations d"orthogonalit
´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.7.4 Relations de r
´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6 Les fonctions hyperg
´eom´etriques 118
6.1 Fonction hyperg
´eometrique de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.1.1 ´Equation hyperg´eom´etrique de Gauss . . . . . . . . . . . 1196.1.2 Relation avec d"autres fonctions sp
´eciales . . . . . . . . . 119
6.1.3 Repr
´esentation int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.2 Fonction hyperg
´eom´etrique confluente . . . . . . . . . . . . . . . 1226.2.1 Relation avec d"autres fonctions sp
´eciales . . . . . . . . . 123
6.2.2 Repr
´esentation int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.3 Fonctions hyperg
´eom´etriques g´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . . . 1236.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Liste des figures
1.1 Trac
´e de la fonction gamma le long de l"axe des r´eels. . . . . . . . 31.2 Le plantu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Trac
´e de la fonction de BesselJn(x) pourn=0;1;2;3;4. . . . . . 252.2 Trac
´e de la fonction de Bessel de deuxi`eme esp`eceYn(x) pourn=0;1;2;3;4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Trac
´e du module des fonctions de HankelH(1)n(z) dans le plan com- plexe pourn=0 (gauche) andn=1 (droite). . . . . . . . . . . . 342.4 Trac
´e du module des fonctions de HankelH(2)n(z) dans le plan com- plexe pourn=0 (gauche) andn=1 (droite). . . . . . . . . . . . 342.5 Trac
´es des fonctions de Bessel modifi´eesInpourn=0;1;2;3;4. . 352.6 Trac
´es des fonctions de Bessel modifi´eesKnpourn=0;1;2;3;4. . 362.7 Trac
´es des fonctions de Bessel sph´eriques de premi`eme esp`ece j n(x) pourn=0;1;2;3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.8 Trac
´es des fonctions de Bessel sph´eriques de deuxi`eme esp`ece y n(x) pourn=0;1;2;3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1 Fonction erreur et fonction erreur compl
´ementaire. . . . . . . . . 50
3.2 Fonctions de FresnelC(x) etS(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1 Exponentielle int
´egrale Ei(x) etE1(x). . . . . . . . . . . . . . . . 564.2 Sinus int
´egral Si(x) et cosinus int´egralCi(x). . . . . . . . . . . . . 595.1 Polyn
ˆomes de Legendre pourn=0;1;2;3;4. . . . . . . . . . . . 715.2 Polyn
ˆomes associ´es de LegendrePml(x) pourl=5 et 0´eriquesYml(;) pourl=0;1;2 et 0ml. . . 90
5.4 Polyn
ˆomes d"Hermite pourn=0;1;2;3;4. . . . . . . . . . . . . 935.5 Polyn
ˆomes de Laguerre pourn=0;1;2;3;4. . . . . . . . . . . . . 985.6 Polyn
ˆomes de Chebyshev de premi`ere esp`ece pourn=0;1;2;3;4. 1085.7 Polyn
ˆomes de Chebyshev de deuxi`eme esp`ece pourn=0;1;2;3;4. 109Avant-propos
Cet ouvrage est consacr
´e`a l"´etude des fonctions sp´eciales les plus utilis´ees en physique. Les fonctions sp ´eciales est une branche tr`es vaste de math´ematiques, de la physique th ´eorique et de la physique math´ematique. Elles sont apparues au xix emesi`ecle comme solutions d"´equations de la physique math´ematique, partic- uli `erement les´equations aux d´eriv´ees partielles d"ordre deux et quatre. Leur con- naisanceestindispensable actuels de la physique. Elles sont ´egalement li´ees`a l"art du calcul scientifique de la physique et des math ´ematiques. Les fonctions sp´eciales sont incluses dans de nombreux logiciels de calcul formel tels que le Matlab, le Mathematica et le Maple et les ´etudiants sont fortement encourag´es de prendre part`a ce d´eveloppement qui est devenu indispensable pour le traitement presque de tous les probl `emes actuels de la physique. Conforme aux programmes LMD (Licence-Master-Doctorat), l"ouvrage con- tient six chapitres.Dans le premier chapitre, nous d
´ecrivons les fonctions gamma et bˆeta qui sont importantes pour leur propre int ´erˆet math´ematique et aussi parce que toutes les autres fonctions sp ´eciales d´ependent essentiellement de ces deux fonctions. Ces deux fonctions ont de nombreuses applications. En physique et en particulier en th ´eorie des cordes, la fonction bˆeta (et la fonction gamma associ´ee) est utilis´ee pour calculer et reproduire l"amplitude de diusion en fonction des trajectoires deRegge dans le "mod
`ele`a double r´esonance". En th´eorie des probabilit´es, elles sont utilis ´ees dans le processus d"attachement pr´ef´erentiel ou en g´en´eral dans le processus stochastique d"urne. Le chapitre deux traite les fonctions de Bessel et leurs propri´et´es principales.
Les fonctions de Bessel ont
´et´e introduites et´etudi´ees d"abord par Euler, Lagrange et Bernoulli. Mais elles ont ´et´e utilis´es pour la permi`ere fois par Friedrich Wil- helm Bessel pour expliquer le mouvement de trois corps, o `u la fonction de Bessel a ´emerg´ee dans le d´eveloppement en s´erie de la perturbation plan´etaire. Les fonc- tions de Bessel sont extr ˆemement utiles en physique et en ing´enierie. Elles se sont av´er´esˆetre la solution de l"´equation de Schr¨odinger dans une situation de sym´etrie
cylindrique. L" ´equation di´erentielle de Bessel d´ecoule de la d´etermination dequotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] les hétérocycles nomenclature
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