[PDF] Composantes dun vecteur - Exercices corrigés 2

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Exercice 21 : d"après Brevet - Nice - 1981

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O , U , V ) . On considère les points A( - 5 ; 1 ) , B( 1 ; 5 ) , C( 3 ; 2 ) , D( - 3 ; - 2 ) et M( 6 ; 4 ) a)Placer ces points. b)Calculer les coordonnées des vecteurs

DC et BC AB, .

c)Calculer les distances AB, BC et AC.

En déduire que le quadrilatère ABCD est un rectangle. Quelles sont les coordonnées de son centre I ?

Quelles sont les longueurs de ses côtés ?

d)On désigne par M" le symétrique de M par rapport au point B . Calculer les coordonnées du point M".

e)Soit u ( - 1 ; - 5 ). On désigne par M" l"image de C dans la translation de vecteur u .

Déterminer les coordonnées du point M".

f)Montrer que I est le milieu de [M"M"].

Solution :

a)Figure : b)Coordonnées des vecteurs

DC et BC AB, :

AB( 1 - ( - 5 ) ; 5 - 1 )

soit

AB( 6 ; 4 )

BC( 3 - 1 ; 2 - 5 )

soit

BC( 2 ; - 3 )

DC( 3 - ( - 3 ) ; 2 - ( - 2 ) )

soit

DC( 6 ; 4 )

c)Calcul des distances AB, BC et AC :

AB² = ( 1 - ( - 5 ) )² + ( 5 - 1 )²

AB² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52

AB =

13 2 13 4 13 4 52==´=

BC² = ( 3 - 1 )² + ( 2 - 5 )² = 2² + ( - 3 )² = 4 + 9 = 13 BC = 13

THEME :

COMPOSANTES D"UN VECTEUR

EXERCICES CORRIGES 2

A( - 5 ; 1 )

B( 1 ; 5 )

C( 3 ; 2 )

D( - 3 ; - 2 )

M( 6 ; 4 )

AC² = ( 3 - ( - 5 ) )² + ( 2 - 1 )² = 8² + 1² = 64 + 1 = 65 AC = 65

Nature du quadrilatère ABCD :

? AB = DC ( question b ) donc ABCD est un parallélogramme . ? AC² = 65

AB² + BC² = 52 + 13 = 65

donc AC² = AB² + BC² donc , d"après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B

Le parallélogramme ABCD a un angle droit

CBAˆ ( ABC est rectangle en B )

donc

ABCD est un rectangle .

Coordonnées du centre I de ce rectangle :

Le centre du rectangle ABCD est le milieu de ses diagonales [AC] et [BD]

Coordonnées du milieu de [AC] :

I ) 2

2 1 ; 2

3 5 - (++ soit I) 2

3 ; 2

2 - ( soit I) 2

3 ; 1 - (

Longueurs des côtés du rectangle ABCD :

Les longueurs des côtés du rectangle sont AB et BC , soit 213 et 13 d) Coordonnées du point M" : ( détermination à l"aide du calcul vectoriel ) M" est le symétrique de M par rapport au point B donc

B est milieu de [MM"]

donc

BM" MB=

? Coordonnées du vecteur MB :

MB( 1 - 6 ; 5 - 4 ) soit MB( - 5 ; 1 )

? Coordonnées du vecteur BM" :

Soient (

x ; y ) les coordonnées du point M".

Nous avons :

BM"( x - 1 ; y - 5 )

? BM" MB= donc x - 1 = - 5 et y - 5 = 1 x = - 5 + 1 = - 4 et y = 1 + 5 = 6

Les coordonnées de M" sont M"( - 4 ; 6 )

e) Coordonnées du point M" :

A( - 5 ; 1 )

B( 1 ; 5 )

C( 3 ; 2 )

D( - 3 ; - 2 )

M( 6 ; 4 )

Le point M" est l"image de C dans la translation de vecteur u donc u "CM"= ? Coordonnées du vecteur "CM" :

Soient ( x ; y ) les coordonnées de M" .

"CM" ( x - 3 ; y - 2 ) ? Coordonnées du vecteur u : u ( - 1 ; - 5 ). ? u "CM"= donc x - 3 = - 1 et y - 2 = - 5 x = - 1 + 3 = 2 et y = - 5 + 2 = - 3

Les coordonnées de M"" sont M""( 2 ; - 3 )

f) I est le milieu de [M"M"] ?

Les coordonnées du milieu de [M"M"] sont

égales à :

) 2 ) 3 - ( 6 ; 2

2 4 - (++ soit ) 2

3 ; 2

2 - ( soit ) 2

3 ; 1 - (

Or les coordonnées du point I sont

) 2

3 ; 1 - ( . Donc I est milieu de [M"M"]

Exercice 22 :

Dans un repère orthonormé (O, I, J) avec OI = OJ = 1 cm placer les points A(4 ; 5) B (-3 ; 4) et C (1, 1).

1) Faire la figure

2) Calculer CA, CB, AB . En déduire la nature du triangle ABC

3) Trouver les coordonnées du point D tel que CBDA soit un parallélogramme. Quelle est la nature de

CBDA ? Pourquoi ?

4) Calculer les coordonnées de S image de B par la translation de vecteur

AC

5) Calculer les coordonnées de R image de A par la symétrie de centre C .

6) Quelle est la nature de ABSR ? Pourquoi ?

7) Calculer l"aire de ABSR.

Solution :

1)Figure :

A(4 ; 5)

B (-3 ; 4)

C (1, 1)

2) Calcul de CA, CB, AB :

CA² = ( 4 - 1 )² + ( 5 - 1 )² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 CA =

25 = 5

CB² = ( - 3 - 1 )² + ( 4 - 1 ) ² = ( - 4 )² + 3² = 16 + 9 = 25 CB =

25 = 5

AB² = ( - 3 - 4 )² + ( 4 - 5 )² = ( - 7 )² + ( - 1 )² = 49 + 1 = 50 AB =

2 5 2 25 2 25 50==´=

Nature du triangle ABC :

? CA = CB = 5 donc le triangle

ABC est isocèle en C.

? AB² = 50

CA² + CB² = 25 + 25 = 50

donc AB² = CA² + CB² donc, d"après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle

ABC est rectangle en C.

3) Coordonnées du point D afin que CBDA soit

un parallélogramme :

CBDA est un parallélogramme donc

AD CB=

? Coordonnées de CB :

CB( - 3 - 1 ; 4 - 1 ) soit CB( - 4 ; 3 )

? Coordonnées de AD :

Soient (

x ; y ) les coordonnées de D.

AD( x - 4 ; y - 5 )

? AD CB= donc x - 4 = - 4 et y - 5 = 3 x = - 4 + 4 = 0 et y = 3 + 5 = 8

Les coordonnées de D sont ( 0 ; 8 )

Nature de CBDA :

? CBDA est un parallélogramme ( question ci-dessus ) ? BCAˆest un angle droit ( ABC est rectangle en C )

Le parallélogramme CBDA a un angle droit

donc CBDA est un rectangle. ? CA = CB donc le parallélogramme CBDA a deux côtés consécutifs de même longueur donc CBDA est un losange ? CBDA est à la fois un rectangle et un losange donc

CBDA est un carré.

4) Coordonnées de S image de B par la translation de vecteur AC :

S est l"image de B par la translation de vecteur AC donc

AC BS=

? Coordonnées du vecteur AC :

AC ( 1 - 4 ; 1 - 5 ) soit AC ( - 3 ; - 4 )

A(4 ; 5)

B (-3 ; 4)

C (1, 1)

? Coordonnées du vecteur BS :

Soient (

x ; y ) les coordonnées du point S .

Nous avons :

BS ( x - ( - 3 ) ; y - 4 )

soit

BS ( x + 3 ; y - 4 )

? AC BS= donc x + 3 = - 3 et y - 4 = - 4 x = - 3 - 3 = - 6 et y = - 4 + 4 = 0

Les coordonnées de S sont S( - 6 ; 0 )

5) Coordonnées de R image de A par la

symétrie de centre C :

R est l"image de A par la symétrie de centre C

donc

C est le milieu de [AR]

donc

AC= CR

? Coordonnées du vecteur AC :

AC ( - 3 ; - 4 ) ( question

quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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