[PDF] PROBL`EMES DE THERMODYNAMIQUE (L3) et leurs corrigés

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PROBL

EMES DE

THERMODYNAMIQUE (L3)

et leurs corriges

Christian Carimalo

TD1

I. Formes dierentielles, facteur integrant

1 )Soit la forme dierentielle a deux variablesxety:

D=X(x;y)dx+Y(x;y)dy(1)

Rappeler la condition necessaire et susante pour que (1) soit la dierentielle d'une fonction Z=Z(x;y). On dit dans ce cas queDest une dierentielle totaledZ. Indiquer alors comment on peut obtenir la fonctionZ(x;y). 2 )Les formes dierentielles suivantes sont-elles des dierentielles totales? Si oui, determiner la fonction correspondante, a une constante pres. D

1=y2dx+x2dy(x+y)2;D2=az

dxbz dy+byaxz

2dz;D3=dx+xdy;D4=yzdx+dy+dz

D

5=CvdT+RTV

dV;D6=RTV dV;D7=D5+D6 Dans ces expressions,a;b;CvetRsont des constantes. 3 )Pour les formes qui ne sont pas des dierentielles totales, peut-on leur trouver un facteur integrant?

II. Coecients thermoelastiques

Les trois variables thermodynamiques pressionP, volumeVet temperatureTd'un systeme binaire sont liees par une equation d'etat que l'on peut ecrire sous la forme

F(P;V;T) = 0

L'une quelconque de ces trois variables peut donc ^etre consideree comme une fonction des deux autres, ces dernieres devant alors ^etre considerees comme independantes. Si l'on se donneVetT,Pest alors determine :P=P(V;T); siPetTsont donnees,Vest determine :V=V(P;T); siPetVsont donnees c'estTqui est determine :T=T(P;V). 1 )Etablir les relations @P@V T =1 @V@P

T;@P@V

T @V@T P @T@P V =1 2 )On denit les coecients thermoelastiques =1V @V@T P ; =1P @P@T V T=1V @V@P

TChristian Carimalo2TD de Thermodynamique - L3

a) Nommer ces coecients. Preciser leurs caracteres extensif ou intensif. b) Montrer que=PT. c) Determiner;etTpour une mole de gaz parfait d'equation d'etatPV=RT; un kilogramme de gaz parfait; une mole de gaz de Van der Waals d'equation d'etat P+aV 2 (Vb) =RT. III. Determination d'une equation d'etat a partir des coecients thermoelastiques A/Montrer que pour un systeme binaire, la connaissance de deux coecients thermoelastiques permet de determiner l'equation d'etat. On donne =1T

1 +3aV T

2 T=1P

1 +aV T

2

Vetant le volume molaire etaune constante.

a) Quelle est la dimension de la constantea? b) Verier que les expressions des deux coecients sont compatibles avec les proprietes des derivees partielles d'une fonction. c) Determiner l'equation d'etat correspondante. On imposera a l'equation trouvee d'avoir comme limite l'equation d'etat des gaz parfaits pour les grands volumes. d) Faire le m^eme exercice si l'on se donne =R(V+a0)2PV

2(V+ 2a0); =R(V+a0)PV

2 Vetant le volume molaire,Rla constante des gaz parfaits eta0une constante. B/Des mesures des coecientsetTde l'eau pour des temperatures entre0C et10C et pour des pressions inferieures a 20 atm. ont donne les resultats suivants (T;P) = 2A(TT0) +B(PP0); T(T0;P) =0 ouA,B,T0etP0sont des constantes positives,Tla temperature etPla pression;0est une constante positive independante deP. 1 )Determiner l'expression deT(T;P). 2 )Determiner l'equation d'etat de l'eau dans le domaine considere, sachant que pourP= P

0etT=T0, le volume massique prend la valeurv0.

C/Demontrer qu'un

uide pour lequel =RRT+bP; T=RTP(RT+bP);et limb!0V(T;P) =RTP a pour equation d'etatV(T;P) =RT+bPP (Vest le volume molaire).Christian Carimalo3TD de Thermodynamique - L3

IV. Echelles de temperatures

Dans le domaine de temperatures comprises entre0C et816C, une resistance de platine varie en fonction de la temperature Celsiustselon la loi R(t)R

0= 1 +

tt100 t100 1 ouR(t)est la valeur de la resistance atC,R0sa valeur pourt= 0C; les parametres etont pour valeurs respectives= 3;92103,= 1;49. Dans l'intervalle[0C,100C], on veut utiliser cette resistance comme grandeur thermometrique pour denir une echelle centesimale de temperature=AR(t) +Btelle que= 0pour t= 0C (R=R0) et= 100pourt= 100C (R=R100). 1 )Montrer que l'on denit ainsi une echelle de temperature dierente de l'echelle Celsius. 2 )Determiner l'ecartten fonction det. Pour quelles valeurs detl'ecart est-il maximum? 3 )Jusqu'a quelle temperaturetau-dela de100C peut-on utiliser l'echellede telle sorte que l'ecart relatifjtt jreste inferieur a 1%?Christian Carimalo4TD de Thermodynamique - L3

Corrige TD1

I. Formes dierentielles, facteur integrant

1 )et2)L'egalite@X@y =@Y@x est la condition necessaire et susante pour qu'une forme dierentielleDa deux variablesxetysoit la dierentielle d'une fonctionZ=Z(x;y). On verie que seulesD1etD7la satisfont. L'integration deD7qui ne fait intervenir que la seule variableTest immediate. On trouveZ7=CvT+ constante. Le cas deD1est un peu plus complique. On doit avoir @Z1@x =X1=y2(x+y)2, d'ou Z

1(x;y) =y2x+y+'(y)

ou'est fonction de la seule variabley. Comme on doit avoir@Z1@y =Y1=x2(x+y)2=

2yx+y+y2(x+y)2+'0(y), on trouve'0(y) = 1et par suite'(y) =y+ constante. On a

nalementZ1(x;y) =xyx+y+ constante. Dans le cas de formes dierentiellesD=Xdx+Y dy+Zdza trois variablesx,yetz, il faut et il sut que soit veriees les trois conditions 1 R x=@Z@y @Y@z = 0; Ry=@X@z @Z@x = 0; Rz=@Y@x @X@y = 0 SeuleD2les satisfait et l'on trouveF2(x;y;z) =axbyz + constante. 3 )Le facteur integrant d'une forme dierentielleDqui n'est pas la dierentielle d'une fonc- tion est une fonctiontelle que le produitDsoit la dierentielle d'une fonction2. Une formeDa deux variables possede toujours des facteurs integrants. Pour trouver leur forme generale, on procede de la facon suivante en prenantD3comme exemple. On resout tout d'abord l'equationD3= 0, ce qui donne ici la relationu3(x;y) = lnx+y= constante. Considerant une fonctionarbitraire3(u3), un facteur integrant3deD3satisfait les equations3X3= 03(u3)@u3@x et3Y3= 03(u3)@u3@y , ce qui conduit ici a

3(x;y) =1x

03(lnx+y)

On verie notamment que1=xest l'un des facteurs integrants deD3, conduisant a la fonction F

3(x;y) =y+lnx+constantetelle quedF3=D3=x. Mais(lnx+y)=xest aussi un facteur

integrant, conduisant cette fois a la fonctionF3(x;y) =12 ln2x+12

y2+ylnx+constante.1. Qui signient que les composantesRx,RyetRzdu rotationnel du champ de vecteurs de compo-

santesX,YetZdoivent ^etre nulles.

2. Voir J. Bass : \Cours de Mathematiques", Tome I, p 577, Masson et Cie ed., 1968.Christian Carimalo5TD de Thermodynamique - L3

Par le m^eme procede, on trouve

4(T;V) =1T

04(CvlnT+RlnV); 6(T;V) =VT

06(V) Le cas des formes dierentielles a trois variablesD=Xdx+Y dy+Zdzqui ne sont pas des dierentielles de fonctions est plus complique. Elles ne possedent de facteurs integrants que si et seulement si le champ de vecteurs de composantesX,YetZest orthogonal a son rotationnel. On verie queD4ne satisfait pas cette condition et ne possede donc aucun facteur integrant. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

II. Coecients thermoelastiques

1 )PosantF0P=@F@P , etc, et ecrivantdF=F0PdP+F0VdV+F0TdT= 0, on en deduit dP=1F

0PF0VdV+F0TdT; dV=1F

0VF0TdT+F0PdP

dT=1F

0TF0PdP+F0VdV

d'ou @P@V T =F0VF

0P;@P@T

V =F0TF

0P@V@T

P =F0TF

0V;@V@P

T =F0PF

0V@T@P

V =F0PF

0T;@T@V

P =F0VF 0T

On en deduit aisement les relations mentionnees.

2 ) a),etTsont de caractere intensif;, homogene a l'inverse d'une temperature, est le coecient de dilatation isobare;, homogene a l'inverse d'une temperature, est le coecient d'augmentation de pression isochore;T, homogene a l'inverse d'une pression, est le coecient de compressibilite isotherme. b) La relation=PTse deduit aisement des relations etablies au1). c) Pour le gaz parfait :==1T etT=1P et ce, pour une masse quelconque de gaz.

Pour une mole de gaz de Van der Waals :

=1T 1bV

112aRTV

(1bV )2; =1T

1 +aPV

2 T=1P 1bVquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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