[PDF] JCoipeau Maths 2 Corrigé Exercices sur les triangles isométriques

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JCoipeau Maths 2

nde Corrigé Exercices sur les triangles isométriques

Exercice 2 :

ABCD est un carré de centre O, M

un point de [AB]. On mène par B la perpendiculaire à (CM) qui coupe (AD) en P.

1. a) Démontrons que

BCM = ABP.

Le triangle CMB est rectangle en B

la perpendiculaire à (CM) passant par B coupe (CM) qui coupe (AD) en P, appelons I le point d"intersection de (CM) et (PB) ; on a donc dans le triangle IMB rectangle en I, ^IBM + ^IMB = 90° (1) (la somme des angles aigus d"un triangle rectangle vaut 90° , on dit que ces angles sont complémentaires ) Remarque : " pour ceux qui ont oublié , la somme des angles dans un triangle vaut 180°, donc si le triangle est rectangle, il y a un angle droit donc la somme des deux autres vaut 90° et on les appelle des angles complémentaires » De plus dans le triangle CMB rectangle en B , on a aussi pour la même raison : ^BMC + ^BCM = 90° (2) or I

є ( MC) donc

^BMC = ^IMB ainsi d"après (1) et (2) ^BCM= ^IBM ^IBM = ^PBA car Iє (PB) et M є (AB) donc ^PBA = ^BCM (Il y a évidemment d"autres méthodes ) b) En déduire que les triangles MCB et ABP

ABCD est un carré donc AB = BC et

^PAB = ^MBC = 90° et sachant que ^PBA = ^BCM alors les deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles respectivement de même mesure , d"après le cas n° 3 ,alors les triangles MCB et

PAB sont isométriques !

Sachant cela, par propriété immédiate,

ils ont respectivement leurs trois côtés

égaux, donc MB = AP.

2. a) Démontrons que les triangles OMB et OPA sont isométriques :

ABCD est un carré donc

^PAO = ^MBO = 45° ( les diagonales sont les bissectrices de l"angle droit) De plus , AO = OB ( les diagonales sont de même longueur)

Et d"après ce qui précède on a AP = MB

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nde Ainsi d"après le cas n° 2, les deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur Ainsi les triangles OMB et POA sont isométriques ! Donc toujours et encore , leurs côtés sont respectivement de même longueur puisque OMB et POA sont isométriques ainsi leurs troisièmes côtés respectifs sont de même longueur soit PO = MO donc le triangle POM est isocèle en O car il possède deux côtés égaux . Montrons qu"il rectangle en O c"est-à-dire que ^POM= 90° OMB et POA sont isométriques ainsi leurs trois angles sont égaux respectivement

En particulier

^MOB= ^POA ^AOM + ^MOB = 90° car les diagonales d"un carré se coupent perpendiculairement au centre du carré Ainsi ^POA + ^AOM = 90° soit °=90 ^POM

Donc le triangle POM est rectangle en O

Conclusion : il est bien rectangle isocèle en O.

Exercice 4 :

ABCD est un carré, (DM) est tangente

au cercle C de diamètre [AB].

1. Démontrons que les triangles OAD et OMD sont

isométriques.

Rappel

: (DM) est tangente au cercle C de diamètre [AB] de centre O, donc par définition (DM) et (OM) sont perpendiculaires donc le triangle OMD est rectangle en M

Par hypothèse, A et M appartiennent

au cercle ( C ) de centre O , donc AO = OM de plus les deux triangles ont un côté commun [DO] et enfin les deux triangles sont rectangles ayant deux côtés respectivement égaux donc le troisième également car d"après la propriété de Pythagore DA² +AO² =DO² car le triangle DAO rectangle en A DM² + OM² = DO² car le triangle DMO est rectangle en O Comme AO=OM ainsi DA² = DM² soit DA=DM les deux triangles ont donc respectivement leurs trois côtés égaux ( cas n°1) donc les triangles OAD et OMD sont isométriques ! ( il y a encore d"autres méthodes mais celle-ci me semble la plus simple ! Par contre cette méthode suivante est intéressante pour le rappel suivant en gras :

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nde Sachant que (OA) et (AD) sont perpendiculaires ainsi que (OM) et (MD)

Et que AO=OM

Alors O se trouve à égale distance des droites (DA) et (DM) , c"est une propriété caractéristique de la bissectrice intérieure d"un angle ainsi O appartient à la bissectrice intérieure de l"angle ^ADM donc (DO) est la bissectrice de l"angle ^ADM mais aussi la médiatrice de [AM] donc A est le symétrique de M par rapport à l"axe (DO) D et O étant invariants car ils appartiennent à l"axe de symétrie par définition DAO et DMO sont isométriques car l"un l"image de l"autre par symétrie axiale ! encore autrement , on a (DO) bissectrice intérieure de l"angle ^ADM mais aussi de ^AOM et donc respectivement ^ADO = ^ODM et ^AOD = ^DOM ainsi le côté [DO] est compris entre deux angles respectivement de même mesure donc ils sont isométriques !) Voilà trois méthodes différentes pour le plaisir bien sûr de raviver votre mémoire !

2. Démontrons que les triangles DMR et DCR sont isométriques :

Les triangles OAD et OMD sont isométriques et on sait que : DA = DM or DA = DC par DABC est un carré, ainsi DM = DC Les triangles DMR et DCR ont un côté commun [DR] De plus ceux-ci sont rectangles respectivement en M et C :

DMR rectangle en M car R

є (OM) et (OM) et (DM) sont perpendiculaires

DCR rectangle en C ( car

^DCR est un angle droit puisque DCBA est un carré ). Ainsi d"après toujours la propriété de Pythagore dans le triangle DMR rectangle en

M : MR² + DM² = DR²

et dans le triangle DCR rectangle en R : DC² + CR² = DR²quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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