ENSEMBLES DE NOMBRES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Par exemple ?* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. 8. Inclusions.
FONCTION DERIVÉE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Exemples : Vidéo https://youtu.be/9Mann4wOGJA. 1) Soit la fonction f définie sur R par f (x)
DÉRIVATION (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr On a donc défini sur ? une fonction notée f ' dont l'expression est ... ?k*+T?k.
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2. Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.
MATH 2 MINES 91 Notations Mn(R) désigne lespace vectoriel des
MATH 2 MINES 91. Notations. Mn(R) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n `a termes réels ; n est un entier n ? 1.
Partie 1 : Intervalles de ?
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr L'ensemble des nombres réels ? est un intervalle qui peut se noter ] ? ? ; +?[.
PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2. 3) Primitive d'une fonction. Exemple : On considère les fonctions suivantes : :???.
Borne Inférieure borne supérieure
1 Rappel sur le vocabulaire de base. Soit A une partie de R et x un élément de R. • On dit que m est un majorant de A (resp. un minorant) dans R si.
VARIATIONS DUNE FONCTION
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Définitions : Une fonction affine est définie sur ? par ( ) = + où et ...
CONTINUITÉ
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr a) Soit la fonction f définie sur R {0} par f (x) = 1 x4 alors f est dérivable sur ??;0.
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Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ? ?= 0;1;2;3;4
[PDF] Partie 1 : Intervalles de ? - maths et tiques
I ? J 0 1 Page 5 5 sur 6 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques - Les nombres de la réunion des deux ensembles sont les nombres qui
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Maths en L?1gne Calcul Algébrique UJF Grenoble Dans cet exemple la quantité à sommer ne dépend pas de l'indice de sommation : celle-
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4/ Gallica constitue une base de données dont la BnF est le 5/ Les présentes conditions d'utilisation des contenus de Gallica 9^ = 4*+ 15; d'où
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Il y a des notations réservées pour certains ensembles; par exemple N est l'ensemble des entiers naturels ; Z Q R et C désignent respectivement
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4 Nombres complexes et géométrie Densité de Q dans R Cours et exercices de maths exo7 emath Licence Creative Commons – BY-NC-SA – 3 0 FR
1 DÉRIVATION - Chapitre 2/3
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/uMSNllPBFhQPartie 1 : Dérivées des fonctions usuelles
1) Exemple :
Démonstration au programme : Dérivée de la fonction carréVidéo https://youtu.be/-nRmE8yFSSg
Soit la fonction définie sur ℝ par Démontrons que pour tout réel, on : ′ =2. Calculons le nombre dérivé de la fonction en (nombre réel quelconque).Pour ℎ≠0 :
= 2+ℎOr : lim
= lim2+ℎ = 2
Pour tout nombre , on associe le nombre dérivé de la fonction égal à 2.
On a donc défini sur ℝ une fonction, notée ′ dont l'expression est ′
=2. Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de . Le mot " dérivé » vient du latin " derivare » qui signifiait " détourner un cours d'eau ». Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736 ; 1813) pour signifier que cette nouvelle fonction dérive (au sens de "provenir") d'une autre fonction. Démonstration au programme : Dérivée de la fonction inverseVidéo https://youtu.be/rQ1XfMN5pdk
Soit la fonction définie sur ℝ\{0} par Démontrons que pour tout de ℝ\{0}, on a : ′ 1 2Pour ℎ≠0 et ℎ≠- :
Or : lim
= lim 5- 1 6 = - Pour tout nombre , on associe le nombre dérivé de la fonction égal à - Ainsi, pour tout de ℝ\{0}, on a : ′ 1 2 2Définitions :
On dit que la fonction est dérivable sur un intervalle ,si elle est dérivable en tout réel
de .Dans ce cas, la fonction qui à tout réel de associe le nombre dérivé de en est appelée
fonction dérivée de et se note ′.2) Dérivées des fonctions usuelles :
Fonction Dérivée
=0 =2 ≥1 entier ≥1 entier +1Méthode : Dériver les fonctions usuelles
Vidéo https://youtu.be/9Mann4wOGJA
Calculer la dérivée de chacune des fonctions : =100 ; =-5 ; ℎCorrection
=100→ =0 =-5→′ =-5 =4 5 63) Cas de la fonction racine carrée
On peut lire dans le tableau plus haut que la fonction racine carrée est définie sur l'intervalle
0;+∞
mais dérivable sur l'intervalle ]0;+∞[. 3 Démonstration au programme : Non dérivabilité de la fonction racine carrée en 0Vidéo https://youtu.be/N5wnOoLDrjo
Soit la fonction définie sur
0;+∞
par On calcule le taux d'accroissement de en 0 :Pour ℎ>0 :
5$% 5 5$%' 5Or : lim
0+ℎ
0 = lim 1En effet, lorsque ℎ tend vers 0,
prend des valeurs de plus en plus grandes.Donc n'est pas dérivable en 0.
Géométriquement, cela signifie que la courbe représentative de la fonction racine carrée admet une tangente verticale en 0. Partie 2 : Opérations sur les fonctions dérivées1) Opérations sur les fonctions dérivées :
et sont deux fonctions dérivables.Démonstration au programme pour le produit :
Vidéo https://youtu.be/PI4A8TLGnxE
Soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle . On veut démontrer que pour tout de , on a : limFonction Dérivée
1 4 0 1 En passant à la limite lorsque ℎ tend vers 0, on a : lim = ′() et lim Car et sont dérivables sur .Et,lim
Soit, lim
Ainsi :
Méthode : Calculer les dérivées de sommes, produits et quotients de fonctionsVidéo https://youtu.be/ehHoLK98Ht0
Vidéo https://youtu.be/1fOGueiO_zk
Vidéo https://youtu.be/OMsZNNIIdrw
Vidéo https://youtu.be/jOuC7aq3YkM
Vidéo https://youtu.be/-MfEczGz_6Y
Dans chaque cas, calculer la fonction dérivée de : a) =3 +4 b) =5 -3 c)3
+45-1
d) 12
2 +5 e)6-5
2 -2-1Correction
a) avec =3 =3×2=6 =4 =4Donc : ′
= 6 + b) avec =5 ()=5×3 =15 =-3 ()=-3×2=-6Donc :
()=15 +(-6)=15 -6 c) avec =3 +4 → ()=6+4 =5-1 →′ =5Donc : ′
6+4
5-1
3
+4 ×5 =30 -6+20-4+15 +20 5 =45 +34-4d) 1 avec =2 +5 → ()=4+5
Donc : ′
0 e) avec =6-5 → ()=6 -2-1 → =2-2Donc : ′
0 0 $.(/$.5/'.5 1 $.5/'.?2) Dérivée d'une fonction composée
Fonction Dérivée
Méthode : Dériver une fonction composée (+)Vidéo https://youtu.be/aFkPQkg0p-A
Calculer les fonctions dérivées des fonctions et ℎ définies par :7+1
5-4
Correction
1)
7+1
=7×37+1
=217+1
En effet, la dérivée de la fonction cube est =32) ℎ
5-4
=5× En effet, la dérivée de la fonction racine carrée est P Qquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] sujet concours bcpst corrigé
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