ENSEMBLES DE NOMBRES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Par exemple ?* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. 8. Inclusions.
FONCTION DERIVÉE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Exemples : Vidéo https://youtu.be/9Mann4wOGJA. 1) Soit la fonction f définie sur R par f (x)
DÉRIVATION (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr On a donc défini sur ? une fonction notée f ' dont l'expression est ... ?k*+T?k.
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2. Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.
MATH 2 MINES 91 Notations Mn(R) désigne lespace vectoriel des
MATH 2 MINES 91. Notations. Mn(R) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n `a termes réels ; n est un entier n ? 1.
Partie 1 : Intervalles de ?
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr L'ensemble des nombres réels ? est un intervalle qui peut se noter ] ? ? ; +?[.
PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2. 3) Primitive d'une fonction. Exemple : On considère les fonctions suivantes : :???.
Borne Inférieure borne supérieure
1 Rappel sur le vocabulaire de base. Soit A une partie de R et x un élément de R. • On dit que m est un majorant de A (resp. un minorant) dans R si.
VARIATIONS DUNE FONCTION
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Définitions : Une fonction affine est définie sur ? par ( ) = + où et ...
CONTINUITÉ
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr a) Soit la fonction f définie sur R {0} par f (x) = 1 x4 alors f est dérivable sur ??;0.
[PDF] ENSEMBLES DE NOMBRES - maths et tiques
Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ? ?= 0;1;2;3;4
[PDF] Partie 1 : Intervalles de ? - maths et tiques
I ? J 0 1 Page 5 5 sur 6 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques - Les nombres de la réunion des deux ensembles sont les nombres qui
[PDF] Nombres réels
8 nov 2011 · Maths en Ligne Nombres réels Bernard Ycart Multiplication L'ensemble R? (ensemble des réels privé de 0) muni de la multiplica-
[PDF] ellipses-extraitpdf
– la notation x ? E signifie x n'appartient pas `a E Le symbole ? désigne l'ensemble vide qui n'a aucun élément Un ensemble qui ne contient qu'un seul
[PDF] m2_livre2017-completpdf - Institut de Mathématiques de Toulouse
IUT “A” Paul Sabatier Toulouse 3 DUT Génie Civil Module de Mathématiques MATH´EMATIQUES ´Eléments de calculs pour l'étude des fonctions de plusieurs
[PDF] Calcul Algébrique
Maths en L?1gne Calcul Algébrique UJF Grenoble Dans cet exemple la quantité à sommer ne dépend pas de l'indice de sommation : celle-
[PDF] Cours complet de mathématiques pures T 1 / par L-B Francoeur
4/ Gallica constitue une base de données dont la BnF est le 5/ Les présentes conditions d'utilisation des contenus de Gallica 9^ = 4*+ 15; d'où
[PDF] Cours danalyse 1 Licence 1er semestre
1 5+3i 3+2i 3 ? 2i 1 (4 + 3i)(3 ? 2i) Exercice 1 5 Calculer sous la forme a + ib avec a b réels les racines carrées des nombres complexes
[PDF] Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles - Université de Rennes
Il y a des notations réservées pour certains ensembles; par exemple N est l'ensemble des entiers naturels ; Z Q R et C désignent respectivement
[PDF] cours-exo7pdf
4 Nombres complexes et géométrie Densité de Q dans R Cours et exercices de maths exo7 emath Licence Creative Commons – BY-NC-SA – 3 0 FR
1 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVARIATIONS D'UNE FONCTION
Tout le cours sur les variations en vidéo : https://youtu.be/i8aYSIidNlk Tout le cours sur les fonctions affines en vidéo : https://youtu.be/n5_pRx4ozIg Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes1. Définitions
On a représenté ci-dessous dans un repère la fonction définie par =5- Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite :Sur l'intervalle [0;2,5], on
monte, on dit que la fonction est croissante.Sur l'intervalle [2,5;5], on
descend, on dit que la fonction est décroissante. est décroissante sur 2,5;5Si augmente (3<4),
alors () diminue ((3)>(4)). est croissante sur 0;2,5Si augmente (1<2),
alors ()augmente ((1)<(2)).2 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDéfinitions : Sur un intervalle ,
- une fonction est croissante, - une fonction est décroissante, si < alors . si < alorsRemarques :
• Pour une fonction constante : on a toujours • Dire que est monotone signifie que est soit croissante, soit décroissante. • On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction décroissante renverse l'ordre. Exercice : Déterminer les variations d'une fonctionVidéo https://youtu.be/zHYaPOWi4Iw
Vidéo https://youtu.be/__KaMRG51Ts
2. Maximum et minimum
Exemple : On reprend la fonction définie dans l'exemple de la partie 1.Sur l'intervalle [0;5], on a :
2,5 =6,25. On dit que 6,25 est le maximum de la fonction . Ce maximum est atteint en 2,5.3 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDéfinitions : Sur un intervalle ,
- une fonction admet un maximum en , si pour tout , - une fonction admet un minimum en , si pour tout ,Remarque : Un minimum ou un maximum
s'appelle un extremum.TP avec Python :
Approcher un extremum par la méthode du balayage3. Tableau de variations
Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone. Méthode : Déterminer graphiquement les variations d'une fonction et dresser le tableau de variationsVidéo https://youtu.be/yGqqoBMq8Fw
On considère la représentation graphique la fonction :4 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr a) Sur quel intervalle la fonction est-elle définie ? b) Donner les variations de la fonction. c) Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints. d) Résumer les résultats précédents dans un tableau de variations.Correction
a) La fonction est définie sur [-5;7]. b) La fonction est croissante sur les intervalles [-4;0] et [5;7]. Elle est décroissante sur les intervalles [-5;-4] et [0;5]. c) Le maximum de est 3,5. Il est atteint en =0. Le minimum de est -4. Il est atteint en =-4 . d)Partie 2 : Cas des fonctions affines
1. Définitions
Définitions : Une fonction affine est définie sur ℝ par =+, où et sont deux nombres réels. Lorsque =0, la fonction définie par = est une fonction linéaire.Exemples :
• Fonction affine : =-+6 • Fonction linéaire :2. Variations
Propriété : Soit une fonction affine définie sur ℝparSi >0, alors est croissante.
Si <0, alors est décroissante.
Si =0, alors est constante.
Démonstration :
Soient et deux nombres réels tels que <.On sait que < donc ->0.
Le signe de
est le même que celui de .5 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr - Si >0, alors > 0 soitDonc est croissante.
- Si =0, alors = 0 soitDonc est constante.
- Si <0, alors < 0 soitDonc est décroissante.
Méthode : Déterminer les variations d'une fonction affineVidéo https://youtu.be/9x1mMKopdI0
Déterminer les variations des fonctions affines suivante : a) =3+2 b) =7-6 c) ℎCorrection
1)
=3+2 >0 donc est croissante.2)
=7-6=-6+7 <0 donc est décroissante.3) ℎ
=-=-1 <0 donc ℎ est décroissante.3. Représentation graphique
Propriétés :
- Une fonction affine est représentée par une droite. - Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine du repère. Soit la fonction affine définie par ()=+. s'appelle le coefficient directeur s'appelle l'ordonnée à l'origine. Méthode : Déterminer graphiquement une fonction affineVidéo https://youtu.be/OnnrfqztpTY
Vidéo https://youtu.be/fq2sXpbdJQg
Vidéo https://youtu.be/q68CLk2CNik
Déterminer graphiquement l'expression des fonctions et représentées respectivement
par les droites (d) et (d').6 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
Ce nombre s'appelle le coefficient directeur.
Si on avance de 1 : on monte de .
Ce nombre s'appelle l'ordonnée à l'origine.
- se lit sur l'axe des ordonnées.Pour (d) : Le coefficient directeur est 2
L'ordonnée à l'origine est -2
L'expression de la fonction est :
=2-2Pour (d') : Le coefficient directeur est -0,5
L'ordonnée à l'origine est -1
L'expression de la fonction est :
=-0,5-1 Propriété des accroissements : Soit la fonction affine définie sur ℝ par =+ et deux nombres réels distincts et .Alors : =
Démonstration :
Comme ≠, et on a : =
Remarque : Dans le calcul de ,inverser et n'a pas d'importance.En effet :
Méthode : Déterminer l'expression d'une fonction affineVidéo https://youtu.be/ssA9Sa3yksM
Vidéo https://youtu.be/0jX7iPWCWI4
Déterminer par calcul une expression de la fonction telle que : (-2)=4 et (3)=1.7 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
est une fonction affine, donc elle s'écrit sous la forme : • Calcul de : On a (-2)=4 et (3)=1, donc d'après la propriété des accroissements :Donc :
• Calcul de b :On a par exemple : (3)=1, donc :
×3+=1
+=1 =1+ 9 5 5 5 9 5 • D'où :Partie 3 : Cas des fonctions de référence
1. Variations de la fonction carré
Vidéo https://youtu.be/B3mM6LYdsF8
Propriété :
La fonction carré est décroissante sur l'intervalle -∞;0 et croissante sur l'intervalle0;+∞
8 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDémonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/gu2QnY8_9xk
On pose :
- Soit et deux nombres réels quelconques positifs tels que <. Or ->0, ≥0 et ≥0 donc ≥0 ce qui prouve que est croissante sur l'intervalle0;+∞
- La décroissance sur l'intervalle -∞;0 est prouvée de manière analogue en choisissant et deux nombres réels quelconques négatifs tels que <.2. Variations de la fonction inverse
Vidéo https://youtu.be/Vl2rlbFF22Y
Propriété :
La fonction inverse est décroissante sur
l'intervalle -∞;0 et décroissante sur l'intervalle0;+∞
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/cZYWnLA30q0
On pose :
- Soit et deux nombres réels strictement positifs avec <. 0 0'/ 0/ Or >0, >0 et -<0. Donc f est ainsi décroissante sur l'intervalle0;+∞
- La décroissance sur l'intervalle -∞;0 est prouvée de manière analogue. Propriété : Si et sont deux nombres réels de même signe, on a alors : 1 1 En effet, la fonction inverse étant décroissante, l'ordre est renversé.9 sur 11
quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] sujet concours bcpst corrigé
[PDF] fernand leger oeuvre
[PDF] biographie de fernand leger
[PDF] affiche de propagande pétain hda
[PDF] fernand leger wikipedia
[PDF] la partie de cartes fernand léger analyse de l'oeuvre
[PDF] la propagande de vichy
[PDF] fernand léger soldats jouant aux cartes 1959
[PDF] ferragus resume chapitre 2
[PDF] corrigé livre maths hyperbole terminale s
[PDF] balzac ferragus chef des dévorants commentaire
[PDF] raccordement circulaire pdf
[PDF] hyperbole 1ere es correction pdf
[PDF] raccordement circulaire double
