[PDF] MATH 2 MINES 91 Notations Mn(R) désigne lespace vectoriel des

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MATH2MINES91

Notations

M n (R)d´ esignel'espacevec torieldesmatricescarr´eesd'ordren`ate rmesr´eels;nestun entier,n≥1.

L'espacevectorielR

n serasuppos´ emu nidelanormee uclidi enne; c'est`adi re,end´esignant lesvecteu rsdeR n pardesmat ricescol onnes: X= x 1 x 2 x n ?X?= n i=1 x 2 i 1/2

L'espacevectorielM

n (R)sera munidelanorme subordonn´ee;pou rA?M n (R): ?A?=su p X? n \{0} ?AX? ?X?

Ilse raadmisque,pourtout coupled ematricesAetBdeM

n (R),ona l'in´ egalit´e:

PartieI

Quelquespropri´et´esdel' expone ntielledematrice

SoientAetBdeuxmatrice sdeM

n (R). I.1.a.Rappelerpourquoilas´eriedematric esdete rmeg´en´eralU k d´efiniepar U 0 =I n U k 1 k! A k ,k=1,2,... estconver gente.OnnoteexpAlasomm edecettes´erie. c.

Etablirla relation:BexpA=

k=0 1 k! BA k

Quepenser desmatricesexpA

1 etexpA 2 lorsqueA 1 etA 2 sontsemblab les? Ilsera admispourla suiteque, sideuxmatricesAetBcommutentalors exp(A+B)=e xpA.expB

I.2.Onconsid `erelestroi smatri cesdeM

3 (R): D= 100
020 003 ,E= 110
021
003 ,F= 010 001 000 CalculerexpD,ex pF.On admetq ueE=ex pF.D.exp(-F),end ´eduireexpE.

ComparerexpEetexpF.expD,q u'enpenser?

I.3.Soitf

A lafonctiond eRdansM n (R)d´ efiniep ar:f A (x)= k=0 x k k! A k a.

Etablirque f

A estcontin uedeRdansM n (R). 1

2MA TH2MINES91

b.Enint´ egrantterme`ate rmelas´eriedonnan tf A (t),exprimer,e nf onctionde f A (x)et deI n ,l' expressionA x 0 f A (t)dto`uxestunr´eel;end´eduirequela fonctionf A est d´erivableetcalculersad´eriv´ee.Montre rquef A estind´efinimentd´erivable.

I.4.a.Soitθunr´eeldonn´eet C

lamatricede M 2 (R):C 0θ -θ0

Calculerexp(C

(Utiliserles´egalit´essinθ= n=0 (-1) n 2n+1 (2n+1) ! etcosθ= n=0 (-1) n 2n (2n)! pourθ?R.)

Estce quel'applicationA?→expAdeM

n (R)da nsM n (R)es tinjecti ve? b.SoitAunematric edeM n (R).D´emontrerquelamatrice exp(A)-I n peuts'´ecrire A(I n +S A Etablirqu'ilexisteun r´eelα>0te lque?A?<αimplique?S A ?<1. c.SoitTunematric edeM n (R);´etablirque si?T?<1,lamatrice I n +Testinversi ble. d.SoitMunematriceappartenan t` alab oule ouverteB(0,α)de centrelamatricenu lle

0et derayo nα(o`uαa´et´ed´ efiniaub.) ;´etablirquel' ´egalit´een trelesmatricesexpM

etI n est´equivalente`alan ullit´ede M.

I.5.SoientBetHdeuxmatrice sdonn´eesdeM

n (R)et soitkunenti er,k≥1;s oit g k l'applicationde RdansM n (R)d´ efiniepar g k (x)= (B+xH) k Lesdeuxm atricesBetHnesont passuppos´ eescommut ables. a.

Etablirquelafonc tiong

k estcontin ˆumentd´erivable;calculerlesd´eriv´eesdesfo nctions g 1 ,g 2 ,g 3 puisde lafonctiong k b.End´eduirel'in´ egalit´e:?(B+H) k -B k k-1 onutiliseraici l'in´ egalit´ede saccroisse mentsfinispourlesfonctionsvectorielles: x?[0,1] ?g (x)?. I.6.Soitxunr´eel,x>0;s oitT(A,x)la matriced ´efiniepar larelation:

T(A,x)=

1 x 2 (exp(xA)-I n -xA). a.D´emontrerquelafonctionx?→T(A,x)se prolong eparcontinuit´een 0.

MontrerqueT(A,x)=A

2 1 0 (1-t)exp(txA)dt.

End´eduireun majorant simpledesanorme.

b.Soitkunenti er,k≥1;e nd ´emontrantetenutilisantlar elation: I n 1 k A k -expA= exp 1 k A 1 k 2 T A, 1 k k exp 1 k A k d´eterminer,`al'aided el'in ´egalit´edu I.5.,lalimitede lasuitedematricesde terme g´en´eral I n 1 k A k ,k=1,2,... c.D´emontrerquel'applicationA?→detAestuneapplication con tinue deM n (R)da ns R.

Onadme tquedet

I n 1 k A =1+quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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