La fonction puissance et la racine n-ième
DERNIÈRE IMPRESSION LE 11 novembre 2017 à 18:29. La fonction puissance et la racine n-ième. Table des matières. 1 Fonction puissance. 2. 1.1 Définition .
Racine nième
Racine nième. Corrigés d'exercices. Page 159 : N°80 82
Nombres complexes
Calculer les racines carrées de 1 i
Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) ? Racine nième
Il existe un unique réel positif noté « n a »
Fonction racine nième (n IN nÃ2)
Fonction racine nième. Page 1 sur 2. Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle. Fonction racine nième (n?IN nÃ2). I. Racine nième.
Racine n-ième de lunité
z = rei? est une racine n-ième de Z = ?ei? si et seulement si : zn = Z. rnein? = ?ei?. ?. { rn = ? n? = ? + 2k?. ?. { r = n. ? ? ? = ? n. +. 2k?.
MATH 104 Groupe A4 Séance du 30 avril 2020 A faire : 1- la fiche 5
30 avr. 2020 calcul des racines carrées des nombres complexes ... Achever le thème 3 : Racines n-ième exercices 9 11
Chapitre3 : Les complexes
Soit Z P C ; une racine n-ième de Z c'est un complexe z P C tel que zn = Z. ‚ Si Z = 0
CM14-Racines n-ièmes Cours de Mathématiques L1 Semestre 1
12 nov. 2016 On appelle racine nième d'un nombre complexe z0 tout nombre complexe z tel que z1 n = z0. On appelle racine nième de l'unité les racines ...
Sylvain Gugger
Racine n-ième d'un nombre complexe. ? 4 Nombres complexes et géométrie. Dans toute cette partie on considère le plan P usuel
[PDF] La fonction puissance et la racine n-ième - Lycée dAdultes
11 nov 2017 · Définition 1 : On appelle fonction puissance d'un réel a positif Définition 2 : On appelle racine n-ieme d'un nombre réel positif x
[PDF] Racine nième - PanaMaths
1/21 M Lichtenberg Racine nième Corrigés d'exercices Page 159 : N°80 82 84 86 88 89 91 92 94 97 Page 165 : N°130 132 Page 162 : N°105
[PDF] Racine n-ième de lunité - Fun MOOC
z = rei? est une racine n-ième de Z = ?ei? si et seulement si : zn = Z rnein? = ?ei? ? { rn = ? n? = ? + 2k? ? { r = n ? ? ? = ? n + 2k? n 1 / 4
[PDF] TS Fonctions puissances entières Racine n-ième Exponentielle de
Fonctions puissances entières Racine n-ième Exponentielle de base réelle I Fonction puissance n-ième 1°) Définition n est un entier naturel tel que n
[PDF] TS Exercices sur les fonctions puissances et racines n-ièmes
TS Exercices sur les fonctions puissances et racines n-ièmes 1 Calculer sans utiliser la calculatrice en détaillant les étapes de calcul
[PDF] Fonction racine nième (n?IN nÃ2) - Free
Page 1 sur 2 Terminale S – Lycée Desfontaines – Melle Fonction racine nième (n?IN nÃ2) I Racine nième Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2
[PDF] Racines n-ièmes dun nombre complexe Interprétation géométrique
Théorème 1 : L'équation complexe zn = Z admet n racines distinctes Définition 3 : Un générateur de Un est appelé racine primitive n-ième de l'unité
[PDF] Racines n-ièmes de lunité - Quentin De Muynck
Exercice 3 : Somme des puissances p-ièmes des racines n-ièmes de 1 partie imaginaire de la première racine n-ième de l'unité (faire un dessin) :
Fonction racine n-ième - Résumé de cours 2 - AlloSchool
19 déc 2022 · Fonction racine n-ième - Résumé de cours 2 Dérivation et étude des fonctions Mathématiques 2ème BAC Sciences Physiques BIOF AlloSchool
[PDF] Des racines et des n - APMEP
Problème N°1 La duplication du cube Énoncé typique avec indications de méthodes D'où l'idée de noter la racine nième par une puissance rationnelle
Qu'est-ce que la racine nième ?
En mathématiques, une racine n-ième d'un nombre a est un nombre b tel que bn = a, où n est un entier naturel non nul. Selon que l'on travaille dans l'ensemble des réels positifs, l'ensemble des réels ou l'ensemble des complexes, le nombre de racines n-ièmes d'un nombre peut être 0, 1, 2 ou n.Comment trouver la racine nième d'un nombre ?
La racine -ième d'un nombre est désignée par = ? ? . Il s'agit de l'inverse de la fonction d'élévation à la puissance , et appliquer cette racine revient à déterminer la valeur de solution de = ? . Nous pouvons trouver la racine -ième réelle d'un nombre strictement négatif lorsque est impair.Comment calculer la racine nième d'un nombre complexe ?
Si w est un nombre complexe, on appelle racine n -ième de w tout nombre complexe z tel que zn=w z n = w .- A l'inverse, la racine carrée d'un nombre est le résultat dont le carré est égal au nombre de départ. Le symbole de la racine carrée est ?. Exemple : la racine carré de 4, qui s'écrit aussi ?4 est égal à 2 car 22, soit 2 x 2 = 4.
La fonction puissance et
la racine n-ièmeTable des matières
1 Fonction puissance2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Étude de la fonction puissance3
2.1 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Limite en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Tableau de variation et courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Étude d"une fonction classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 La racinen-ieme7
3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Simplification et résolutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Croissance comparée7
4.1 Théorèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Cosinus et sinus hyperboliques : ch et sh10
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. FONCTION PUISSANCE
1 Fonction puissance
1.1 Définition
Définition 1 :On appelle fonction puissance d"un réelapositif, la fonctionfa définie surRpar :a>0fa(x) =ax=exlnaExemple :3⎷2=e⎷2ln3et 5-12=e-12ln5
Remarque :Il s"agit de la généralisation de la fonction puissance que l"on avait définie avec les entiers relatifs aux nombres réels . Cette généralisation se fait au détriment de l"ensemble de définitionR?+poura. En effet, on peut définir lapuissance entièred"un réel négatif ou nul mais lapuissance réellen"est pas définie pour toute valeur deaen raison de lnaqui est défini surR?+. (-3)5existe mais(-3)⎷2n"existe pas!
ConséquenceLa fonction puissance est strictement positive en raison de sa no- tation exponentielle. ?a?R?+,?x?R,ax>01.2 Propriétés
On retrouve les mêmes propriétés de la fonction exponentielle : Propriété 1 :Pour tous réels positifsaetb, on a les égalités suivantes pourxet yréels :lnax=xlna
(ab)x=ax×b
x1.3 Applications
Résoudre dansR: 2x=32x+1
Par croissance de la fonction exp surR:
e xln2=e(2x+1)ln3?xln2= (2x+1)ln3?x(ln2-2ln3) =ln3 x=ln3 ln2-2ln3?S=?ln3ln2-2ln3?Résoudre dansR:?13?
x =32Par croissance de la fonction exp surR:
PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
2. ÉTUDE DE LA FONCTION PUISSANCE
exln13=eln32? -xln3=ln3-ln2?x=ln2-ln3ln3?S=?ln2-ln3ln3?Résoudre dansR:?1⎷3?
x ?3Par croissance de la fonction exp surR:
e xln1 ⎷3?eln3? -12xln3?ln3? -12x?1 car ln3>0?x?-2?S= [-2 ;+∞[
Résoudre dansR?+:x⎷2?1
2 Par croissance de la fonction exp surRet de la fonction ln surR?+: e ⎷2?S=]0 ;e-ln2
⎷2]2 Étude de la fonction puissance
2.1 Variation
Soit la fonctionfadéfinie surRpar :fa(x) =ax=exlna. Commeax=exlna,faest continue et dérivable surRpar composition de fonc- tions continues et dérivables surR. On a alors : f ?a(x) =lna×exlna=lna×ax Le signef?adépend donc du signe de lna. On a alors : Sia>1,?x?R,f?a(x)>0. La fonction puissance est croissante. Si 02.2 Limite en l"infinia>1???lim
x→+∞xlna= +∞ lim x→+∞ex= +∞Par composition, on a
lim x→+∞ax= +∞De même, on montre que :
lim x→-∞ax=00Par composition, on a lim x→+∞ax=0De même, on montre que :
lim x→-∞ax= +∞PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
2. ÉTUDE DE LA FONCTION PUISSANCE
2.3 Tableau de variation et courbe
a>1 x f ?a(x) f a(x) 00 0 1 1 a O 11 a 02.4 Étude d"une fonction Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x×2xLimite en+∞
limx→+∞2x= +∞ lim x→+∞x= +∞???Par produit
lim x→+∞x×2x= +∞ Limite en-∞. forme indéterminée : "∞×0 » On change la forme :f(x) =xexln2et l"on poseX=xln2, on a alors :Six→ -∞on a :X→ -∞
La fonction devient alors :
XeX ln2 or on sait que : limX→-∞XeX=0, donc on en déduit que : lim x→-∞x×2x=0 On en déduit une asymptote horizontale : l"axe des abscisses en-∞. Variation :f?(x) =exln2+xln2exln2= (1+xln2)2x.1)f?(x) =0?x=-1
ln2(≈ -1,44)PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
2. ÉTUDE DE LA FONCTION PUISSANCE
2)?x?R, 2x>0 donc, signef?(x) =signe(1+xln2)
Tableau de variation.
x f ?(x) f(x) -∞-1ln2+∞ 0+ 00 -1eln2-1eln2 f? -1ln2? =-1ln2e-1 ln2ln2=-1eln2(? -0,53)La courbe
-11 231 2-1-2-3-4-5
O- 1 ln2 1 eln22.5 Étude d"une fonction classique
Soit la fonction définie surR+par :?f(x) =xxpourx>0 f(0) =1 Étude de la continuité en 0 :Pourx>0, on af(x) =exlnx, on a alors les limites suivantes : lim x→0+xlnx=0 lim x→0+ex=1???Par composition
lim x→0+xx=1Comme lim
x→0+xx=f(0), la fonction est continue en 0. Remarque :On dit que l"on a prolongé la fonctionfpar continuité en 0. Étude de la dérivabilité en 0 : il faut étudier le taux d"accroissementdef en 0.Pourh>0, on a :f(h)-f(0)
h=ehlnh-1hC"est une limite indéterminée du type "
00».
PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
2. ÉTUDE DE LA FONCTION PUISSANCE
On pose :H=hlnh, sih→0 alorsH→0.
f(h)-f(0) h=eH-1H lnh=lnh×eH-1 H limH→0+e
H-1 H=1 et limh→0+lnh=-∞, d"où : limh→0+f(h)-f(0)h=-∞. fn"est pas dérivable en 0 maisCfpossède une tangente verticale en 0.Limite en l"infiniOn montre facilement par produit et composition que : limx→+∞xx= +∞
Variation
x xest dérivable surR?+car composition de fonctions dérivables sur cet intervalle. On a alors : f ?(x) = (lnx+x×1 x)exlnx= (lnx+1)xx1)f?(x) =0?lnx=-1?x=1
e(?0,37)2) Commexxest positive surR?+: signef?(x) =signe(lnx+1).
Tableau de variation :f?1e?
=e1eln1e=e-1e(?0,69) Comme la fonction ln est croissante surR?+, la fonctionf?est négative puis positive. On a alors le tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x)01e+∞
-0+ 11 e-1ee-1e 1 1La courbe
0.51.01.52.0
0.5 1.0 1.5
e-1e 1 eOPAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR
3. LA RACINEN-IEME
3 La racinen-ieme
3.1 Définition
Définition 2 :On appelle racinen-ieme d"un nombre réel positifx, le nombre noté n⎷ xtel que : n?2 etn⎷ x=x1n Remarque :Pourx=0, on peut définir :n⎷0=0.Exemple :
3=312et5⎷7=715
ConséquencePourxetypositifs, sixn=yalorsx=n⎷ y3.2 Simplification et résolutions
Simplifier les expressions suivantes :⎷34⎷36et⎷x4⎷x3⎷x
34⎷36=312×?
36?14 =31
2×332=312+32
=32=9⎷ x4⎷x3⎷x=x1
2×x14
x13 =x12+14-13=x512
12⎷
x5 Résoudre l"inéquation suivante dansR+:3⎷x?8 3 x?8?x?83?x?512 Résoudre l"équation dansR?+suivante :3⎷x-63⎷x-1=0 en multipliant l"équation par3⎷
x, on obtient :?3⎷x?2-3⎷x-6=0On pose alorsX=3⎷
x, avecX>0, l"équation devient :X2-X-6=0. X1=-2 racine évidente, deP=-6, on en déduitX2=3
CommeX?<0, cette solution n"est pas retenue. On obtient alors : X2=3?x=33=27
4 Croissance comparée
4.1 Théorèmes
Théorème 1 :Pour tout entiern?1, on a les limites suivantes : lim x→+∞lnx xn=0 et limx→+∞e xxn= +∞PAUL MILAN7VERS LE SUPÉRIEUR
4. CROISSANCE COMPARÉE
Remarque :La première limite a été vue dans le chapitre sur la fonction loga- rithme. L"idée consiste à faire le changement de variableX=xn Démonstration :Pour la deuxième limite. On utilise la notation exponentielle pourxn. On a alors : e x xn=exenlnx=ex-nlnx=ex(1-nlnx x)Or on sait que lim
x→+∞lnx x=0 donc on a : lim x→+∞1-nlnx x=1 lim x→+∞ex= +∞????? par composition lim x→+∞e x xn= +∞ Théorème 2 :Pour tout entiern?1, on a les limites suivantes : lim x→0+xnlnx=0 et limx→-∞xnex=0 Démonstration :Pour la première limite, le changement de variableX=1x, permet de revenir à une limite en+∞ Pour la seconde limite, le changement de variableX=-x, permet de revenir à une limite en+∞. Remarque :Je laisse au lecteur le soin de faire ces deux démonstrations4.2 Application
Soitfune fonction définie sur[0;+∞[par :?????f(x) =1 x2e-1 xpourx>0 f(0) =01) Démontrer que la fonctionfest dérivable en 0.
2) Étudier les variations defet sa limite en+∞.
3) On note T la tangente à la courbeCreprésentative defau point d"abscissex0.
a) Écrire une équation de la tangente T enx0àC. b) Déterminerx0pour que T passe par l"origine du repère orthonormal choisi.4) Pour la valeurx0trouvée, tracerTpuisC(unité graphique 6 cm)
1) Pour montrer quefest dérivable en 0, il faut montrer que le taux d"accroisse-
ment en 0 +admet une limite finie. f(h)-f(0) h=1 h2e-1 h-0 h=e-1 h h3PAUL MILAN8VERS LE SUPÉRIEUR
4. CROISSANCE COMPARÉE
On pose :H=-1h, on a sih→0+alorsH→ -∞La quantité devient :
e-1 h h3=eH? -1 H?3=-H3eH
Or on sait que lim
H→-∞H3eH=0, donc on a : limx→0+f(h)-f(0) h=0 Conclusion :fest dérivable (donc continue) en 0 et sa courbe admet une tangente horizontale en 0.2) Variation : La fonctionfest continue et dérivable sur]0;+∞[.
f ?(x) =-2 x3e-1 x+1x2×1x2e-1 x=1x4e-1 x(-2x+1)f?(x) =0? -2x+1=0?x=12
On sait que :?x?]0;+∞[,1x4e-1
x>0 On en déduit que : signe def?(x) =signe de(-2x+1)Limite en+∞: on poseX=-1
x, donc six→+∞alorsX→0 lim x→+∞1 x2e-1 x=limX→0X2eX=0 par produit des limites.Conclusion : lim
x→+∞f(x) =0Tableau de variation :f?1
2? =114e- 112=4e2≈0,54
x f ?(x) f(x) -∞12+∞ 0 0- 00quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16[PDF] législation du travail au maroc
[PDF] législation du travail résumé
[PDF] législation du travail maroc pdf
[PDF] legislation du travail pdf
[PDF] legislation de travail maroc pdf ofppt
[PDF] cours législation du travail maroc pdf
[PDF] résumé de législation de travail ofppt
[PDF] transistor ? effet de champ schéma équivalent
[PDF] application des transistor a effets de champs
[PDF] transistor a effet de champs exercices corrigés
[PDF] circulaire mission prof principal
[PDF] transistor a effet de champs jfet exercices corrigés
[PDF] cours dintroduction ? lanthropologie pdf
[PDF] oms fondateurs