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La fonction puissance et la racine n-ième

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Chapitre3 : Les complexes

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Problème N°1 La duplication du cube Énoncé typique avec indications de méthodes D'où l'idée de noter la racine nième par une puissance rationnelle

  • Qu'est-ce que la racine nième ?

    En mathématiques, une racine n-ième d'un nombre a est un nombre b tel que bn = a, où n est un entier naturel non nul. Selon que l'on travaille dans l'ensemble des réels positifs, l'ensemble des réels ou l'ensemble des complexes, le nombre de racines n-ièmes d'un nombre peut être 0, 1, 2 ou n.

  • Comment trouver la racine nième d'un nombre ?

    La racine �� -ième d'un nombre est désignée par �� = ? �� ? . Il s'agit de l'inverse de la fonction d'élévation à la puissance �� , et appliquer cette racine revient à déterminer la valeur de �� solution de �� = �� ? . Nous pouvons trouver la racine �� -ième réelle d'un nombre strictement négatif lorsque �� est impair.

  • Comment calculer la racine nième d'un nombre complexe ?

    Si w est un nombre complexe, on appelle racine n -ième de w tout nombre complexe z tel que zn=w z n = w .
  • A l'inverse, la racine carrée d'un nombre est le résultat dont le carré est égal au nombre de départ. Le symbole de la racine carrée est ?. Exemple : la racine carré de 4, qui s'écrit aussi ?4 est égal à 2 car 22, soit 2 x 2 = 4.
Chapitre3 : Les complexes

C R +ˆ

+ˆ R 0 +

1 ˆ

xC + ´x

C ˆ=´1

a z(z) b (z)

ĕ ĕ RC

MP z=x+y ɍ(x,y) M

y=(z) z |z|=a x 2+y2 zPR |z|=a x

2+y2=?

x 2=|x| z ¯z=x´y 1 x y ´y |z| z=x+y

¯z=x´y

|z|

¯z=zðñzPR

¯z=´zðñzPR

¯z=z

z+z1= ¯z+¯z1 zz

1= ¯z¯z1

(z) =z+¯z 2 (z) =z´¯z 2 z =¯z |z|2 |zz1|=|z||z1| |zz1|2=zz1¯z¯z1=|z|2|z1|2 z‰0|1 z |=1 |z| |z+z1|2=(z+z1) (z+z1) =z¯z+z1¯z+z¯z1+z1¯z1=|z|2+|z1|2+z1¯z+z¯z1 (|z|+|z1|)2=|z|2+ 2|z||z1|+|z1|2 z1¯z+z¯z1= ¯zz1+ @zPC,|z| PR+ @zPC,|z|= 0ðñz= 0 @z,z1PC,|zz1|=|z||z1| @z1,z2,...znPC,|řn k=1|zk|

θPR eθ=θ+θ

|eθ|= 1 e

θ= 1ðñθP2πZ

e (θ+θ1)=eθeθ1 z=a+b ɍa,bPR

θPR θ=a

b2= 1´a2= 1´2θ=2θ b=θ a=θb=θ z=eθ b=´θ a=(´θ)b=(´θ) z=e´θ @nPZ,(eθ)n=enθ

N Zm=´n

θ=eθ+e´θ

2

θ=eθ´e´θ

θPR z=ρeθ z

z

1z‰0 ρ‰0|z

|=|z| = 1 z=ρeθðñρeθ=ρeθ0ðñe(θ´θ0)= 1ðñθ´θ0P2πZ

θ0 z θ0+ 2kπ,kPZ

2πăk+ 1

ðñk=E(´θ0+π

2π)

z‰0 (zz1)"(z) +(z1)2π zz1=ρeθρ1eθ1=ρρ1e(θ+θ1) (1 z )=(¯z)" ´(z)2π (´z)"π+(z)2π nĕ zPC zn= 1 ɍn 1 = 1 z eθ θP[0,2π[

θP[0,2π[

(eθ)n= 1ðñenθ= 1ðñnθP2πZ

ðñ DkPZ,nθ= 2kπ

ðñ DkPJ0,n´1K,nθ= 2kπ(θP[0,2π[,nθP[0,2nπ[)

ðñ DkPJ0,n´1K,θ=2kπ

n nĕ 1 e2kπ n ,kPJ0,n´1K n 2kπ n kPJ0,n´1K n [0,2π[ θÞÑeθ [0,2π[ [0,2π[ U n=! e2k n,kPJ0,n´1K) n U n=␣ω0,ω1,...ωn´1(=$

ω0,ω1,...ωn´1, ωnloomoon

=ω0, ω n+1loomoon =ω1,..., =␣ωk,kPZ( n 1Un n kPZωk ωk p,qPZ ωqp=ωpq=ωpq=ωpq 1

OxUn zP

U n,¯zn= z n=¯1 = 1 Un zÞÑ ´z n (´z)n= (´1)nzn=zn= 1 n (´z)n=´zn=´1 U U kPZ ωk=e2kπ n pPN

0+ωp

1+¨¨¨+ωpn pĕ nĕ 1

S=ω0p+ω1p+¨¨¨+ωnp=$

%nωp= 1

1´ωn

p

1´ωp= 0ωp‰1

p= 1ω0+ω1+¨¨¨+ωn= 0 nĕ

Z‰0

ρe n zPC z n=Znðñzn=zn1ðñ(z z 1) n = 1ðñ DuPUn,z=z1u 2

Z=a ɍa Z?

a´? aaą0? ´a

´aaă0

Z=b ɍb b

be 4 bą0 be 3π 4 bă0

Z=a+b ɍab z=x+y

z

2=Zðñz2=Z|z2|=Z

ðñ(x+y)2=a+bx2+y2=a

a 2+b2

ðñx2+ 2yx´y2=a+bx2+y2=ρ(ρ=a

a 2+b2) '''%x

2´y2=a

x

2+y2=ρ

2xy=bùñ$

'''%2x2=ρ+a

2y2=ρ´a

2xy=bùñ$

'''%x=˘b

ρ+a

2 y=˘b

ρ´a

2 (xy) =(b) 2 zÞÝÑaz2+bz+c

ɍabc a‰0

@zPCaz2+bz+c=a1z2+bz+c a=a1,b=b1,c=c1 @zPC,P(z) =a[ z+b 2a) 2

´b2´4ac

4a2] =a[ z+b 2a) 2 4a2] @zPC,P(z) =a( z+b

2a´δ

2a)( z+b

2a+δ

2a) z

1=´b+δ

2az2=´b´δ

2a

P´b

a c a @zPC,P(z) =az2+bz+c=a(z´z1)(z´z2) =az2´a(z1+z2)loooomoooon

´bz+az1z2loomoon

c ps Ŀ ŀ ∆PR ∆ě0,δ=? ∆ă0,δ=? P:zÞÑaz2+ 2b1z+c ∆ = 4(b12´ac) = 4∆1

´2b1˘2δ1

2a=´b1˘δ1

a u l C u= (un)nPN lv= (vn)nPN l1 λPC |u|= (|un|)nPN |l|

λu= (λun)nPN λl

u+v= (un+vn)nPN l+l1 uv= (unvn)nPN lˆl1 l‰0 1 u 1 u n) l un l |un´l| 0 u= (un)nPN lPC u l ¯u= ( u n)nPN (u) = ((un))nPN (u) = ((un))nPN ¯l (l) (l) nPN u n´¯l|=| u n´l|=|un´l|, u n)nPN¯l u+¯u 2 l+¯l 2 =l (u) =u´¯u

2l´¯l

2=l u= (un)nPN l (u) = ((un))nPN (u) = ((un))nPN (l) (l)

ĕ u

(xn)nPN(yn)nPN ab (xn+yn)nPN a+b (ρn)nPN(θn)nPN rα

θn α α

u= (un)nPN (xn)nPN(yn)nPN @nPN,un=xn+yn (x1n)nPN= (xφ(n))nPNαPR (y2n)nPN= (y1ψ(n))nPN= (yψ(φ(n)))nPNβPR (uψ˝φ(n))nPN α+β (un)nPNquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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