[PDF] Feuille 5 : Arithmétique Exercice 13 Démontrer que





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MULTIPLES DIVISEURS

https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19NombreEntierM.pdf



Exercices sur les nombres premiers EXERCICE 1 : Démontrer que

3 et. 8 sont premiers entre eux et divisent p2 − 1 donc p2 − 1 est divisible par 24. EXERCICE 3 : p > 3 est un nombre premier. 1. Quels sont les restes 



Représentation décimal binaire

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Nom : Classe Les caractères de divisibilité. Entraînement Savoir Nom : Classe Les caractères de divisibilité. Entraînement Savoir

Souligne les nombres divisibles par 8. 26 774. 70 800. 83 972. 58 576. 13 000. 9 Le plus grand nombre divisible par 8 : Le plus grand nombre divisible par 5 :



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Liste de critères de divisibilité - Wikipédia

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divisible par 8. Si p est impair alors p 1 est pair et c'est gagné. Quels sont les restes possibles dans la division du cube d'un nombre entier naturel par 7 ?



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8 : les seuls nombres divisibles par 8 seraient 80 et 88 là encore à rejeter. (b) Comme ce nombre se termine par un 5



Arithmétique dans Z

Exercice 4. Démontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n pair donner le reste de sa division par 8. Indication 



Arithmétique dans Z

Démontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est impair; dans le cas n pair donner le reste de sa division par 8. Indication ?. Correction ?.



n°4 page 36 a) 7 est un diviseur de 14. b) 45 est un multiple de 15. c

d) 0 est divisible par tout nombre entier non nul car 0 = 0×n pour tout nombre entier n. b) 112 = 14×8 = 7×2×8 = 7×16 donc 112 est divisible par 7.



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Un nombre entier est divisible par 2 : ? Quand son chiffre des unités est. 02



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Affirmation 2 : Si un nombre est multiple de 6 et de 9 Affirmation 3 : Le produit de deux nombres pairs consécutifs est divisible par 8.



Feuille 5 : Arithmétique

Exercice 13 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n pair donner le reste de sa division par 8.





Arithmétique dans Z 1 Divisibilité division euclidienne

reste de la division du nombre 96842 par chacun des nombres 256 et 375. Exercice 4 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans 



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1 mars 2012 4: le nombre formé par les deux chiffres doit être divisible par 4: seul 48 ... 8 : les seuls nombres divisibles par 8 seraient 80 et 88 ...



INF1130 SESSION H13 : SOLUTIONS du DEVOIR 2

Hypoth`ese d'induction : supposons que (2n + 1)2 ? 1 est divisible par 8. un nombre pair de bits `a '1' ; et Mn les mauvaises



Arithmétique

2) Si un nombre est divisible par 3 et par 9 alors il est divisible par 27. 8) Dans la division euclidienne de 229 par 12 le quotient est 18 et le ...



Critères de divisibilité et diviseurs - Les Maths à la maison

Pour chacun des nombres suivants indique si les nombres 2 3 5 9 ou 10 sont des diviseurs de ce nombre : a) 5 421 b) 9 540 Exercice 3 : 1) Le nombre 1 248 est-il un multiple de 2 ? 2) Le nombre 1 248 est-il divisble par 7 ? 3) Le nombre 1 248 est-il divisble par 4 ? 4) Le nombre 3 420 est-il divisible par 2 ? 5) 3 est-il un diviseur du



Les règles de divisibilité d’un nombre - Le petit roi

Un nombre est divisible par 2 si o les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 o la somme des chiffres est divisible par 3 o le dernier chiffre est 0 ou 5 o le dernier chiffre est 0 2 4 6 ou 8 Un nombre est divisible par 3 si o le dernier chiffre est 0 ou 5 o le dernier chiffre est 0 2 4 6 ou 8



Leçon - Critères de divisibilité - ac-lillefr

Ø Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités est divisible par 4 Pour savoir si 873 136 est divisible par 4 on regarde le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des unités 36 est divisible par 4 donc 873 136 est divisible par 4



Fiche n°3 COMPRENDRE ET UTILISER LA DIVISIBILITE DES ENTIERS

Les nombres pairs sont 3 564 4 850 et 8 730 car ils se terminent par 0 2 4 6 ou 8 Parmi ces nombres ceux qui sont divisibles par 5 sont 4 850 et 8 730 Comme 4+8+5+0=17 et 8+7+3+0=18 4 850 n’est pas divisible par 9 mais 8 730 est aussi divisible par 9 8 730 est donc le seul nombre pair divisible par 5 et par 9



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Règles de Divisibilité par 4 7 et 8 (A) Encerclez les nombres qui sont divisibles par les nombres spécifiés Divisible par 4? 879 532 329 137 297 385 123 255 264 748 656 776 664 899 602 133 269 460 764 746 843 886 508 230 Divisible par 7? 801 790 616 922 562 444 946 833 332 217 549 428 491 358 547 136 397 168 875 487 722 354 698 562

Quelle est la règle de divisibilité d’un nombre ?

Les règles de divisibilité d’un nombre Coche la bonne réponse : Un nombre est divisible par 2 si o le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6, ou 8. o la somme des chiffres est divisible par 3. o les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4. o le dernier chiffre est 0 ou 5.

Comment savoir si 0 est divisible par tous les nombres ?

0 est divisible par tous les nombres. Critère de divisibilité par 2 : si le nombre est pair. Cela signifie que le chiffre des unités doit être pair, c’est-à-dire 0, 2, 4, 6 ou 8 (par exemple, le chiffre des unités de 48 est 8). Exemple : 48 est une chiffre pair. Il est donc un multiple de 2.

Quels sont les critères de divisibilité et diviseurs ?

Critères de divisibilité et diviseurs Exercice 1 : Complètele tableau ci-dessous en indiquant si les nombres donnés sont divisibles par 2 ou 3 ou 5 ou 9 ou 10 1 2503 486 349 8 784 Divisible par 2 Divisible par 3 Divisible par 5 Divisible par 9 Divisible par 10 Exercice 2 :

Comment savoir si un nombre est un multiple de 8 ?

? Technique 1 : un nombre est un multiple de 8 si l’on obtient un nombre entier après trois divisions par 2. Les multiples de 2 sont forcément pairs, et donc ceux de 8 aussi. Exemple : 832 est un multiple de 8. 832 divisé par 8 est égal à 104. Exemple 2 : 666 n’est pas un multiple de 8.

Universit´eClaudeBernardLyon1UEFondam entauxdesMath´em atiquesI

Semestred'automne2016-2017

Feuille5:Arithm´eti que

Exercice1Montrerquepourtoutn2N:

1.n(n+1)( n+2)( n+3)e std ivisiblep ar24,

2.n(n+1)( n+2)( n+3)( n+4)e std ivisible par120.

Exercice2 D´eterminerlescouplesd'entiersnatu relsdepgc d35etppcm210. Exercice3D´eterminerlescouplesd'entiersnatu relsdepgcd 18etdesomme360.Demˆeme avecpgcd18 etprod uit6480.

Exercice4Calculerlepgcdde48et210,et de81et 237.Danschaque casexpr ime rl'id ent it´ede B´ezout .

Exercice5Calculerparl'algorithmed' Euclid elepgcdde18480et9828.End´eduireune ´ecriturede84 commecombinaison lin´eairede18480et9828. Exercice6Trouvertouteslessolu tionsdessyst`em essuivants dansZ 2 (a)58x+21y=1(b)14x+35y=21( c)637x+595y=29

Exercice7Notonsa=1 111111111etb=123456 789.

1.Cal culerlequotientetlere stedel adivisioneuclidienned eaparb.

2.Cal culerp=pgc d(a,b).

3.D´ eterminerdeuxentiersrelatifsuetvtelsqueau+bv=p.

Exercice9Combien15!admet-ilded ivi seursdansN?

Exercice10D´emontrerque,siaetbsontdesent ierspremi ersentreeux,ilenestd emˆemedesentiers a+betab. Exercice11Soienta,bdesentie rssup´erieursou´egaux`a1. Montrer: 1.(2 a 1)|(2 ab 1); 2.2 p

1pr emier)ppremier;

3.p gcd(2

a 1,2 b 1)=2 pgcd(a,b) 1. Exercice12Montrerquesinestunenti ernatur elsommededeuxcarr´e sd'entiersalorslere stedela divisioneuclidiennede npar4n' est jamais´egal`a3.

Exercice13D´emontrerquelenombre7

n +1estd ivisiblep ar8sinestimpair ;danslecasnpair,donner lerest edesadivisionpar8. Exercice14Trouverlerestedela divisi onpar13dunombre100 1000
Exercice15Trouvertouteslessolut ionsdusyst`emes uivantdansZ: n⌘13(m od19) n⌘6(m od12). 1 Exercice16SoitXl'ensembledesnombrespremiersde laforme4k+3aveck2N.

1.Mon trerqueXn'estpasvide.

2.Mon trerqueleproduitd enombresde laforme 4k+1e ste ncoredecet teforme.

3.On suppose queXestfinieton l'´ecrital orsX={p

1 ,...,p n

Soita=4p

1 p 2 ...p n

1.Mon trerparl'absurdeque aadmetundivis eurpre mierdelaforme4k+3.

4.Mon trerquececiestimpos sibleetd oncqueXestinfini.

Exercice17Soitn2N,n2.

1.Mon trerquen

2 ⌘1(m od8)sinestimpair.

2.Mon trerquen

2 ⌘0(m od8)oun 2 ⌘4(m od8)sinestpair.

3.Soi enta,b,ctroisentiersi mpairs.

i)D´ eterminerlerestemodulo8dea 2 +b 2 +c 2 etcelui de(a+b+c) 2 .End´eduirelerestemodulo

8de 2(ab+bc+ca).

ii)Existe- ilunentierm2Ntelquem 2 =ab+bc+ca?

Exercice18

Soita2Ntelquea

n +1s oit premier.M ontrerquenestdelafor men=2 k pourunent ier k2N.Qu epenserde laconjecture:2 2 n +1e stp remierpour toutentiern2N?

Exercice19

Soitpunnomb repremier.

1.Mon trerque

p i estdivisi bleparppourtouti2J1,p1K.

2.Mon trerparr´ecurencequ epourt outa2N

,l'entiera p aestdivis ibleparp.

Exercice20

1.Mon trerparr´ecurrenceq uepour toutn2Netk2N

ona: 2 2 n+k 1= 2 2 n 1 k1 Y i=0 2 2 n+i +1

2.On poseF

n =2 2 n +1.M ontr erquepourm6=n,F n etF m sontpremi ersentreeux.

3.E nd´edu irequ'ilyauneinfinit´ede nombrespremiers.

Exercice21Donnerlavaleuren basedix desnombressuivan ts:

1.(110101001)

2

2.(110101001)

3

3.(1367)

8

4.(1402)

5

Exercice22

Ecrirelesnombressui vants(donn ´esenbasedix)danslab asecibleindiqu´ee.

1.255e nbas edeux;

2.1907e nbas eseize ;

3.2016e nbas esept;

4.2000e nbas edeuxm ille.

2 Universit´eClaudeBernardLyon1UEFondam entauxdesMath´em atiquesI

Semestred'automne2016-2017

Feuille5:Arithm´eti que

Exercice1Montrerquepourtoutn2N:

1.n(n+1)( n+2)( n+3)e std ivisible par24,

2.n(n+1)( n+2)( n+3)( n+4)e std ivisible par120.

Solution

1.24= 2·3·4.De quatre nombrescons´ecuti fs,unestdivisible par2etunautrepar4,puisqueles

r´esidusmodulo4sont0,1,2et 3.Leurproduitestdoncd ivi siblepar8. Dem ˆem e,d etroisn omb res cons´ecutifs,unestdivisiblepartrois.C omme8et 3sontpremi ersentreeux,leproduitestd ivisib le par24.

2.120 =24·5.Les r´esid usmodulo5decinqnombrescon ´scutifssont0,1,2,3et 4.Il yenadon cunequi

estdivis ibleparcinq.Comme5et24sontprem iersen treeux,leprodu itdecinqnombr esc ons´ec uti fs estdivisi blepar120. Exercice2 D´eterminerlescouplesd'entiersnatu relsdepgc d35etppcm210.

Solution

Soientaetblesdeuxn ombres.Alorsa=35a

0 etb=35b 0 ,pgc d(a 0 ,b 0 )=1eta 0 b 0 210
35
=6=2·3.Alor son acom mesolutionpour( a 0 ,b 0 ):(1,6),(2,3),(3,2)et (6,1).Cequ idonnel essolutions (35,210),(70,105), (105,70)e t(210,35). Exercice3D´eterminerlescouplesd'entiersnatu relsdepgcd 18etdesomme360.Demˆeme avecpgcd18 etpro duit6480.

Solution

1.Soi entaetblesdeuxnom bres.Alorsa=18a

0 etb=18b 0 ,pgc d(a 0 ,b 0 )=1eta 0 +b 0 360
18 =20.I lfau t donc´ecri re20comesommededeuxentie rs premierse ntreeux.Ilsn epeuv entpasˆetredi visiblespar

2ou5, ceq uid onneles solutions( 1,19),(3,17),(7,13)et (9,11)pou r(a

0 ,b 0 )ou( b 0 ,a 0 ),soit( 18,342), (54,306),(126,234)et (162,198)pou r(a,b)ou( b,a).

2.Soi entaetblesdeuxn ombres.Alorsa=18a

0 etb=18 b 0 ,pgc d(a 0 ,b 0 )=1eta 0 b 0 =6480= 18 2

·4·5.

Alorsonacomme solu tion pour(a

0 ,b 0 )ou( b 0 ,a 0 ):(1,20)et (4,5),cequ idonnel essolutions (18,360), (72,90)pou r(a,b)ou( b,a).

Exercice4Calculerlepgcdde48et210,etd e81et237. Danschaquec asexpri mer l'ide nti t´edeB ´ezout.

Solution

1.On a210=48·4+18 ;48= 18·2+12 ;18= 12+6;12= 6·2.Ain sipgcd(210,48)=6.

Onremon te:6=1812=18 (4818·2)=18 ·348=( 21048·4)·348=210 ·348·13.

2.On a237=81·2+75 ;81= 75+6;75= 6·12+3 ;6= 3·2.Ain sipgcd(237,81)=3.

Onremon te:3=756·12=75 (8175)·12= 75·1381·12=( 23781·2)·1381·12=237 ·1381·38.

Exercice5Calculerparl'algorithmed' Euclid elepgcdde18480et9828.End´eduireune ´ecriturede84 commecombinaison lin´eairede18480et9828.

Solution

Ontrav ailleavecdesr´esidusdeval eurabsoluemini male.Ona18480 =9828·21176;9828=1176·8+420;

1176=420 ·384;420=84·5.D oncpgcd(18480,9828)=84. On rem onte:

84=420 ·31176=( 98281176·8)·31176=9828 ·31176·25=9828 ·3(9828·218480)·25=

18480·259828·47.

Exercice6 Trouvertouteslessolu tionsdessyst`em essuivants dansZ 2 (a)58x+21y=1(b)14 x+35y=21( c)637x+595y=29

Solution

1

1.On a58=21·35;21=5·4+1. Donc pgcd (58,21)=1 eti lya unesolu tion.On re mont e:

1=21 5·4=21 (21·358)·4=58 ·421·11.Les solution ssont(x,y)2{(4+21n,1158n):n2Z}.

2.On a35=7·5et 14=7·2.Ain sipgcd(35,14)=7 ;com me7|21il yaune solu tion .Endivisan tpar

7,le syst` emeest´equivalent`a2x+5y=3.Un esol utions ´evidenteest(4,1).Less olutions sontdonc

(x,y)2{(4+5 n,12n):n2Z}.

3.On a637=595+ 42;595 =42·14+7;42=7·6.Don cpgcd(637,595)=7 ;com me7-29il n'yap as

desolut ion.

Exercice7Notonsa=1111 111111etb=123456 789.

1.Cal culerlequotientetlere stedel adivisioneuclidienned eaparb.

2.Cal culerp=pgc d(a,b).

3.D´ eterminerdeuxentiersrelatifsuetvtelsqueau+bv=p.

Solution

1.10bb=1111 101.Donc1111111111 =123456789·9+10.

2.p=pgc d(1111111111,123456789)=pgcd( 123456789 ,10)= 1,pu isq ue123456789estdivisibleni

par2nip ar5.

3.On a1=10·12345679123456789=(1111111111 123456789·9)·12345679123456789

=1111 111111·12345679123456789·111111112.Onadonc u=12 345679etv=

111111112.

Solution

Ondiv isepar45:Lesyst`emees t´equ ival ent `a37 x+23y=1. Ona 37=23·29;23=9·2+5;9=5·21. Doncpgcd(37 ,23)=1 eti lya unesolu tion.On re mont e:

1=5·29=( 239·2)·29=23 ·29·5=23 ·2(23·237)·5= 37·523·8.Les soluti onssont

donc(x,y)2{(5+23n,837n):n2Z}.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
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