[PDF] 3. Nombres complexes Racines. Plan. 1. Définitions.

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1. D´eifinitions2. Forme polaire3. Forme exponentielle4. Racines

3. Nombres complexes

MTH1101

C. Audet, G. Jomphe, S. Le Digabel, T. Vidal

Polytechnique Montr´eal

A2022 v2

MTH1101: Calcul I1/23

1. D´eifinitions2. Forme polaire3. Forme exponentielle4. Racines

Plan

1. D´eifinitions

2. Forme polaire

3. Formule d'Euler et forme exponentielle

4. Racines d'un nombre complexe

MTH1101: Calcul I2/23

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1. D´eifinitions

2. Forme polaire

3. Formule d'Euler et forme exponentielle

4. Racines d'un nombre complexe

MTH1101: Calcul I3/23

1. D´eifinitions2. Forme polaire3. Forme exponentielle4. Racines

Classiification des nombres2.5.1 Classification des nombres

0,1,2...

N Z ...,-2,-1Q 12 ,34 ,...R ?2,πC ?¡1

3+4iH,O,...

où :

N=l"ensemble des entiers naturels

Z=l"ensemble des entiers relatifs

Q=l"ensemble des nombres rationnels : les nombres s"écrivant sous la forme p/q

R=l"ensemble des nombres réels

C=l"ensemble des nombres complexes :a+bi( perte de la relation d"ordre totale :<,>) H=l"ensemble des quaternions:a+bi+c j+d k(perte de la commutativité) O=l"ensemble des octonions (perte de l"associativité)

2.5.2 Nombre complexe

Définition 2.2Un nombre complexe, notéz, est une expression de la formez=x+i yoùxetysont réels et tel quei2=-1.

On écrit

x=Re(z),la partie réelle du nombre complexez, y=Im(z),la partie imaginaire dez. Le conjugué dez=x+i y, notézouz?, est définie parz=x-i y. Notons qu"un nombre complexez=x+i yest dit un nombre imaginaire pur lorsque la partie réelle xest nulle. Par exemple : i, -i et 0 sont des imaginaires purs.

N: Entiers naturels

Z: Entiers relatifs

Q: Nombres rationnels (s'´ecrivent sous la formep/q)

R: Nombres r´eels

C: Nombres complexesMTH1101: Calcul I4/23

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Nombre complexe

Un nomb recomplexe , not´ez∈C, est une expression de la forme z=a+ ib a,b∈R L'ensemble des nombres complexes est d´eifini par

C={a+ ib,a∈R,b∈R}

z=a+ ibest lafo rmealg ´ebriquede z

On ´ecrit :

1. D´eifinitions2. Forme polaire3. Forme exponentielle4. Racines

Application : Exemple 1

Trouver les racines de

x

2+x+ 1 = 0

Th´eor`eme fondamental de l'alg`ebre :Tout polynˆome de degr´e nposs`ede exactementnracines (r´eelles ou complexes), en tenant compte des multiplicit´es

MTH1101: Calcul I6/23

1. D´eifinitions2. Forme polaire3. Forme exponentielle4. Racines

Op´erations de base

´Egalit´e :a+ ib=c+ id⇐⇒a=cetb=d

Addition et soustraction :

(a+ ib) + (c+ id) = (a+c) + i(b+d) (a+ ib)-(c+ id) = (a-c) + i(b-d) Multiplication :(a+ ib)(c+ id) = (ac-bd) + i(ad+bc)

Division :

a+ ibc+ id=(a+ ib)(c-id)(c+ id)(c-id)=ac+bdc

2+d2+ i(bc-ad)c

2+d2 Exemple 2 :Mettre sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants : z

1=11 + i

z2=1-2i3 + i

MTH1101: Calcul I7/23

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Conjugu´e

Le conjugu ´e de z=a+ ib, not´ezouz∗, est d´eifini commez=a-ib

On a :

1±z2=z

1+z 2 1z2=z 1z 2

1/z2=z

1/z 2 n=z npour toutnMTH1101: Calcul I8/23

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Module

Le mo dule d ez=a+ ib, not´e|z|est d´eifini comme |z|=pa

2+b2∈R+

On a :

|z|=|z| zz=|z|2=a2+b2 |z1z2|=|z1||z2| =1|z| Remarque: Si le nombrezest r´eel (i.e.b= 0), alors son module

2MTH1101: Calcul I9/23

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1. D´eifinitions

2. Forme polaire

3. Formule d'Euler et forme exponentielle

4. Racines d'un nombre complexe

MTH1101: Calcul I10/23

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Plan complexe

Les nombres complexes peuvent ˆetre interpr´et´es g´eom´etriquement dans un plan en 2D :2.5.5Plan complexe (diagramme d"Ar gand-Cauchy) En 1806, alors qu"il tient une librairie à Paris, Jean-Robert Argand publie une interprétation

géométrique des nombres complexes comme points dans le plan qu"on appelle parfois plan d"Argand.Définition 2.3Le corps des nombres complexes, notéC, est définie par

C=Φ(x+i y):x,y?RΨ.

Le nombrer=px

2+y2s"appelle le module dez.

On écritr=|z|.

2.5.6

Pr opriétésdu module

P.1|z|=|z|

P.2zz=|z|2

P.3|z1z2|=|z1||z2|

P.4 ifiifiifi1z ifi ifiifi=1|z|Rem. Si le nombre z est réel alors son module est égal à sa valeur absolue. 34

MTH1101: Calcul I11/23

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Courbes et r´egions

La relation|z-z0|=ρrepr´esente un cercle de rayonρet

Solution.

Posons

4?1=z(icizest à déterminer)

ainsiz4=1 =1ei(0+2kπ)oùk?Z ?zk=1ei(2kπ)4 oùk=0,1,2,3.

Sous forme cartésienne, les racines sont :

z

0=1,z1=i,z2=-1,z3=-i

2.5.12

Courbes et région

La relation|z-z0|=ρreprésente la circonférence d"un cercle de rayonρ, centré au pointz0.•z

z0Im(z)Re(z)Preuve.

Soitz=x+i yetz0=x0+i y0.

Alors |z-z0|2=ρ2?? |(x-x0)+i(y-y0)|2=ρ2 ??(x-x0)2+(y-y0)2=ρ2

L"inégalité|z-z0|<ρreprésente l"intérieur du cercle ( un disque ouvert). Les relationsRe(z)=1et

Re(z)=2représentent des droites. Les inégalitésRe(z)>1etRe(z)>2représentent des demi-plans.

39
Les relationsRe(z) =csteetIm(z) =csterepr´esentent des droites demi-plans

MTH1101: Calcul I12/23

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Forme polaireAinsi :

- -z˝ b? - -z˝ =c?

En multipliant

c?par (-1), nous obtenons ifiifiifiz1+z2ifiifiifi - -z˝ - -z˝ - -z˝ par b?ifi ifiifiz1+z2ifiifiifi - -z˝ =R

En utilisant la relation (?), nous obtenons

2.5.8

F ormepolair e

Soit - -z˝

x=rcos(θ)Re(z)Im(z) •z=x+i y oe y=rsin(θ)r

Ainsi nous avons

z=x+iy =r cos(θ)+i r sin(θ) =r[cos(θ)+i sin(θ)] Note. Parfois on utilise la notationcis(θ)pour désignercos(θ)+i sin(θ). on écrit parfoisθ=Arg(z).

36z=x+ iy

=r(cosθ+ isinθ) cosθ=x/r sinθ=y/r rest lemo dulede z:r=|z|=px 2+y2

θestl'a rgumentde z:θ= arg(z)

(l'argument n'est pas unique : lesarg(z)difff`erent par des multiples de2π)MTH1101: Calcul I13/23

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Forme polaire : Propri´et´es

Avecz1=r1(cosθ1+ i sinθ1)etz2=r2(cosθ2+ i sinθ2), on a z

1z2=r1r2(cos(θ1+θ2) + isin(θ1+θ2))

z 1z 2=r1r

2(cos(θ1-θ2) + isin(θ1-θ2))pourz2̸= 0

arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) =θ1+θ2 arg(z1/z2) = arg(z1)-arg(z2) =θ1-θ2

Cas particuliers, avecz=r(cosθ+ isinθ):

1z =1r (cosθ-isinθ) z2=r2(cos2θ+ isin2θ) zn=rn(cosnθ+ isinnθ) (formule de de Moivre, prouv´ee plus loin avec la forme exponentielle)

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1. D´eifinitions

2. Forme polaire

3. Formule d'Euler et forme exponentielle

4. Racines d'un nombre complexe

MTH1101: Calcul I15/23

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Formule d'Euler et forme exponentielle (1/3)

Formule d'Euler: pour toutθ∈R,

e iθ= cosθ+ isinθ (preuve avec les s´eries enti`eres)

D'o`u la

fo rmeexp onentielle z=r(cosθ+ isinθ) =reiθ

Et doncz=re-iθ

|eiθ|= 1pour toutθ∈RMTH1101: Calcul I16/23

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Formule d'Euler et forme exponentielle (2/3)

On d´eduit de la formule d'Euler les expressions cosθ=eiθ+e-iθ2 sinθ=eiθ-e-iθ2iquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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