[PDF] Fonctions transcendantes 6 déc. 2012 Table

View - Download Fonctions transcendantes

Previous PDF

Next PDF

Fonctions transcendantes

lundi 26, mardi 27, mercredi 28 novembre, lundi 3, mardi 4, mercredi 5, jeudi 6 décembre 2012

Table des matières

1 Introduction1

2 Exponentielles, logarithmes, puissances, racines 2

2.1 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Exponentielle & logarithmes réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Puissances & racines entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Le nombreet les racines de l"unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Logarithme et argument complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Puissances complexes (dont réelles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.7 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Trigonométrie13

3.1 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1 Introduction

Les deux opérations fondamentales de l"algèbre (addition et multiplication) engendrent toute une classe de

fonctions d"arguments complexes, à l"instar deId,3Id2iId5,Id181,a b7!p2a3b2ab+ei3a42b5,

(u;v;w)7!(cos1)uv2w3, appeléesfonctions polynomiales. Sans l"addition, on obtient lesfonctions mo-

nomiales,commet7!t18,a7!p5a, ou(;)7!5242). Unpolynômeest ainsi une somme demonômes. Lorsque l"on s"amuse à mettre dans un polynôme desargumentsenexposant, à l"instar dex7!2xou

t7!tt, l"exposant peut alorsdépasser tout degré ...xé, ce qui est une des acceptions de latranscendance. C"est

pourquoi les fonctions rencontrées dans ce cours, toutes fondées sur l"exponentiellec7!ec, seront quali...ées de

transcendantes.

Quelques rappels fonctionnels.

SiPest une partie deC, une applicationPf!Cest dite paire si8p2P;p2P

8t2R; f(t) =f(t).

SiPest une partie deC, une applicationPf!Cest dite impaire si8p2P;p2P

8t2R; f(t) =f(t).

Une injectionf:A ,!Bpossède une réciproquef1: Imf!Atelle que8a2A,f1(f(a)) =a

8b2Imf; ff1(b)=b.

Une application strictement monotone est injective et sa réciproque est monotone de même sens.

Sifest une application strictement monotone dérivable, alorsf1est dérivable en les points oùf0ne

s"annule pas et on a en un tel pointf1(t) @@tf1(t) =1f0(f1(t)). 1

2 Exponentielles, logarithmes, puissances, racines

2.1 Exponentielle complexe

Caractère transcendant de l"exponentielle.

Si l"exponentielle était un polynômeanIdn+an1Idn1++a1Id+a0(où lesaisont des complexes avec a n6= 0) dériver donneraitnanIdn1++a1= exp0= exp =anIdn++a0, d"où en divisant parIdn l"égalité nanId+(n1)an1Id2++2a2Idn1+a1Idn=an+an1Id+a0Idnet un passage à la limite en1donnerait

0 =an, ce qui est absurde (on a supposéan6= 0).

Osons alors écrire l"exponentielle sous forme d"un polynôme "in...ni", mettonsexp =a0+a1Id+a2Id2+.

On a envie d"écrireexp0=a1+ 2a2Id+3a3Id2+puis d"identi...er les coe¢ cients, d"où un système in...ni

8 >:a 1=a0

2a2=a1

3a3=a2

. Puisquea0= exp0 = 1, on obtient8 >>>>>:a 0= 1 a 1= 1 a 2=12a

3=123a

4=123:4,

d"où8n2N; an=1n!(oùn! := 12 nse lit "factoriellen" (attention à0! = 1)). Cette heuristique1

motive la dé...nition suivante. Dé...nition.Soitcun complexe. On appelleexponentielledecle complexe e c:= 1 +c+c22+c33!+c44!+= limN!1N X n=0c nn!. L"applicationexponentielleest l"applicationexp :C!C a7!ea.

Théorème (admis).

La dé...nition précédente fait sens pour tout complexec. L"exponentielle est un morphisme de(C;+)sur(C;), au sens où

8a2C;8b2C; ea+b=eaeb,

8c2C; ec6= 0,

8"2C;92C; e=".

L"exponentielle est dérivable en tout complexe et exp

0= exp.

MNÉMO (pour la dérivée). Pourc2C, on a envie d"écrire2 exp

0c=@ec@c

@@c

1 +c+c22+c33!+c44!+

= 0 + 1 +

2c2+3c23!+4c34!+

= 1 +c+c22!+c33!+

=ec.1Art de trouver, de découvrir, souvent opposé à un exposé doctrinal -bien que ces deux aspects soient complémentaires.

2Malgré son aspect convainquant, ce qui suit n"est pas une démonstration : il faudrait pour cela d"une part donner du sens à la

somme in...nie et d"autre part justi...er que la dérivation est "in...niment" additive, ce qui ne sera pas fait dans ce cours.

2

Corollaire.On a les identités

e 0= 1,

8c2C; ec=1ec,

8a2C;8b2C; eab=eaeb,

8c2C;ec=ec,

82R;ei= 1,

8c2C;8k2Z;(ec)k=ekc,

8c2C;jecj=eRec.

Démonstration.

On spécialise l"égalité8a2C;8b2C; ea+b=eaebselona 0 b 0, ce qui donnee0+0=e0e0,i. e.e0= e02,i. e.e02 f0;1g; or l"exponentielle évite0, donc il ne reste quee0= 1. Soitc2C. On spécialise l"égalitéea+b=eaebselona c b c, ce qui donneecc=ecec,i. e.1 =ecec, i. e.ec=1ec. SoientaetbdansC. On aeab=ea+(b)=eaebdeuxième=pointea1eb=eaeb.

Soitc2C: on aec=1 +c+c22+c33!+c44!+

=1 +c+c22+c33!+c44!+(en admettant que le conjugué d"une somme "in...nie" soit la somme (in...nie) des conjugués de ses termes) = 1 +c+c22+c33!+c44!+ =ec.

Soit2R. On aei2=eiei=eiei2R=eiei=eii=e0= 1.

Soit de plusk2Z. Sikest positif, on a(ec)k=ececec|{z} kfacteurs=ekterm esz}|{c+c++c=ekc; on en déduit lorsque kest négatif (ec)kk0= (ec)jkjdeuxième=point1(ec)jkjtroisième=point1ejkjcdeuxième=pointejkjck0=ekc. Soitc2C. Puisqueec=eRec+iImc=eReceiImc, prendre le module donnejecj= eRec|{z} >0 eiImc |{z} =1=eRec.

2.2 Exponentielle & logarithmes réels

Soitaun réel. Vu la dé...nition deea= limN!1N X n=0a nn! |{z}

2Rcomme une limite de réels, il raisonnable de

croire queearestera dansR, ce que l"on admettra3. On peut alors a¢ rmer queexpstabiliseR(au sens où

8a2R;expa2R). Par ailleurs, puisqueexptransforme sommes en produits, on peut écrire

8a2R;exp0a=ea=e2a2=ea22>0,3Lorsqu"une partie deRest stable par passage à la limite, on dira qu"elle estfermée. On vient donc d"admettre queRest

fermé. 3

ce qui montre queexpcroît strictement surR. L"exponentielle induit donc une bijection deRsur son image

]lim

1exp;lim1exp[.

Dé...nition.On appellelogarithme4(naturelounépérien5) la réciproque deexpjR. On la note6 ln := h exp jRi 1.

Propriétés.

La fonctionlnest un morphisme strictement croissant deR+;sur(R;+), au sens où : ln :R+!R,

8a >0;8b >0; a < b=)lna

8a >0;8b >0;ln(ab) = lna+ lnb,

82R;9" >0; = ln".

On a les identités

ln1 = 0,

8a >0;ln1a=lna,

8a >0;8b >0;lnab= lnalnb,

8a >0;8k2Z;lnak=klna.

Démonstration.Toutes ces propriétés découlent de celles de l"exponentielle.

L"ensemble but delnest l"ensemble source de la fonctionexpjRdont elle est la réciproque, à savoirR.

L"ensemble de dé...nition delnest l"image]lim1exp;lim1exp[deexpjR: montrons qu"elle vautR+. En vertu de la dé...nition deexp, on peut écrire8a0; ea= 1 +a+a22!+a33!+ |{z}

01 +a, ce qui montre que

expId+1surR+, d"où en prenant la limite en1l"égalitélim1exp =1. Passant à l"inverse, on en déduit

0 = lim

11exp= lim1eId= lim1eId.

L"exponentielle croît strictement surR, donc sa réciproquelnégalement. Soienta >0etb >0. On aelna+lnb=elnaelnb=ab=eln(ab), d"où (par injectivité deexp)lna+lnb= lnab.

Soit2R. Posons":=e. Alorsln"= ln(exp) =h

lnexpjRi () = IdR() =.

On aln1 = lne0= ln(exp(0)) = Id(0) = 0.

Soita >0. Onelna=1elna=1a=eln1a, d"où (par injectivité deexp)lna= ln1a. Soienta >0etb >0. On alnab= lna1b= lna+ ln1b= lnalnb. Soienta >0etk2Z. On aeklna=elnak= (a)k=ak=eln(ak), d"où (par injectivité deexp) klna= lnak.

Exercice.Simpli...er poura >0réel

ln a42(1 +a)18= lnh a42(1 +a)18i = lna42+ ln (1 +a)18 = 42lna+ 18ln(a+ 1).

Dé...nition.4Du greclogos(rapport) etarithmos(nombre). Lelogarithmedésignait historiquement le rapport des vitesses parcourues par

deux mobiles dont l"un avance à vitesse constante et l"autre à une vitesse proportionnelle à la vitesse lui restant à parcourir.

5du nom de son inventeur JohnNapier(francisé enNeper) qui publia ses recherches sur le logarithme en 1614 dans laMiri...ci

logarithmorum canonis descriptio

6On trouvera la notationLogdans des ouvrages moins récents.

4 On appellebase des logarithmes népériensle nombre e:= exp1. lg a:=lnlna=: loga. Les applicationslg2etlg10s"appellent respectivement lelogarithme binaireet lelogarithme décimal.

Remarques.

La dernière propriété ci-dessus spécialisée selona es"écrit

8k2Z;lnek=k.

Il convient également de remarquer que le logarithme de baseeest le logarithme naturel : lg e= ln.

Propriétés.Soita >0.

L"applicationlgavéri...e les mêmes propriétés que celle delnénoncées ci-dessus (juste après la dé...nition de

ln).

On a de plus

8k2Z;lgaak=k.

(pour une démonstration, diviser parales identités connues7pourln).

Exercice.Simpli...er

lg

54lg1514=ln4ln5ln14ln15=ln4ln5ln4ln5=ln4ln5ln4ln5= 0.

Il convient de préciser la base où s"écrita. Appelons-lab(c"est un entier supérieur ou égal à2). On peut

donc écrire a=c0+c1b1+c2b2++cnbn a(b1) + (b1)b+ (b1)b2++ (b1)bn = (b1)1 +b+b2++bn b+b2+b3++bn+1

1bb2 bn

=bn+11 < b n+1, d"où par stricte croissance des logarithmeslgba < n+ 1. a0 + 0b+ 0b2++ 0bn1+ 1bn=bn, d"où (par croissance delgb)lgban.

Finalement, on a obtenu l"encadrementnlgba < n+1, ce qui équivaut (par dé...nition de la partie entière)

blgbac+ 1.7Fdans cette démonstration, on ne pourra pas réécrire ces identités en quanti...ant surapuisque ce dernier a été ...xé avant la

démonstration 5

2.3 Puissances & racines entières

Dé...nition.Soitn1un entier etzun complexe. Uneracinen-ièmedezest un complexertel que r n=z. On regarde dans cette partie le cas où lezde la dé...nition ci-dessus est unréel. Proposition / dé...nition (racines) (admise).Soitn2N.

1.La fonctionIdn:=1Idnest dé...nie surRet décroît strictement surR+,

(a)sinest pair, alorsIdnest paire et croît surR; (b)sinest impair, alorsIdnest impaire et décroît surR.

2.La fonctionIdnest dé...nie sur toutR;

(a)sinest impair, alorsIdnest impaire et croît strictement sur toutR; la réciproque deIdnest notéeR!R

a7!npaet est appelée "racinen-ième";

(b)sinest pair, alorsIdnest paire, décroît strictement surRet croît strictement surR+; la réciproque

deIdnjR+est notéeR+!R+ a7!npaet est appelée "racinen-ième". [dessin : graphes de

1Idet1Id2]

[dessin :graphes deId3,Id5,3pet5pavecId =1p] [dessin : graphes deId2,Id4,pet4pavecId]

À RETENIR : sirettsont deux réels POSITIFS et sin1est un entier, on a alors les équivalences

rest la racinen-ième det()rn=t.

En particulier, on a toujours

8a0;8n2N;npan=a=npan

Illustrons cela en démontrant les propriétés suivantes. Propriétés.Soienta0etb0des réels, soientp0etq0des entiers. On a les égalités suivantes : np0 = 0; np1 = 1;

1pa=a;

(ap)q=apq= (aq)p; ppab=ppappb; qpap=qpap; qpppa=pqpa=ppqpa.

Démonstration.

Puisque0a=0, la racinea-ième de0vaut0.

Puisque1a=1, la racinea-ième de1vaut1.

Puisquea1=a, la racine1-ième deavauta.

On revient à la dé...nition d"un exposant entier : (ap)q=qfacteursapz}|{ apap ap qcolonnesz}|{0 B BB@ a a a1 C CCA0 B BB@ a a a1 C

CCA 0

B BB@ a a a1 C CCA9 >>;plignes =anombre de facteursadans le tableau ci-dessus =apq. 6

On montrerait de même que(aq)p=aqp, d"où le résultat puisque les exposantspqetqpsont égaux.

On veut montrer que la racinep-ième deabvautppappb, ce qui revient à montrer que la puissancep-ième

de ce dernier vautab. Or cela est immédiat : ppappb p= ppapppbp=ab.

On veut montrer que la racineq-ième deapvautqpap, ce qui revient à montrer que la puissanceq-ième

de ce dernier vautap. Or cela est aisé en utilisant les points précédents :qpapq=qpaqp=ap.

On veut montrer que la racinepq-ième deavautqpppa, ce qui revient à montrer que la puissancepq-ième

de ce dernier vauta. Or cela est aisé en utilisant les points précédents : qpppa pq= qpppa qp= ( ppa)p=a. Puisquepetqcommutent, on en déduit l"autre égalité souhaitée :qpppa=pqpa=qppa=ppqpa.

Application.On peut simpli...er

3

2.4 Le nombreet les racines de l"unité

Cette partie s"intéresse aux antécédents de1par l"exponentielle. En un certain sens, le nombre2iles

engendre tous -et ce fait peut être pris comme unedé...nitiondu nombre. Ce dernier permettra de décrire

aisément les racines de l"unité. Théorème (dé...nition de) (admis).Il existe un unique réel >0tel que

8t2R;eit= 1()(t22Z).

Corollaire 1.Pour tout complexec, on a l"équivalence (ec= 1)()(9k2Z; c= 2ik).

Démonstration.On écritc=a+ibavecaetbréels.(=Soitk2Ztel quec= 2ik. On a alorsec=e2ik= 1par le théorème précédent.=)Supposonsec= 1. Alors1 =j1j=jecj=eRec=ea, d"oùa= 0; on en déduit1 =ec=eib, d"où

quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] la ressemblance arts plastiques

[PDF] préparation d'un salon professionnel

[PDF] comment organiser un salon professionnel pdf

[PDF] résoudre une équation dont l inconnue est une puissance

[PDF] retroplanning salon professionnel

[PDF] si c'est un homme résumé par chapitre

[PDF] retroplanning organisation salon

[PDF] si c'est un homme film

[PDF] si c'est un homme résumé court

[PDF] organisation d'un salon professionnel pdf

[PDF] si c'est un homme personnages

[PDF] checklist salon professionnel

[PDF] primo levi si c'est un homme fiche de lecture

[PDF] comment organiser un salon pdf

[PDF] primo levi si c'est un homme commentaire