[PDF] Chapitre 2 : Nombres complexes

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RacinescarréesCalcul:formealg ébrique etexponentiell eÉquationduseconddegr éÀvenir

Chapitre2:Nombresc ompl exes

RedaChhaibi

Bureau212-Bâtimen t1R2

reda.chhaibi@math.univ-toulouse.fr

Jeudi22Octobre2020

RacinescarréesCalcul:formealg ébrique etexponentiell eÉquationduseconddegr éÀvenir

CM13:Racines car réesd'unnombrecomplex e

But:donnerlesracine scarréesde!3+4ietrésoudre(dansC) l'équationdedegré2 z 2 !z+1!i=0. Plan: racinescarréesd'unnom brecomplexe, calculaveclaformea lgébriqueouav eclafo rmeexponentiell e, résoudreuneéquationduse conddegré. If lien avec la re 's obit 'de trinamesa b !4 a c I -4 C l -it -3+4 i RacinescarréesCalcul:formeal gébri queetexponentiel leÉquationduseconddegré Àvenir

1.Rac inescarrées

Soitxunnombr eréel.Lesracinescarréesdexsontlesnomb resy satisfaisanty 2 =x.

Six>0alorsxadmetdeuxracinesca rréesréelles:

xet! x.

Six=0alorsiln'yaque0.

Six<0alorsxn'admetpasderacineréelle!Mai sxadmetsdeux racinescomplexes: i !xet!i !x. V i' LES RAC ines aLADefinition Onapp elleracinecarréed'unnombrecomp lexeztoutnombrec omplexe !telque! 2 =z.

Remarque

Pourtoutent iern,ona ppe lleracinen-èmed'unnombrecom plexe z,tou tnombre!quisatis fait! n =z. UNE V RacinescarréesCalcul:formeal gébri queetexponentiel leÉquationduseconddegré Àvenir

Question1

Supposonsquelenombre1+5iestun eracinedez.Onpeuta!rmer que:

11!5iestau ssiuneracine dez.

2!1!5iestau ssiuneracine dez.

3!1+5iestau ssiuneracine dez.

4aucuneréponsen'estc orrecte.

It 5i 1 -52+2!5 i -24Hoi Se -24+10 i 'II 11 8) 2 =ti 82
=1!8 z RacinescarréesCalcul:formeal gébri queetexponentiel leÉquationduseconddegré Àvenir

Théorème3

Pourtoutz#C

sontopposées l'unedel'autre:!et!!.

Démonstration.

Démonstration1:

aveclaforme algébri que

Démonstration2:

aveclaformee xponent ielle

Remarque

Siz=0al orslaseuleraci necarr éeest0.

RacinescarréesCalcul:formeal gébri queetexponentiel leÉquationduseconddegré Àvenir

2.Calc ul:formealgébri que ouexponentielle

Bilan:Soi tz#C.Nou scherchons uneracinecarrée!="+i#telque 2 =z.L'autreracinecarréesera!!.

Méthode1:

Résoudrelesystème:

2 2 =|z| 2 2 =Re(z)

2"#=Im(z).

Méthode2:

1Mettrezsousforme

exponentielle: z=|z|e i$

2Onaa lors!=

|z|e i 2 RacinescarréesCalcul:formeal gébri queetexponentiel leÉquationduseconddegré Àvenir

Question2

Choisissezlabonneréponse:

1Uneracine carrée de5e

i 7 est25e i 14

2Uneracine carréede 5e

i 7 est25e i 7

3Uneracine carréede 5e

i 7 est25e i 2% 7

4Uneracine carréede 5e

i 7 est 5e i 15% 14

5Uneracine carréede 5e

i 7 est 5e i 2% 7

6Uneracine carréede 5e

i 7 est 5e !i 14

7Aucunedesréponsespr écédente s.

-'i' 'II -0-8 .iI$ -Ya RacinescarréesCalcul:formeal gébri queetexponentiel leÉquationduseconddegré Àvenir

Exercice11

1Calculezlesracines carréesde z

2 =3+2ietde z 4 =1!7i.

2Calculerlesracines carréesde z

1 =1!ietde z 3 =5 3+5i.

Fornes

trigo non accessible #my teeth ode I f =AtiB Lz= 8- Question3

Choisissezlabonneréponse:

1Lesracinesc arréesdezsontz

1 etz 2

2Lesracinesc arréesdezsontz

1 etz 3

3Lesracinesc arréesdezsontz

1 etz 4

4Lesracinesc arréesdezsontz

2 etz 3

5Lesracinesc arréesdezsontz

2 etz 4

6Lesracinesc arréesdezsontz

3 etz 4 i 1 z 1 z 3 z z 4 z 2 =-Zza RacinescarréesCalcul:formealg ébrique etexponentiell eÉquationduseconddegr éÀvenir

3.Éq uationduseconddegré

Nouscherch onsàrésoudrel'équationsuiv ant e: (E)az 2 +bz+c=0, poura,b,c#Ceta%=0. RacinescarréesCalcul:formealg ébrique etexponentiell eÉquationduseconddegr éÀvenir

Proposition16.

Appelons!:=b

2 !4aclediscriminantdel'éq uation,et!et!!les deuxracinesc arréesde!.Alors,

1si!=0,l' équation(E)n'aqu'uneseulesol utionz

0 b 2a

2si!%=0,l' équation(E)adeuxsolutions(rac ines)dis tin ctesqui

sont z 1 !b+! 2a etz 2 !b!! 2a Aina O tzba Z g St dans Q= =(Itza )tftba Cz -a) Lz -22 ="quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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