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SECOND DEGRE (Partie 2)

Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ? par.



Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2

Racines : Une racine réelle dite "double" : x1 = ? b. 2a . Factorisation : Pour tout x ax2 +bx+c = a(x?x1)2. Signe : ax2 +bx+ 



Chapitre 3 - Racines dun polynôme

Exercice 3.1 Trouver un polynôme A 2 R[X] de degré inférieur ou égal `a trois tel que A(0) = 0 et A(1) = A0(1) = A00(1) = 2. 3.2 Racines ordre d'une racine.



FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2)

b) Factoriser f. a) On peut conjecturer que 1 est racine de la fonction polynôme f. En effet (1) = 2 × 



FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3

( ) = 2 ? +5 ?1 est une fonction polynôme de degré 5. et = appelées les racines de la fonction polynôme f. Méthode : Étudier le signe d'un ...



Polynômes et nombres complexes

les polynômes de degré 2 sans racines réelles. Définition 5 (Racine multiple). Soit P un polynôme. Le réel ? est une racine de multi-.



Exercices avec correction mathématiqes 1ère S - racines dun

Racines d'un polynôme de degré 2 - http://www.toupty.com Classe de 1èreS. Corrigé de l'exercice 1. Déterminer les racines des polynômes : P (x)=2x2 + 5x.



Analyse Numérique

Exercice 1.2 Calculer les racines de l'équation x2 + 111 11x + 1



Trinômes du second degré

Les solutions de l'équation ax² + bx + c = 0 sont appelées racines du trinôme. Théorème 2 (factorisation). On considère le trinôme ax² + bx + c (avec a ? 0) et 



Polynômes

fondamental de l'algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes Pour X4 ? 3X3 + X + 1 divisé par X2 + 2 on trouve un quotient égal à X2 ...



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Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c Exemple : L'équation 3x2 ? 6x ? 2 = 0 est une équation du second degré



[PDF] FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 - maths et tiques

On considère la fonction définie sur ? par ( ) = 2 +4 ?6 a) Conjecturer une racine de la fonction polynôme et vérifier par calcul b) Factoriser  



[PDF] 2 Factorisation racines et signe du trinôme - Xm1 Math

On appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f(x) Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 +3x?5 car 2(1)2 +3(1)?5 = 0



[PDF] Chapitre 3 - Racines dun polynôme

Exercice 3 1 Trouver un polynôme A 2 R[X] de degré inférieur ou égal `a trois tel que A(0) = 0 et A(1) = A0(1) = A00(1) = 2 3 2 Racines ordre d'une racine



[PDF] Comment calcule-t-on les racine(s) dun polynôme du second degré

Soit P un polynôme de degré 2 s'écrivant sous la forme P(x) = ax2 + bx + c Discriminant Racine(s) réelle(s) Signe de P Factorisation de P ? = b2



[PDF] Le second degré - Lycée dAdultes

Théorème 2 : Le nombre de racines du trinôme du second degré dépend du signe du discriminant ? = b2 ? 4ac 1



[PDF] racines dun polynôme du second degré - Toupty

Racines d'un polynôme de degré 2 - http://www toupty com Classe de 1èreS Corrigé de l'exercice 1 Déterminer les racines des polynômes : P (x)=2x2 + 5x



[PDF] POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ

Exercice 8 Déterminer les racines et la forme factorisée éventuelles des fonctions des exercices 1 et 2 3 3 Signe d'un trinôme Une fois que l'on a déterminé 



Les polynômes du second degré - Méthode Maths

Les polynômes du second degré sont surtout intéressants à étudier car on peut calculer leur sommet leurs variations leurs racines leurs signes etc d'une 



[PDF] racinespdf - Mathématiques

Racines des polynômes `a une indéterminée Relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme Exemples et applications

  • Comment déterminer les racines d'un polynôme de degré 2 ?

    Recherche de racine(s) et signe d'un polynôme : Un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c admet au plus deux racines. Le nombre exact de ses racines est déterminé par le signe d'un expression notée ? qu'on appelle le discriminant. ? = b² - 4ac.

  • Comment trouver x1 et x2 avec Delta ?

    Propriété 2 : Si l'équation admet deux racines x1 et x2 (donc son discriminant ? = 0), alors : P(x) = a(x - x1)(x - x2).

  • Comment déterminer les racines des polynômes ?

    Comment calculer une racine d'un polynôme ? Le principe général de calcul de racine est d'évaluer les solutions de l'équation polynome = 0 en fonction de la variable étudiée (où la courbe croise l'axe y=0 zéro). Le calcul de racines de polynôme passe généralement par le calcul de son discriminant.
  • Trouver les racines d'un trinôme du second degré, signifie résoudre l'équation ax² + bx + c = 0. Pour cela, dans le cas général, il faut d'abord calculer le discriminant ? (delta), donné par la formule : ? = b² - 4ac.
Polynômes

Polynômes

Vidéo"partie 1. Définitions

Vidéo"partie 2. Arithmétique des polynômes Vidéo"partie 3. Racine d"un polynôme, factorisation

Vidéo"partie 4. Fractions rationnelles

Fiche d"exercices‡Polynômes

Fiche d"exercices‡Fractions rationnelles

MotivationLes polynômes sont des objets très simples mais aux propriétés extrêmement riches. Vous savez déjà résoudre les

équations de degré2:aX2+bX+c=0. Savez-vous que la résolution des équations de degré3,aX3+bX2+cX+d=0,

a fait l"objet de luttes acharnées dans l"Italie duXVIesiècle? Un concours était organisé avec un prix pour chacune de

trente équations de degré3à résoudre. Un jeune italien, Tartaglia, trouve la formule générale des solutions et résout

les trente équations en une seule nuit! Cette méthode que Tartaglia voulait garder secrète sera quand même publiée

quelques années plus tard comme la " méthode de Cardan ».

Dans ce chapitre, après quelques définitions des concepts de base, nous allons étudier l"arithmétique des polynômes.

Il y a une grande analogie entre l"arithmétique des polynômes et celles des entiers. On continue avec un théorème

fondamental de l"algèbre : " Tout polynôme de degrénadmetnracines complexes. » On termine avec les fractions

rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Dans ce chapitreKdésignera l"un des corpsQ,RouC.

1. Définitions

1.1. DéfinitionsDéfinition 1.

Unpolynômeà coefficients dansKest une expression de la forme

P(X) =anXn+an1Xn1++a2X2+a1X+a0,

avecn2Neta0,a1,...,an2K.

L"ensemble des polynômes est notéK[X].

Lesaisont appelés lescoefficientsdu polynôme. Si tous les coefficientsaisont nuls,Pest appelé lepolynôme nul, il est noté 0.

On appelle ledegrédePle plus grand entieritel queai6=0; on le notedegP. Pour le degré du polynôme nul

on pose par convention deg(0) =1.

Un polynôme de la formeP=a0aveca02Kest appelé unpolynôme constant. Sia06=0, son degré est 0.Exemple 1.

X35X+34

est un polynôme de degré 3.

Xn+1 est un polynôme de degrén.

POLYNÔMES1. DÉFINITIONS2

2 est un polynôme constant, de degré 0.

1.2. Opérations sur les polynômes

Égalité.SoientP=anXn+an1Xn1++a1X+a0etQ=bnXn+bn1Xn1++b1X+b0deux polynômes à coefficients dansK.

P=Q() 8i ai=bi

et on dit quePetQsont égaux.

On définit :

P+Q= (an+bn)Xn+(an1+bn1)Xn1++(a1+b1)X+(a0+b0)

Multiplication.

SoientP=anXn+an1Xn1++a1X+a0etQ=bmXm+bm1Xm1++b1X+b0. On définit

PQ=crXr+cr1Xr1++c1X+c0

avecr=n+metck=X i+j=ka ibjpourk2 f0,...,rg. Multiplication par un scalaire.Si2KalorsPest le polynôme dont lei-ème coefficient estai.

Exemple 2.

SoientP=aX3+bX2+cX+detQ=X2+X+

. AlorsP+Q=aX3+ (b+)X2+ (c+)X+ (d+

PQ= (a)X5+ (a+b)X4+ (a

+b+c)X3+ (b +c+d)X2+ (c +d)X+d . EnfinP=Qsi et seulement sia=0,b=,c=etd=

La multiplication par un scalairePéquivaut à multiplier le polynôme constantpar le polynômeP.

L"addition et la multiplication se comportent sans problème :Proposition 1.

Pour P,Q,R2K[X]alors

0+P=P, P+Q=Q+P,(P+Q)+R=P+(Q+R);

1P=P, PQ=QP,(PQ)R=P(QR);

P(Q+R) =PQ+PR.Pour le degré il faut faire attention :

Proposition 2.

Soient P et Q deux polynômes à coefficients dansK.deg(PQ) =degP+degQdeg(P+Q)6max(degP,degQ)On noteRn[X] =P2R[X]jdegP6n. SiP,Q2Rn[X]alorsP+Q2Rn[X].

1.3. Vocabulaire

Complétons les définitions sur les polynômes.Définition 2. Les polynômes comportant un seul terme non nul (du typeakXk) sont appelésmonômes. SoitP=anXn+an1Xn1++a1X+a0,un polynôme avecan6=0. On appelleterme dominantle monôme anXn. Le coefficientanest appelé lecoefficient dominantdeP. Si le coefficient dominant est 1, on dit quePest unpolynôme unitaire.Exemple 3. P (X) = (X1)(Xn+Xn1++X+1). On développe cette expression :P(X) =Xn+1+Xn++X2+XXn+ Xn1++X+1=Xn+11.P(X)est donc un polynôme de degrén+1, il est unitaire et est somme de deux monômes :Xn+1et1.

POLYNÔMES2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES3

Remarque.

Tout polynôme est donc une somme finie de monômes.Mini-exercices.

1.SoitP(X) =3X32,Q(X) =X2+X1,R(X) =aX+b. CalculerP+Q,PQ,(P+Q)RetPQR. Trouver

aetbafin que le degré dePQRsoit le plus petit possible. 2.

Calculer (X+1)5(X1)5.

3. Déterminer le degré de (X2+X+1)naX2nbX2n1en fonction dea,b. 4. Montrer que sidegP6=degQalorsdeg(P+Q) =max(degP,degQ). Donner un contre-exemple dans le cas où degP=degQ. 5. Montrer que si P(X) =Xn+an1Xn1+alors le coefficient devantXn1deP(Xan1n )est nul.2. Arithmétique des polynômes

Il existe de grandes similitudes entre l"arithmétique dansZet l"arithmétique dansK[X]. Cela nous permet d"aller

assez vite et d"omettre certaines preuves.

2.1. Division euclidienneDéfinition 3.

SoientA,B2K[X], on dit queBdiviseAs"il existeQ2K[X]tel queA=BQ. On note alorsBjA.On dit aussi queAest multiple deBou queAest divisible parB.

Outre les propriétés évidentes commeAjA, 1jAetAj0 nous avons :Proposition 3.

Soient A,B,C2K[X].

1.

Si A jB et BjA, alors il existe2Ktel que A=B.

2.

Si A jB et BjC alors AjC.

3.

Si C jA et CjB alors Cj(AU+BV), pour tout U,V2K[X].Théorème 1(Division euclidienne des polynômes).

Soient A,B2K[X], avec B6=0, alors il existe un unique polynôme Q et il existe un unique polynôme R tels que :A=BQ+R etdegR Notez que la condition degREnfinR=0 si et seulement siBjA.

Démonstration.

Unicité.

SiA=BQ+RetA=BQ0+R0, alorsB(QQ0) =R0R. Ordeg(R0R)Q=Q0, d"où aussiR=R0. Existence.On montre l"existence par récurrence sur le degré deA. SidegA=0etdegB>0, alorsAest une constante, on poseQ=0etR=A. SidegA=0etdegB=0, on pose

Q=A=BetR=0.

On suppose l"existence vraie lorsquedegA6n1. SoitA=anXn++a0un polynôme de degrén(an6=0). Soit

B=bmXm++b0avecbm6=0. Sin

Sin>mon écritA=Banb

mXnm+A1avecdegA16n1. On applique l"hypothèse de récurrence àA1: il existe Q1,R12K[X]tels queA1=BQ1+R1et degR1DoncQ=anb

mXnm+Q1etR=R1conviennent.

POLYNÔMES2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES4Exemple 4.On pose une division de polynômes comme on pose une division euclidienne de deux entiers. Par exemple si

A=2X4X32X2+3X1etB=X2X+1. Alors on trouveQ=2X2+X3etR=X+2. On n"oublie pas de vérifier qu"effectivementA=BQ+R.2X4X32X2+3X1X

2X+12X2+X32X42X3+2X2

X

34X2+3X1X

3X2+X

3X2+2X13X2+3X3

X+2Exemple 5.

PourX43X3+X+1 divisé parX2+2 on trouve un quotient égal àX23X2 et un reste égale à 7X+5.X

43X3+X+1X

2+2X 23X2X
4+2X2

3X32X2+X+13X36X

2X2+7X+12X24

7X+52.2. pgcd

Proposition 4.

SoientA,B2K[X], avecA6=0ouB6=0. Il existe un unique polynôme unitaire de plus grand degré qui divise à la fois

A et B.Cet unique polynôme est appelé lepgcd(plus grand commun diviseur) deAetBque l"on note pgcd(A,B).

Remarque.

pgcd(A,B)est un polynôme unitaire.

SiAjBetA6=0, pgcd(A,B) =1

A, oùest le coefficient dominant deA.

Pour tout2K, pgcd(A,B) =pgcd(A,B).

Comme pour les entiers : siA=BQ+Ralors pgcd(A,B) =pgcd(B,R). C"est ce qui justifie l"algorithme d"Euclide.

Algorithme d"Euclide.

SoientAetBdes polynômes,B6=0.

On calcule les divisions euclidiennes successives,

POLYNÔMES2. ARITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES5

A=BQ1+R1degR1

B=R1Q2+R2degR2 R

1=R2Q3+R3degR3 R k2=Rk1Qk+RkdegRkk1=RkQk+1Le degré du reste diminue à chaque division. On arrête l"algorithme lorsque le reste est nul. Le pgcd est le dernier

reste non nulRk(rendu unitaire).

Exemple 6.

Calculons le pgcd deA=X41 etB=X31. On applique l"algorithme d"Euclide : X

41= (X31)X+X1

X

31= (X1)(X2+X+1)+0

Le pgcd est le dernier reste non nul, donc pgcd(X41,X31) =X1.

Exemple 7.

Calculons le pgcd deA=X5+X4+2X3+X2+X+2 etB=X4+2X3+X24. X

5+X4+2X3+X2+X+2= (X4+2X3+X24)(X1)+3X3+2X2+5X2

X

4+2X3+X24= (3X3+2X2+5X2)19

(3X+4)149 (X2+X+2)

3X3+2X2+5X2= (X2+X+2)(3X1)+0

Ainsi pgcd(A,B) =X2+X+2.Définition 4.

SoientA,B2K[X]. On dit queAetBsontpremiers entre euxsi pgcd(A,B) =1.

PourA,Bquelconques on peut se ramener à des polynômes premiers entre eux : sipgcd(A,B) =DalorsAetB

s"écrivent :A=DA0,B=DB0avec pgcd(A0,B0) =1.

2.3. Théorème de BézoutThéorème 2(Théorème de Bézout).

SoientA,B2K[X]des polynômes avecA6=0ouB6=0. On noteD=pgcd(A,B). Il existe deux polynômesU,V2K[X]

tels que AU+BV=D.

Ce théorème découle de l"algorithme d"Euclide et plus spécialement de sa remontée comme on le voit sur l"exemple

suivant.

Exemple 8.

Nous avons calculépgcd(X41,X31) =X1. Nous remontons l"algorithme d"Euclide, ici il n"y avait qu"une ligne :

X41= (X31)X+X1, pour en déduireX1= (X41)1+ (X31)(X). DoncU=1etV=X conviennent.

Exemple 9.

PourA=X5+X4+2X3+X2+X+2etB=X4+2X3+X24nous avions trouvéD=pgcd(A,B) =X2+X+2. En

partant de l"avant dernière ligne de l"algorithme d"Euclide on a d"abord :B= (3X3+2X2+5X2)19(3X+4)149

D donc 149

D=B(3X3+2X2+5X2)19

(3X+4).

La ligne au-dessus dans l"algorithme d"Euclide était :A=B(X1)+3X3+2X2+5X2. On substitue le reste pour

obtenir : 149

D=BAB(X1)19

(3X+4).

On en déduit

149
D=A19 (3X+4)+B1+(X1)19 (3X+4)

Donc en posantU=114

(3X+4)etV=114

9+(X1)(3X+4)=114

(3X2+X+5)on aAU+BV=D. Le corollaire suivant s"appelle aussi le théorème de Bézout.

POLYNÔMES3. RACINE D"UN POLYNÔME,FACTORISATION6Corollaire 1.SoientAetBdeux polynômes.AetBsont premiers entre eux si et seulement s"il existe deux polynômesUetVtels que

AU+BV=1.Corollaire 2.

Soient A,B,C2K[X]avec A6=0ou B6=0. Si CjA et CjB alors Cjpgcd(A,B).Corollaire 3(Lemme de Gauss). Soient A,B,C2K[X]. Si AjBC etpgcd(A,B) =1alors AjC.2.4. ppcm

Proposition 5.

SoientA,B2K[X]des polynômes non nuls, alors il existe un unique polynôme unitaireMde plus petit degré tel que

AjM et BjM.Cet unique polynôme est appelé leppcm(plus petit commun multiple) deAetBqu"on note ppcm(A,B).

Exemple 10.

De plus le ppcm est aussi le plus petit au sens de la divisibilité :Proposition 6. SoientA,B2K[X]des polynômes non nuls etM=ppcm(A,B). SiC2K[X]est un polynôme tel queAjCetBjC, alors MjC.Mini-exercices. 1. T rouverles diviseurs de X4+2X2+1 dansR[X], puis dansC[X]. 2.

Montrer que X1jXn1 (pourn>1).

3. Calculer les divisions euclidiennes deAparBavecA=X41,B=X31. PuisA=4X3+2X2X5et B=X2+X;A=2X49X3+18X221X+2 etB=X23X+1;A=X52X4+6X3etB=2X3+1. 4. Déterminer le pgcd deA=X5+X3+X2+1etB=2X3+3X2+2X+3. Trouver les coefficients de BézoutU,V.

Mêmes questions avecA=X51 etB=X4+X+1.

5.

Montrer que si AU+BV=1 avec degU

3.1. Racines d"un polynômeDéfinition 5.

SoitP=anXn+an1Xn1++a1X+a02K[X]. Pour un élémentx2K, on noteP(x) =anxn++a1x+a0. On associe ainsi au polynômePunefonction polynôme(que l"on note encoreP)

P:K!K,x7!P(x) =anxn++a1x+a0.Définition 6.

SoitP2K[X]et2K. On dit queest uneracine(ou unzéro) dePsiP() =0.Proposition 7.

P() =0()Xdivise P

POLYNÔMES3. RACINE D"UN POLYNÔME,FACTORISATION7

Démonstration.Lorsque l"on écrit la division euclidienne dePparXon obtientP=Q(X)+RoùRest une

constante car degR

pasP. Lorsquek=1 on parle d"uneracine simple, lorsquek=2 d"uneracine double, etc.On dit aussi queest uneracine d"ordrek.Proposition 8.

Il y a équivalence entre :

(i)est une racine de multiplicité k de P. (ii)

Il existe Q 2K[X]tel que P= (X)kQ,avec Q()6=0.

(iii) P () =P0() ==P(k1)() =0et P(k)()6=0.La preuve est laissée en exercice.

Remarque.

Par analogie avec la dérivée d"une fonction, siP(X) =a0+a1X++anXn2K[X]alors le polynômeP0(X) =

a1+2a2X++nanXn1est lepolynôme dérivédeP.

3.2. Théorème de d"Alembert-Gauss

Passons à un résultat essentiel de ce chapitre :Théorème 3(Théorème de d"Alembert-Gauss).

Tout polynôme à coefficients complexes de degrén>1a au moins une racine dansC. Il admet exactementnracines si

on compte chaque racine avec multiplicité.Nous admettons ce théorème.

Exemple 11.

SoitP(X) =aX2+bX+cun polynôme de degré 2 à coefficients réels :a,b,c2Reta6=0. Si=b24ac>0 alorsPadmet 2 racines réelles distinctesb+p

2aetbp

2a. Si<0 alorsPadmet 2 racines complexes distinctesb+ipjj2aetbipjj2a.

Si=0 alorsPadmet une racine réelle doubleb2a.

En tenant compte des multiplicités on a donc toujours exactement 2 racines.

Exemple 12.

P(X) =Xn1 admetnracines distinctes.

Sachant quePest de degrénalors par le théorème de d"Alembert-Gauss on sait qu"il admetnracines comptées avec

multiplicité. Il s"agit donc maintenant de montrer que ce sont des racines simples. Supposons -par l"absurde- que

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