SECOND DEGRE (Partie 2)
Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ? par.
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2
Racines : Une racine réelle dite "double" : x1 = ? b. 2a . Factorisation : Pour tout x ax2 +bx+c = a(x?x1)2. Signe : ax2 +bx+
Chapitre 3 - Racines dun polynôme
Exercice 3.1 Trouver un polynôme A 2 R[X] de degré inférieur ou égal `a trois tel que A(0) = 0 et A(1) = A0(1) = A00(1) = 2. 3.2 Racines ordre d'une racine.
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2)
b) Factoriser f. a) On peut conjecturer que 1 est racine de la fonction polynôme f. En effet (1) = 2 ×
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3
( ) = 2 ? +5 ?1 est une fonction polynôme de degré 5. et = appelées les racines de la fonction polynôme f. Méthode : Étudier le signe d'un ...
Polynômes et nombres complexes
les polynômes de degré 2 sans racines réelles. Définition 5 (Racine multiple). Soit P un polynôme. Le réel ? est une racine de multi-.
Exercices avec correction mathématiqes 1ère S - racines dun
Racines d'un polynôme de degré 2 - http://www.toupty.com Classe de 1èreS. Corrigé de l'exercice 1. Déterminer les racines des polynômes : P (x)=2x2 + 5x.
Analyse Numérique
Exercice 1.2 Calculer les racines de l'équation x2 + 111 11x + 1
Trinômes du second degré
Les solutions de l'équation ax² + bx + c = 0 sont appelées racines du trinôme. Théorème 2 (factorisation). On considère le trinôme ax² + bx + c (avec a ? 0) et
Polynômes
fondamental de l'algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes Pour X4 ? 3X3 + X + 1 divisé par X2 + 2 on trouve un quotient égal à X2 ...
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Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c Exemple : L'équation 3x2 ? 6x ? 2 = 0 est une équation du second degré
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On considère la fonction définie sur ? par ( ) = 2 +4 ?6 a) Conjecturer une racine de la fonction polynôme et vérifier par calcul b) Factoriser
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On appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f(x) Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 +3x?5 car 2(1)2 +3(1)?5 = 0
[PDF] Chapitre 3 - Racines dun polynôme
Exercice 3 1 Trouver un polynôme A 2 R[X] de degré inférieur ou égal `a trois tel que A(0) = 0 et A(1) = A0(1) = A00(1) = 2 3 2 Racines ordre d'une racine
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Soit P un polynôme de degré 2 s'écrivant sous la forme P(x) = ax2 + bx + c Discriminant Racine(s) réelle(s) Signe de P Factorisation de P ? = b2
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Théorème 2 : Le nombre de racines du trinôme du second degré dépend du signe du discriminant ? = b2 ? 4ac 1
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Racines d'un polynôme de degré 2 - http://www toupty com Classe de 1èreS Corrigé de l'exercice 1 Déterminer les racines des polynômes : P (x)=2x2 + 5x
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Exercice 8 Déterminer les racines et la forme factorisée éventuelles des fonctions des exercices 1 et 2 3 3 Signe d'un trinôme Une fois que l'on a déterminé
Les polynômes du second degré - Méthode Maths
Les polynômes du second degré sont surtout intéressants à étudier car on peut calculer leur sommet leurs variations leurs racines leurs signes etc d'une
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Racines des polynômes `a une indéterminée Relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme Exemples et applications
Comment déterminer les racines d'un polynôme de degré 2 ?
Recherche de racine(s) et signe d'un polynôme : Un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c admet au plus deux racines. Le nombre exact de ses racines est déterminé par le signe d'un expression notée ? qu'on appelle le discriminant. ? = b² - 4ac.Comment trouver x1 et x2 avec Delta ?
Propriété 2 : Si l'équation admet deux racines x1 et x2 (donc son discriminant ? = 0), alors : P(x) = a(x - x1)(x - x2).Comment déterminer les racines des polynômes ?
Comment calculer une racine d'un polynôme ? Le principe général de calcul de racine est d'évaluer les solutions de l'équation polynome = 0 en fonction de la variable étudiée (où la courbe croise l'axe y=0 zéro). Le calcul de racines de polynôme passe généralement par le calcul de son discriminant.- Trouver les racines d'un trinôme du second degré, signifie résoudre l'équation ax² + bx + c = 0. Pour cela, dans le cas général, il faut d'abord calculer le discriminant ? (delta), donné par la formule : ? = b² - 4ac.
Chapitre3
Racinesd'unpolynˆom e
3.1Fonction polynˆome
D´efinition3.1SoitA=a
0 +a 1X+···+a
n X n unp olynˆomedeK[X].Onappellefonction polynˆomeassoci´ee`aAl'application A:K!Kqui`ato utxdeKfaitcorre spondrel'´el´ementA(x)=a
0 +a 1 x+···+a n x n deK. Remarque.Commeonleverra plu sloin, laconfusionentreu npolynˆomeets afonction polynˆomeassoci´een'a,dan slecaso`ulecorpsKestinfini(etdoncenp articulier lorsqu eK=R ouC)pas decons´ equenc efˆacheuse.Danslapratique,onconfondra doncsouventAet A. C'estparcontretout autrec hoselorsqueKestuncorps fini.Par exemple,siK=Z/2Z,le polynˆomeA=X+X 2 n'estpasnul(tous sescoe cientsnesontpasnuls )etpour tantlafonc tion polynˆomeassoci´eex7!x+x 2 estlafonc tionnul le...Proposition3.2Soient(A,B)2(K[X])
2 et2K.Ona• A+B= e A+ eBet•
g AB= e A e B. D´emonstration:Celar´esulte demani`ereimm´ediatedesd´ efiniti onsdesop´erationssurlesSch´emadeH¨orner
Gardonslesnotations pr´ec´ede ntesete
ectuonslecalculdeA(a)pou runcertain a2K.Leco ˆutenmultiplicat ionsdu calculdea
0 +a 1 a+···+a n a n parlam´ ethod e"naturelle»est den1mu ltiplicationspourcalculerlespuissancesa 2 ,···,a n ,plusnmultiplicationspour calculerlestermesa 1 a,···,a n a n ,soi tautotal2n1.Les ch ´emadeH¨ornerconsiste `acalculer successivement p n =a n a n p n1 =(a n1 +p n )a=a n1 a+a n a 2 p 2 =(a 2 +p 3 )a=a 2 a+a 3 a 2 +···+a n a n1 p 1 =(a 1 +p 2 )a=a 1 a+···+a n a n etenfin A(a)=a 0 +p 1 ,ce quifai tseulemen tnmultiplications. Th´eor`eme3.3(FormuledeTaylor) Onsuppose lecorpsKdecar act´eristiquenulle 1 .Pour toutpolynˆ omeA= n X k=0 a k X k ett outscalair eadeK,ona:A(X)= n X k=0 A (k) (a) k! (Xa) k1.Cett ehypoth`esen'es tl`aquepourgarantirquel'onpuissedivi serparlesk!.Q,RetCsontdescorpsde
caract´eristiquenulle. 1718CHAPITRE3.RACINESD'UNP OLYN
OMED´emonstration:
EcrivonsA(X)=
n X k=0 a k (Xa+a) k .Siond´ eve loppechaqueterme(Xa+a) k parlaf ormuled ubinˆome(Xa+a) k k X i=0 k i a ki (Xa) i ,onobt ient,enr´eordonnantsuiv ant lespuissa ncesde(Xa), A(X)= n X k=0 b k (Xa) k avecdesc oe cientsb k quel'onva explicite rautrem ent. OnaA (0) (a)=A( a)=b 0 et,pour`2[[1,n]],parlin´ earit´e delad´erivation`al'ordre` A (X)= n X k=0 b k (Xa) k `1 X k=0 b k (Xa) k |{z} =0 n X k=` b k (Xa) k n X k=` b k k(k1)···(k`+1)( Xa) k` =b n X k=`+1 b k k(k1)···(k`+1)( Xa) k` En´eval uantcettequantit´eena,nou sobtenonsA (a)=b `!c'est`adireb A (a)·On
trouvedoncbienfin alementA(X)= n X k=0 A (k) (a) k! (Xa) kExemple.PourA=X
3 +Xeta=1on obti ent :X 3 +X=2+4( X1)+3(X1) 2 +(X1) 3 Remarque.Lasp ´ecificit´edecetteformuledeTaylordansl ecaspoly nomialestqu'iln'y apas derest e. Exercice3.1TrouverunpolynˆomeA2R[X]ded egr´ein f´erieurou´egal`at roistelqueA(0)=0 etA(1)=A 0 (1)=A 00 (1)=2.3.2Racines, ordred'uneracine
D´efinition3.4SoientAunpo lynˆomedeK[X]etaun´e l´ementdeK.Onditqueaestune racinedeAsil'applic ationpolynomialeA:K!K,x7!A(x)s'annuleena:A(a)=0. Proposition3.5SoientAunpoly nˆomedeK[X]etaun´e l´ementdeK.aestune racinedeA siet seulement siXadiviseA. D´emonstration:SupposonsqueXadiviseA,soitA=(Xa)Q.Onobti entauss itˆotA(a)=(aa)Q(a)=0.
R´eciproquement,supposonsqueA(a)=0. Onp eut fairela divisioneucl idiennedeApar Xa: A=Q(Xa)+R ,o `ulede gr´edeRest strict ementinf´erieu r`a1=d eg( Xa)don cRestune constantec.En ´evaluan tcetterelationena,onob tie nt0=A(a)=c.Ain si,A=(Xa)Qet3.2.RACI NES,ORDRED'UNERACINE19
Remarque.Lad´ emonstrationmetenlumi`erelefaitquel erestedans ladivi sioneuclidienne deApar Xan'estautrequeA(a).Exemple.Ilex isteQtelqueX
4 2X 3 +X 2X2=(X2)Qcar2 estraci ned e
X 4 2X 3 +X 2X2.On trouveX
4 2X 3 +X 2X2=(X2)(X
3 +X+ 1). Proposition3.6Unpoly nˆomenonnuldedegr´endeK[X]aauplusnracinesdistinctes. D´emonstration:Par r´ecu rrencesurn.Pou rn=0,u npol ynˆomec onstantnonnulposs`ede´evidemmentz´eroracine.
Soitnfix´e,supposonsler ´esultatvraipourlespolyn ˆomesde degr´en;soi tmaintenant Aun polynˆomededegr´en+1. SiA n'aaucu ner acine,ler´ esultatestvraipou rA;sinonsoitaune racinedeA;parlapr opositi onpr´ec ´edent eonpeut ´ecrireA=(Xa)Qpouru npolynˆomeQ , quiestcl airementde degr´en.Mai ntenant,sibestuneraci nedeA,alors0 =A(b)=(ba)Q(b) doncb=aoubestunerac inedeQ(onu tilisel'hypoth` esed'i nt´ egrit´e deK);orQaau plu sn Cons´equence.Lese ulpolynˆomeay antuneinfinit´ederacine sestlepolynˆom enul. Exercice3.2Onsupp oselecorpsKinfini.Montrerquesid euxpolynˆomesdeK[X]d´efi nissent lamˆem efonctionpolynˆomed eKdansKalorsilsson t´egaux.D´efinition3.7SoientA2K[X],r2N
eta2K.Onditqueaestracin ed'ordrerdeAs'il existeunpolynˆ omeQtelqueA=(Xa) rQavecQ(a)6=0.Autrementdit,aestraci ned'ordre
rdeAsiAestdivi siblepar(Xa) r maispas par(Xa) r+1Vocabulaire
Uneracin eestditesimplesielle estd'ordre1,doublesielle estd'ordre2,.. . D'unemani`ereg´e n´erale,l'entierrestappel´e ordredemultipl icit ´edelarac ine.Exemple.A=X
5 9X 4 +25X3 9X 2
54X+54, a=3.
A=(X3)(X
4 6X 3 +7X 2 +12X18) =(X3) 2 (X 3 3X 2 2X+6) =(X3) 3 (X 2 2)3es tdoncracin ed'ordre3d upolynˆomeA.
Exercice3.3SoitAunpol ynˆ omenoncon stantdeK[X].Montrer quesia 1 ,···,a p sontdes racinesdeAd'ordresre spect ifs k 1 ,···,k p alorsAestdi vis iblepar(X a 1 k 1···(Xa
p kp End´ed uirequ'unpolynˆomenonnulde degr´endeK[X]aaupl us nracines(compt´eesave c multiplicit´e).Th´eor`eme3.8Soientr2N
,A2K[X]eta2K.aestracine d'ordrerdupol ynˆomeAsiet seulementsiA(a)=A
0 (a)=...=A (r1) (a)=0etA (r) (a)6=0. D´emonstration:Parlafor mulede Taylor,ennotantd=de gA,onaA= d X k=0 A (k) (a) k! (Xa) k •SiA(a)=...=A (r1) (a)=0etA (r) (a)6=0,on an´ ece ssai rementd>ret A= d X k=r A (k) (a) k! (Xa) k =(Xa) r d X k=r A (k) (a) k! (Xa) kr |{z} Q(X)20CHAPITRE3.RACINESD'UNP OLYN
OME etdoncaestracined 'ordrerdeApu isqueQ (a)= A (r) (a) r! 6=0. •R´eciproquement,siaestracined 'ordrerdeA,onad>ret: A= r1 X k=0 A (k) (a) k! (Xa) k |{z} R +(Xa) r d X k=r A (k) (a) k! (Xa) kr |{z} Q L'´ecritureci-dessusestcelle(u nique)deladivisioneuclidien nedeApar( Xa) r .Puisque (Xa) r |A,ona R=0 d'o `uA(a)=A
0 (a)=...=A (r1) (a)=0.Etcomme Q(a)6=0,A
(r) Exemple.Onconsi d`erelepolynˆomepr´ec´edent. OnaA(3)= 0. PuisA 0 =5X 4 36X3 +75X
2
18X54et A
0 (3)=0, A 00 =20X 3 108Xquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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