[PDF] 1 — PRINCIPE DE FERMAT 1.1 – Chemin optique et

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1 — PRINCIPE DEFERMATLapr´esentationdel"Optique g´eom´etrique propos´eeiciestaxiomatique;elled´eveloppe

des des outils n´ecessaires au traitement des syst`emes deformation d"images, mais que l"on

rencontrera aussi dans d"autres domaines de la Physique.1.1 - Chemin optique et principe de Fermat1.1.1 - Optique g´eom´etriqueL"Optique g´eom´etrique ´etudie les trajectoires des rayons lumineux, sans se pr´eoccuper

de leur nature (celle-ci sera ´etudi´ee ult´erieurement; nous verrons alors que les pinceaux

de rayons lumineux mat´erialisent la propagation d"ondes ´electromagn´etiques). Cette

propagation d´epend ´evidemment de la pr´esence des obstacles rencontr´es lors de la pro-

pagation; nous verrons alors comment ces obstacles peuventinfluencer la trajectoire sui- vie par ces rayons lumineux; c"est le ph´enom`ene de diffraction.

L"´etude de l"Optique g´eom´etrique n´egligea priorile ph´enom`ene de diffraction : nous

supposerons doncque lalumi`erenerencontreaucunobstaclelors desapropagation,sauf bien sˆur les surfaces limitant deux milieux transparents.Ces surfaces seront suppos´ees suffisamment r´eguli`eres pour qu"on puisse, en tout point leur associer un plan tangent. On parlera dedioptrespour les surfaces permettant la transmission et la r´eflexion de la lumi`ere; une surface qui ne permet que la r´eflexion est unmiroir. Nous ne nous pr´eoccuperons pas non plus ici de la nature physique des sources de lumi`ere; il nous suffira d"affirmer l"existence d"une ou plusieurs sources ponctuelles de

lumi`ere (les sources ´etendues ´etant consid´er´ees comme des associations de sources ponc-

tuelles), ´eclairant l"espace selon des lois d´evelopp´ees plus bas.1.1.2 - Principe de FermatConsid´erons deux pointsAetBquelconques, susceptibles d"ˆetre l"un la source et

l"autre la destination d"un rayon lumineux. Il est bien connu que le trajetABest par- couru par la lumi`ere en ligne droite lorsqueAetBsont situ´es dans un mˆeme milieu

homog`ene; nous admettrons, comme fondement de l"Optique g´eom´etrique, leprincipe deFermatqui g´en´eralise ce r´esultat `a des rayons lumineux suivant des trajets quelconques

dans des milieux aux propri´et´es optiques compl`etement arbitraires. Dans son ´enonc´e le plus simple, ce principe affirme que, lors de son parcours d"un pointA`a un pointBdonn´e, la lumi`ere suit une courbe(C)qui assure une dur´ee de trajet extr´emale (en g´en´eral minimale) par rapport `a tout trajet voisin.

1.1.3 - Indice optiqueLa dur´eeτdu trajet de la lumi`ere d"un pointA`a un pointBd´epend de la vitessevde

la propagation de la lumi`ere en chaque pointMdu trajet; si on notec0la vitesse de la lumi`ere dans le vide, on choisira de noterv=c0/nen d´efinissant l"indice optiquendu milieu mat´eriel travers´e enM. Cet indice optique est en g´en´eral sup´erieur `a 1 (ce qui indiquev < c0) mais ce n"est pas une obligation, la vitesse de propagation (ou vitesse dephase)vn"´etant pas toujours inf´erieure `ac0(ce n"est pas une vitesse mat´erielle). Nous verrons que, dans le cas de certains milieux mat´eriels transparents (les plasmas dans le domaine des ondes radio) on peut avoirn <1. Notons aussi que l"indice optique d"un milieu mat´eriel d´epend de la fr´equencefou, ce qui revient au mˆeme, de la longueur d"onde dans le videλ0=c0/fde l"onde ´etudi´ee. Pour la lumi`ere visible, 400nm?λ0?750nm(limites conventionnelles) avec un sens de variation pr´ecis´e par la fig. 1.1. La d´ependance d"un indice avec la longueur d"onde constitue le ph´enom`ene dedisper-

sion, pr´esent dans tous les milieux mat´eriels sauf le vide. Pour la plupart des mat´eriaux

usuels, dn dλ0<0; on peut souvent adopter lemod`ele de Cauchy,n=a+b

λ20ouaetbsont

des constantes positives. Retenons enfin quelques ordres de grandeurs. On a d"abord pour vitesse de la lumi`ere dans le vide la valeur (constante universelle, ind´ependante de l"´etat de mouvement de la source et de l"observateur) : c

0=299 792 458m·s-1(1.1)

1 bleu rouge 400nm

750nm550nm

FIG. 1.1 - Longueur d"onde et couleur de la lumi`ere L"indice optique des milieux transparents usuels v´erifie en g´en´eral 1?n?2 avec par exemplen-1=3×10-4pour l"air dans les conditions normales de temp´erature et de pression,n-1?0,33 pour l"eau et 0,2?n-1?0,9 pour les verres optiques.

1.1.4 - Chemin optiqueOn peut alors exprimer la dur´ee d"un trajet infinit´esimal selondt=ds/ven fonction

de la distancedsparcourue, donc aussiτ=?

M?(C)n(M)ds

c0, l"int´egrale ´etant ´etendue

du pointAau pointB: c"est cette int´egrale qui doit ˆetre extr´emale, d"apr`es le principe de

Fermat.

La grandeurc0´etant une constante universelle, on d´efinit lecheminoptique(AB)le long d"une courbe(C)arbitraire par l"int´egrale curviligne :

L= (AB) =?

M?(C)n(M)ds=?

M?(C)n(M)?ut(M)·d?r(1.2)

o`u on a not´e?ut(M)le vecteur unitaire tangent au pointM`a la courbe(C); notons que

l"int´egrale (1.2) peut ´eventuellement ˆetre n´egative,selon le sens choisi pour l"orientation

de la courbe(C); cette int´egrale curviligne est un premier exemple d"int´egrale de circu- lation, qu"on d´efinira g´en´eralement sous la forme?

M?(C)?W(M)·d?rpour tout champ

vectoriel ?W(M). On peut alors r´e´ecrire le principe de Fermat : PRINCIPE DEFERMATLors de son parcours d"un pointA`a un pontBdonn´e, la lumi`ere suit une courbe

(C)qui assure un chemin optique extr´emal par rapport `a tout trajet voisin.Un chemin optique positif (avec?utdans le mˆeme sens qued?r, donc si la courbe est

orient´ee dans le sens effectif de parcours de la lumi`ere),sera ditr´eel; un chemin optique n´egatif sera ditvirtuel.

1.2 - Cons´equences1.2.1 - Milieux homog`enesDans le cas d"un milieuhomog`ene,nest constant et le chemin optique prend la forme

(AB) =n?ut·-→AB, ceque l"on peutnoter(AB) =n

AB, enfonction delamesurealg´ebrique

de la distance(AB). Un tel chemin optique est extr´emal si la distanceABest minimale

(´etant born´ee inf´erieurement, une distance ne peut ˆetre maximale), donc pour la ligne

droite : c"est laloi de la propagation rectiligne. Dans le cas d"une succession de milieux homog`enes (cf. fig. 1.2), d"indices succes- sifsnk,k?{0,...,N}, deux milieux cons´ecutifs d"indicesnketnk+1´etant s´epar´es par les dioptres(Dk,k+1)ou les miroirs(Mk,k+1), on peut ´ecrire le chemin optique (AB) =N? k=0n k

IkIk+1soit encore(AB) =N?

k=0n k?uk·----→IkIk+1, sous r´eserve de noterI0=A etIN=B, le vecteur unitaire?uk´etant celui du segment----→IkIk+1. Sur la fig. 1.2,N=3 et n 1=n2. (D01) A I 0n 0 n1 n2 n3 I1I 2I3 (M12) (D23)B I 4

FIG. 1.2 - Succession de milieux homog`enes

1.2.2 - Lois de Snell-DescartesLa nature rectiligne des trajetsIkIk+1´etant impos´es dans chaque milieu homog`ene, le

principe de Fermat impose seulement le choix des points interm´ediairesIk(0< k < N)

de r´efraction ou de r´eflexion des rayons lumineux sur les diff´erents dioptres et miroirs.

Ce choix doit v´erifierd(AB) =0 avecd?

?uk·----→IkIk+1? =?uk·? d----→OIk+1-d--→OIk? puisqued?ukest perpendiculaire `a?uket donc `a----→IkIk+1: un vecteur unitaire v´erifie tou- 2 jours?u2k=1 donc?uk·d?uk=0. On peut donc regrouper la condition issue du principe de Fermat sous la forme N-1? k=1n kd--→OIk·(nk?uk-nk+1?uk+1)=0. Cette condition n"est possible, pour tout d´eplacement infinit´esimal arbitraire du point I ksur le dioptre(Dk,k+1)ou sur le miroir(Mk,k+1), que si le vecteurnk?uk-nk+1?uk+1 estnormal`a la surface de ce dioptre ou de ce miroir. En notant enfin?gk,k+1un vecteur unitaire normal `a cette surface, on a donc : ?gk,k+1?nk?uk=?gk,k+1?nk+1?uk+1(1.3) Cette relation, qui introduit l"invariant de propagation?g?n?un"est autre que la loi de Snell-Descartes de la r´eflexion ou de la r´efraction. En effet, elle affirme d"abord que le vecteur?uk+1est orthogonal `a?gk,k+1??uk, donc `a la normale auplan d"incidenced´efini par le rayon incident?uket la normale?gk,k+1au point d"incidence :

PREMI`ERE LOI DESNELL-DESCARTESLe rayon r´efl´echi et le rayon r´efract´esont contenus dansle plan d"incidence, d´efini

par le rayon incident et la normale au dioptre ou au miroir au point d"incidence.De plus, le vecteur invariant?gk,k+1?nk?uka pour normenksinik, o`uikest l"angle

(non orient´e) form´e entre?gk,k+1et?uk; on retrouve donc bien :SECONDE LOI DESNELL-DESCARTESDans le cas de la r´efraction, le rayon lumineux traverse la normale et les angles

form´es avec celle-ci par les rayons incidentiket r´efract´eik+1v´erifient la relation n ksinik=nk+1sinik+1. Dans le cas de la r´eflexion, le rayon lumineux traverse ´egalement la normale et est

le sym´etrique relativement `a celle-ci du rayon incident puisqueik=ik+1.1.2.3 -´Equation des rayons lumineuxOn peut g´en´eraliser les lois de Snell-Descartes dans le cas de la propagation des

rayons lumineux dans un milieuh´et´erog`eneen recherchant la condition d"extremum de l"int´egrale 1.2. Consid´erons pour cela deux cheminsABvoisins, repr´esent´es par les courbes(C)et(C?)de la fig. 1.3.

On passe de(C)`a(C?)par le d´eplacement infinit´esimal-→δM=---→MM?; ce d´eplacement

s"accompagne d"une variation du chemin optiqueδLqui, compte tenu du principe de Fermat, est nul au voisinage d"un rayon lumineux effectif. MM A B

Rayonlumineux(C)

Trajetimm´ediatementvoisin

(C?)

FIG. 1.3 - Extremum du chemin optique

On aura donc

M?(C)δ(n?ut·d?r)=0, avecδ(n?ut·d?r)=δn(?ut·d?r)+n?ut·δd?r puisqueδ?utest perpendiculaire `a?utdonc `ad?r=?utds. Le vecteurδd?rpeut ˆetre d´efini

commeδd?r=d(---→OM?)-d(--→OM)donc aussiδd?r=d---→MM?=dδ?r, et on peut donc r´e´ecrire

la seconde partie de l"int´egrale,?

M?(C)n?ut·dδ?r=[n?utδr]BA-?

M?(C)δ?r·d(n?ut). Dans

cette int´egration par parties, le terme tout int´egr´e estnul puisqueδ?r(A) =δ?r(B) =0;

remarquant alors que?ut·d?r=ds, on peut r´e´ecrire le principe de Fermat sous la forme?

M?(C)?

δn-δ?rdn?ut

ds? ds=0.

Cette int´egrale devant ˆetre nulle sur toute partie du rayon lumineux effectif,l"int´egrant

ne peut ˆetre que nul en tout point de ce rayon, et l"´equationdes rayons lumineux prend la formeδn=δ?rdn?utds, pour tout d´eplacement arbitraireδ?r. Comme dans ce cas on peut

´ecrireδn=--→gradn·δ?r, on obtient l"´equation diff´erentielle des rayons lumineux :

d (n?ut) ds=--→gradn(1.4) Si on consid`ere une surface iso-ncomme un dioptre local, le vecteur--→gradnest la

normale `a ce dioptre et on retrouve bien la relationd(n?ut)?--→gradn=?0, qui g´en´eralise

les lois de Snell-Descartes (1.3).

1.2.4 - Th´eor`eme de MalusConsid´erons en effet un pointA, source de lumi`ere, et traitons le chemin optique

L(M) = (AM)comme une fonction du pointM, pour tout point atteint par au moins un rayon lumineux issu deA. 3 PourMetM?voisins , la diff´erence de chemin optiqueδL=L(M?) -L(M)de- puis la source communeAs"´ecrit sous la formeδL=--→gradL·δ?r, mais on peut aussi

faire le mˆeme calcul que celui qui a ´et´e d´evelopp´e ci-dessus, `a un d´etail pr`es : le terme

tout int´egr´e

[n?ut·δr]MAs"annule toujours enAmais plus forc´ement enM; il reste donc--→gradL·δ?r=n?ut·?δr. Ce r´esultat devant ˆetre vrai pour tout d´eplacementδ?r, il reste :

gradL=n?ut(1.5) dont nous ne conserverons en pratique qu"une forme faible : les surfaces de chemin op- tique identiques, que nous appellerons dans la suitesurfaces ´equi-phaseousurfaces d"onde,

sont par d´efinition orthogonales au gradient deL, donc aussi `a?ut:TH´EOR`EME DEMALUSLes rayons lumineux sont orthogonaux aux surfaces ´equi-phase, surfaces d"´egal

chemin optique depuis une source de lumi`ere ponctuelle donn´ee.Le th´eor`eme de Malus est illustr´e sur la fig. 1.4 dans deux cas simples, dans un milieu

homog`ene : une onde plane (les surfaces d"onde sont des plans perpendiculaires aux rayons lumineux, la sourceAest `a l"infini) et une onde sph´erique (la sourceAest `a distance finie). rayon lumineux surface (plan) d"onde? rayon lumineux surface(sph`ere)d"onde A FIG. 1.4 - Th´eor`eme de Malus, onde plane et onde sph´erique

1.3 - Stigmatisme1.3.1 - Objets et imagesOn consid`ere dans cette partie un certain syst`eme optique(Σ), form´e d"une succession

de milieux mat´eriels (homog`enes ou non) et de dioptres ou de miroirs, d´elimit´e par uneface d"entr´ee(Σe)et une face de sortie(Σs)(voir fig. 1.5). L"espace physique est donc

orient´e et les rayons lumineux seront suppos´es se dirigerde la face d"entr´ee vers la face

de sortie. (Σe) (Σs) ?Ar ?Av ?Bv B r FIG. 1.5 - Objet et Image pour un syst`eme optique On appelleobjetdel"optique g´eom´etriqueun pointAd"o`udivergentuncertainnombre de rayons lumineux (pointobjet r´eel, comme le pointArde la fig. 1.5, s"il est situ´e avant la face d"entr´ee(Σe)du syst`eme optique) ou bien un point d"o`udivergeraientces rayons

si(Σ)´etait absent (pointobjet virtuel, comme le pointAvde la fig. 1.5, situ´e apr`es la face

d"entr´ee(Σe)du syst`eme optique). De la mˆeme fac¸on, un faisceau ´emergentdu syst`eme(Σ)et formantun point deconver-

gence apr`es la face de sortie(Σs)d´efinit uneimage r´eelleform´ee par le syst`eme(Σ); c"est

le cas du pointBrde la fig. 1.5. Le syst`eme(Σ)peut aussi produire un faisceau divergent, qui semblerait provenir d"une imageBvsi le syst`eme(Σ)´etait absent; le point correspon- dant porte alors le nom d"image virtuelleform´ee par(Σ), commeBvsur la fig. 1.5.

1.3.2 - Condition de stigmatismeLe but d"un syst`eme optique est en g´en´eral l"associationde couples objet-image :

lorsque tous les rayons lumineux issus de l"objetA(r´eel ou virtuel) donnent, apr`es tra- vers´ee du syst`eme optique(Σ), un point de convergence unique (ou image)A?(r´eelle ou virtuelle), on dira que le syst`eme eststigmatiquepour le couple(A,A?). Un rayon lumineux issu de l"objetAet traversant le syst`eme optique(Σ)parviendra au pointA?si, et seulement si le chemin optique(AA?)est stationnaire (extr´emal) pour le trajet form´e de ce rayon lumineux effectif :d(AA?) =0. Pour que tous les rayons lumineux issus deAatteignentA?, il faut et il suffit donc que le chemin optique(AA?)soit une fonction (du rayon liantA`aA?)partout stationnaire, c"est-`a-dire constante : 4

CONDITION DE STIGMATISMELe syst`eme optique(Σ)est stationnaire pour le couple objet-image(A,A?)si, et

seulement si le chemin optique(AA?)est constant pour tous les rayons lumineux joignantA`aA?`a travers(Σ).1.3.3 - Stigmatisme par r´efraction Prisme droitCitons d"abordun exemple de syst`eme stigmatique par r´efraction. il s"agit d"un prisme droit, d"arˆeteΔ, d"angle au sommetα, form´e de verre d"indicen, plong´e dans l"air (assimil´e au vide). On ne consid`ere ici que des rayons se propageant dans le plan de section principale, perpendiculaire `a(Δ), qui est aussi le plan de la fig. 1.6. Le rayon envisag´e est caract´eris´e par le chemin optique(HKLM) =L(x),x=

ΔKrep´erant

le point d"incidence sur le prisme. ?HH 0 ?MM 0 KL i r i? r?α

FIG. 1.6 - Stigmatisme du prisme droit

On a ´evidemment(HK) = (H0Δ) -xsiniet, en posantx?=ΔL(x?est fonction impli- cite dex),(LM) = (ΔM0) -x?sini?. Enfin,(KL) =n(xsinr+x?sinr?). Finalement, on trouve(HKLM) = (H0ΔM0) +x(nsinr-sini)+x??nsinr?-sini??. L"application des lois de Snell-Descartes m`ene donc `a(HKLM) = (H0ΔM0), quel que soitx: le prisme est donc stigmatique, avec comme objetAl"intersection des rayons incidents (`a l"infini) et comme imageA?l"intersection des rayons ´emergents (´egalement `a l"infini). Retenons qu"on objet (ou une image) `a l"infini apparaˆıtdans une ´etude optique comme un faisceau parall`ele; le stigmatisme ne permet alors pas de d´eterminer la valeur du chemin optique (qui est en toute rigueur lui-mˆeme infini) mais seulement son invariance pour tout rayon menant d"un plan de phase(H0H)`a un autre plan de phase(M0M). Ce syst`eme stigmatique est, rappelons-le, r´egi par les´equations du prisme, qui prennent la forme classique :sini=nsinr r+r?=αsini?=nsinr?D=i+i?-α(1.6)

qu"on a compl´et´e par la d´efinition de lad´eviationDdu rayon `a la travers´ee du prisme;D

est la somme des d´eviationsi-r`a l"entr´ee du prisme eti?-r?`a sa sortie. Notons que ces deux d´eviations se font dans le mˆeme sens, du cˆot´e de la base du prisme.

Fibre `a gradient d"indice

´Etudions un second syst`eme couramment utilis´e, form´e

d"une fibre optique cylindrique; l"indice optique du mat´eriau constituant la fibre d´ecroˆıt

r´eguli`erement avec la distancer`a l"axe de sym´etrie selon la loin2(r) =n20? 1-r2 a2? L"´equation 1.4 des rayons lumineux devient ici d ds(n?ut) =dn dr?ur, en utilisant les co- ordonn´ees cylindriques d"axe(Oz)confondu avec celui de la fibre. On en d´eduit que d ds(?r?n?ut)=?0 puisqued?r ds=?ut; il reste donc le vecteur invariant?r?n?utdont les composantes cylindriques sont celles den(r)?? r 0 z?? ???dr dsrdθdsdzds?? =n(r)??-zrdθ dszdr ds-rdz dsr2dθ ds?? Consid´erons un rayon particulier qui entre dans la fibre en un point de son axe (r=0); des deux projections radiale et axiale on d´eduit imm´ediatementdθ ds=0, c"est-`a-dire θ=Cte : le rayon se propage dans un plan m´eridien de la fibre.

On peut alors projeter l"´equation

d ds(n?ut) =dn dr?ursur l"axe fixe?uzpour obtenir l"´equation diff´erentielle du rayon lumineux,n(r)dzds=Cte. Introduisant l"anglei(r)fait par le rayon lumineux avec l"axe(Oz)en un point quelconque de la fibre, cette relation

s"´ecrit encoren(r)cosi(r) =n0cosi0,i0d´esignant l"angle sous lequel la fibre est ´eclair´ee

(on obtient une g´en´eralisation ´evidente des lois de Snell-Descartes, cf. fig. 1.7). L"´equation de la trajectoire du rayon lumineuxn2(r)dz2 dr2+dz2=n20sin2i0s"´ecrit aussi ?dr dz? 2 =1 tan2i0-r2 sin2i0a2donc aussid2r dz2= -r sin2i0a2; sa solution est, au vu des conditions initiales, la courbe sinuso¨ıde de la fig. 1.7,r(z) =asin2i0 cosi0sinz sini0a. Un pointHde l"axe est donc atteint par cerayon lumineux au bout deNdemi-p´eriodes de la sinuso¨ıde (N=4 sur la fig. 1.7),apr`esun temps deparcoursτN=Nτ1, avecτ1=L c0 o`u le chemin optiqueLest donn´e par l"int´egraleL=? ndsavecds=n n0sini0dz. Il reste 5 i0

θ0O

H i(r)

FIG. 1.7 - Dispersion dans une fibre optique

apr`es calculsτ1=πan0 c0?

1-sin4i0

cos2i0? Manifestement, ce temps de parcours d´epend dei0, donc du rayon lumineux : le syst`eme n"estpas stigmatiquepour un objet situ´e enOet une image situ´ee sur l"axe,

mˆeme si plusieurs rayons lumineux (sinuso¨ıdes de p´eriodes diff´erentes sur la fig. 1.7,

correspondant `a des anglesi0diff´erents) atteignent le mˆeme point. Lors d"un ´eclairage large,i0?[0;imax]; une impulsion de courte dur´ee `a l"entr´ee dans

la fibre est donc ´etal´ee sur une dur´eeδt=|Nτ1(imax) -Nτ1(0)|soitδt?n0?sin4imax

c0cos2imax, si?est la longueur de la fibre travers´ee. Cet ´etalement d"un signal (on parle dedisper- sion intermodale) est pr´ejudiciable au transport d"information : si on veutl"´eviter, on doit

´eclairer la fibre sous un angle tr`es faible puisqu"alorsδt≂n0?i4max; on est donc limit´e par

la condition??c0T n0i4max, o`uTest la plus courte p´eriode du signal transport´e.

1.3.4 - Stigmatisme par r´eflexion

Miroirs coniquesRecherchons la surface(S)d"un miroir pr´esentant un stigmatisme rigoureux par une seule r´eflexion pour un couple(A,A?). La condition de stigmatisme nAI+n IA?=Ctepeut ˆetrecomprisecomme l"´equation intrins`eque d´efinissant lasurface (S), sous la formeIA±IA?=Cte, le signe d´ependant du caract`ere r´eel ou virtuel de l"objet et de l"image. On reconnaˆıt ici les surfaces stigmatiques d´efinissant unmiroir plan(avecAI=IA?), unmiroir ellipso¨ıdal(avecAI+IA?=2a) ou unmiroir hyperbolo¨ıdal(avecAI-IA?=2a); dans ces deux derniers cas, le couple objet-image pour lequel le stigmatisme est r´ealis´e est unique, form´e des deux foyers de la conique engendrant la surface(S)par r´evolution autour deAA?. Dans le cas (cf. fig. 1.8, trac´ee dans le cas astronomique : l"objet est `a

FA=∞

zr FS C A?I

HA=∞

FIG. 1.8 - Miroir parabolo¨ıdal et sph`ere osculatrice l"infini) o`u un des foyers est rejet´e `a l"infini, ellipse ethyperbole se confondent en une parabole, formant un miroir stigmatique pour un couple objet-image form´e d"un point `a l"infini et du foyerFde la parabole. Miroirs sph´eriquesPour des raisons de commodit´e de r´ealisation, on remplacesou- vent le miroir parabolo¨ıdal d"´equationr2=2pz(le foyerF´etant d"abscissezF=p/2) par un miroir sph´erique d"´equation(z-p)2+r2=p2, de rayonp, de centreCd"abscisse x C=p. On peut aussi ´ecrirer2=2pz-z2donc les deux surfaces sont osculatrices au voisinage de leur sommet communS, d"abscissezS=0. Un tel miroir n"est toutefois pas stigmatique pour le coupleform´e de l"objet `a l"infini et de l"image enF; en effet, un rayon lumineux provenant de l"infini (`a la distancerde l"axe) atteint la sph`ere au pointId"abscissezI=p-? p2-r2avant d"atteindre l"axe du syst`eme au pointA?d"abscissezA?. Le principe de Fermat affirme queL=IH+IA?est stationnaire, avecIH=? p2-r2etIA?=? (zA?-zI)2+r2.

Le rayon lumineux est fix´e par la condition

dL dr=0, qui impose la valeur dezA?; un calcul sans difficult´e m`ene `azA?=p-p2/2?p2-r2. La distanceA?Fmesure l"aberration longitudinale de sph´ericit´edu miroir sph´erique par rapport au mod`ele parabolique. Pour les faibles valeurs der, on peut adopter la relationzA??p/2-r2/4p; l"aberration trans- versale vaut alorsA?Fmax=r2maxquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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