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Les fonctions de référence

Plan du chapitre

1Compléments sur la réciproque d"une bijection.......................................................page 2

1.1Rappels ................................................................................................. page 2

1.2Cas particuliers des applications deRdansRdérivables ................................................. page 22Les fonctionsx?→xn,n?N...............................................................................page 3

2.1Etude générale .......................................................................................... page 3

2.2Les fonctions du second degréx?→ax2+bx+c,a?=0.................................................. page 4

3Les fonctionsx?→1

xn,n?N?..............................................................................page 6

3.1Etude générale .......................................................................................... page 6

3.2Les fonctions homographiquesx?→ax+b

cx+d,a?=0,ad-bc?=0.......................................... page 7

4Les fonctionsx?→n⎷x......................................................................................page 9

5Fonctions circulaires.....................................................................................page 13

5.1Les fonctionssinusetcosinus.......................................................................... page 13

5.2La fonctionx?→eix.....................................................................................page 16

5.3Les fonctionstangenteetcotangente....................................................................page 16

6Les fonctions circulaires réciproques..................................................................page 20

3.1Les fonctionsarcsinusetarccosinus.....................................................................page 20

3.1.1 La fonctionarcsinus.............................................................................. page 20

3.1.2 La fonctionarccosinus............................................................................ page 23

3.2La fonctionarctangente................................................................................ page 287Les fonctions logarithmes et exponentielles...........................................................page 30

7.1Un peu d"histoire .......................................................................................page 33

7.2La fonctionlogarithme népérien........................................................................ page 34

7.2.1 Exercices d"introduction ..........................................................................page 34

7.2.2 Définition de la fonction ln ........................................................................page 34

7.2.3 Propriétés algébriques de ln .......................................................................page 35

7.2.4 Etude de la fonction ln ............................................................................page 36

7.2.5 Le nombre deNeper:e..........................................................................page 37

7.3La fonctionexponentielle(de basee) ................................................................... page 38

7.3.1 Exercice d"introduction ...........................................................................page 38

7.3.2 Définition et propriétés de la fonction exponentielle............................................... page38

7.3.3 Changement de notation :ex......................................................................page 39

7.4Les fonctionslogarithmesetexponentiellesde basea...................................................page 408Les fonctions puissances................................................................................page 43

9Les théorèmes de croissances comparées..............................................................page 44

10Trigonométrie hyperbolique..........................................................................page 45

10.1Les fonctions hyperboliques ........................................................................... page 45

10.1.1 Exercice d"introduction ..........................................................................page 45

10.1.2 Définition des fonctionssinus hyperboliqueetcosinus hyperbolique................................page 46

10.1.3 Etude conjointe de ch et sh ...................................................................... page46

10.1.4 Formulaire de trigonométrie hyperbolique ........................................................page 47

10.1.5 La fonctiontangente hyperbolique................................................................page 49

10.2Les fonctions hyperboliques réciproques................................................................page 51

10.2.1 La fonctionargument sinus hyperbolique......................................................... page 51

10.2.2 La fonctionargument cosinus hyperbolique....................................................... page 53

10.2.3 La fonctionargument tangente hyperbolique......................................................page 54

11La fonction valeur absolue............................................................................page 55

11.1Définition et propriétés de la valeur absolue............................................................page55

11.2Tableaux de valeurs absolues. Fonctions affines par morceauxet continues..............................page 57

11.3Minimum et maximum d"un couple de réels ............................................................page 58

11.4La fonction " signe »...................................................................................page 58

12La fonction partie entière.............................................................................page 59

12.1Définition et propriétés de lapartie entière.............................................................page 59

12.2La fonctionpartie décimale............................................................................ page 61

c ?Jean-Louis Rouget, 2009. Tous droits réservés.1 http ://www.maths-france.fr

1 Compléments sur la réciproque d"une bijection1.1 Rappels.On rappelle que sifest une application d"un ensembleEvers un ensembleF,

fest bijective??y?F,?!x?E/ y=f(x).

Dans ce cas, on peut définir la réciproquef-1def. Elle est entièrement caractérisée par

?(x,y)?E×F, y=f(x)?x=f-1(y). La réciproque defest également entièrement caractérisée par les égalités f-1◦f=IdEetf◦f-1=IdF, ce qui s"écrit encore ?x?E,(f-1(f(x)) =xet?y?F, f(f-1(y)) =y.

1.2 Cas particulier des applications deRdansRdérivables

y=x y=f(x) y=f -1 (x) x

0f(x0)

x ?0=f(x0)f -1(x?0) =x0 IJ Ci-contre, nous avons tracé le graphe d"une fonctionf, réalisant une bijection d"un intervalleIsur un intervalleJ, et le graphe de sa réciproque. Le graphe def-1est l"ensemble des points de coordonnées(x?,f-1(x?)) oùx?décrit l"intervalleJ(dans cette phrase, l"intervalleJest pensé sur l"axe des abscisses). On posex0=f-1(x?0)ou, ce qui revient au même,x?0=f(x),x0étant lui un réel de l"intervalleI. On passe du point(x0,f(x0)) = (f-1(x?0),x?0) au point(x?0,f-1(x?0))en échangeant les deux coordonnées. Géométrique- ment, les deux points(x0,f(x0))et(x?0,f-1(x?0))sont symétriques l"un de l"autre par rapport à la droite d"équationy=x. Ainsi, le graphe def-1est le symétrique du graphe def par rapport à la droite d"équationy=x. On démontrera dans le cours d"analyse les résultats suivants.

Théorème 1.Soitfune application définie sur un intervalleIdeRà valeurs dansRet dérivable surI. Si la dérivée de

fest strictement positive surI(ou strictement négative surI), alorsfréalise une bijection deIsurf(I) =Jqui est un

intervalle de même nature queI(ouvert, semi-ouvert, fermé). Sa réciproquef-1est alors dérivable surJet,

(f-1)?=1 f?◦f-1, ou, ce qui revient au même, ?x?J,(f-1)?(x) =1 f?(f-1(x)).

fetf-1sont toutes deux strictement monotones surIetJrespectivement, et ont même sens de variations surIetJ

respectivement.

L"égalité(f-1)?(x0) =1f?(f-1(x0))est lisible sur le graphique : par symétrie, le coefficient directeur de la tangente au

graphe def-1au point(x?0,f-1(x?0))est l"inverse du coefficient directeur de la tangente au graphe defau point(x0,f(x0)).

En effet, soientM(a,b)etN(c,d)deux points d"abscisses et d"ordonnées distinctes. Leurs symétriques par rapport à la

droite d"équationy=xsont les pointsM?(b,a)etN?(d,c). Le coefficient directeur de la droite(M?N?)est

y

N?-yM?

xN?-xM?=c-ad-b=?d-bc-a? -1 =?yN-yMxN-xM? -1

et est donc l"inverse du coefficient directeur de la droite(MN). On applique alors ce travail aux pointsM0(x0,f(x0))et

M(x,f(x))puis on fait tendrexversx0et on obtient le résultat. c ?Jean-Louis Rouget, 2009. Tous droits réservés.2 http ://www.maths-france.fr

2 Les fonctionsx?→xn,n?N

2.1 Etude générale

Pourn?Netxréel, on posefn(x) =xn. Quandn=0, la fonctionfnest la fonction constantex?→1et quandn=1,

la fonctionfnest la fonctionx?→x. Sinon Théorème 2.Soitn?N\ {0,1}. La fonctionfn;x?→xnest dérivable surRet?x?R, f?n(x) =nxn-1.

Démonstration.Soitx0?R. Pour tout réel non nulh, on a d"après la formule du binôme deNewton

f n(x0+h) -fn(x0) h=1h x n

0+nhxn-1

0+ n 2! x n-2

0h2+...

n n-1! x

0hn-1+hn!

-xn0! =nxn-1 0+ n 2! x n-2

0h+...

n n-1! x

0hn-2+hn-1.

et quandhtend vers0, cette dernière expression tend versnxn-1

0. On peut s"y prendre autrement : pourx?=x0

f n(x) -fn(x0)

0+xn-1

0)x-x0

=xn-1+xn-2x0+xn-3x20+...+xxn-2

0+xn-1

0. et quandxtend versx0, cette expression tend versxn-1

0+xn-1

0+...+xn-1

0? n=nxn-1 0. o On a alors immédiatement le théorème suivant :

Théorème 3.Soitn?N\ {0,1}.

•Quandnest pair, la fonctionx?→xnest paire, continue et dérivable surR, strictement décroissante sur] -∞,0]et

strictement croissante sur[0,+∞[.

•Quandnest impair, la fonctionx?→xnest impaire, continue et dérivable surR, strictement croissante surR.

Représentation graphique des fonctionsx?→xn,n?N\ {0,1}. n=2p,p?N? y=x 2p n=2p+1,p?N? y=x 2p+1

Etudions maintenant les positions relatives des graphesCndes fonctionsfnsurR+. Soientn?Netx?[0,+∞[.

f n+1(x) -fn(x) =xn+1-xn=xn(x-1).

Six=0oux=1, on afn+1(x) =fn(x). Toutes les courbesCnont en commun les points de coordonnées(0,0)et(1,1).

Six?]0,1[, on axn(x-1)< 0et doncfn+1(x)< fn(x). Sur]0,1[, la courbeCn+1est strictement au-dessous de la courbe

C n.

Six?]1,+∞[, on axn(x-1)> 0et doncfn+1(x)> fn(x). Sur]1,+∞[, la courbeCn+1est strictement au-dessus de la

courbeCn. c ?Jean-Louis Rouget, 2009. Tous droits réservés.3 http ://www.maths-france.fr

•Six?]0,1[,1 > x > x2> x3> x4> ...,

•Six?]1,+∞[,1 < x < x2< x3< x4< ....

Dit autrement :

•Six?]0,1[, la suite géométrique(xn)n?Nest strictement décroissante, •Six?]1,+∞[, la suite géométrique(xn)n?Nest strictement croissante. Représentation graphique des fonctionsx?→xn,n?{0,1,2,3,4}. 1 1y=1 y=x y=x2 y=x3 y=x4

2.2 Les fonctions du second degréx?→ax2+bx+c,a?=0

Forme canonique.Soienta,betctrois réels tels quea?=0. Pour tout réelx, en posantΔ=b2-4ac, on a

ax

2+bx+c=a?

x 2+b ax+ca? =a? x+b2a? 2 -b24a2+ca? =a? x+b2a? 2 -b2-4ac4a2? =a? x+b 2a? 2 -Δ4aoùΔ=b2-4ac.

Représentation graphique.On se donne un repère orthonorméR= (O,-→i ,-→j)et on noteCla courbe représentative

de la fonctionf:x?→ax2+bx+cc"est-à-dire la courbe d"équationy=ax2+bx+cou encore y=a? x+b 2a? 2 -Δ4a(?)dans le repèreR. -b/2a -Δ/4ay x O y=ax

2+bx+c

y ?=ax ?2 O?x?y On cherche alors un repère mieux adapté à cette courbe. Pour cela, on prend comme nouvelle origine le pointO?? -b

2a,-Δ4a?

puis comme nouveau repère le repèreR?= (O?,-→i ,-→j). Les formules de changement de repère s"écrivent ?x= -b 2a+x? y= -Δ

4a+y?ou aussi???????x

?=x+b 2a y ?=y+Δ 4a. Soit alorsMun point du plan dont les coordonnées dans le repèreRsont notées(x,y)et les coordonnées dans le repèreR?sont notées(x?,y?). c ?Jean-Louis Rouget, 2009. Tous droits réservés.4 http ://www.maths-france.fr

M?C?y=ax2+bx+c?y=a?

x+b 2a? 2 -Δ4a ?y+Δ 4a=a? x+b2a? 2 ?y?=ax?2.

Ainsi, la courbeCest à la fois la représentation graphique de la fonctionf:t?→at2+bt+cdans le repèreRet la

représentation graphique de la fonctiong:t?→at2dans le repèreR?.

On peut avoir une autre interprétation géométrique de l"égalité(?). On considère les deux fonctionsf:x?→ax2+bx+c

etg:x?→ax2et on construit les représentations graphiquesCfetCgde ces deux fonctions dans un même repèreR.

Ainsi, nous avons toujours deux fonctions mais contrairement à ci-dessus où nous avions une courbe et deux repères, nous

avons maintenant deux courbes et un repère. -b/2a -Δ/4ay x O y=ax

2+bx+c

y=ax 2 -→u-→u -→u

Notons-→ule vecteur de coordonnées?

-b2a,-Δ4a? puist-→ula transla- tion de vecteur -→uet montrons que la courbeCfest l"image de la courbe C gpar la translationt-→u. SiMest un point du plan de coordonnées(x,y),t-→u(M)est le point de coordonnées(x?,y?) =? x-b

2a,y-Δ4a?

ou encore l"expression ana- lytique de la translationt-→uest ?x ?=x-b 2a y ?=y-Δ

4ace qui s"écrit aussi???????x=x?+b

2a y=y?+Δ 4a On a

M?Cg?y=ax2?y?+Δ

4a=a? x ?+b2a? 2 ?t-→u(M)?Cf.

Ainsi un point du plan appartient à la corbe représentative degsi et seulement si son translaté appartient à la courbe

représentative def. On a donc montré que La courbe d"équationy=ax2+bx+cest la translatée de la courbe d"équationy=ax2 par la translation de vecteur? -b

2a,-Δ4a?

La courbe d"équationy=ax2+bx+cest uneparabole. Une parabole est une courbe aux propriétés géométriques très

précises, propriétés étudiées dans le chapitre " Coniques »et il ne faut pas croire que toute courbe ayant cette allure est

une parabole. Par exemple, la graphe de la fonctionx?→x4n"est pas une parabole.

Pour en finir avec le second degré, on rappelle sur le graphique de la page suivante les6cas de figure de l"étude du signe

d"un trinôme du second degré. c ?Jean-Louis Rouget, 2009. Tous droits réservés.5 http ://www.maths-france.fr a > 0,Δ > 0 a < 0,Δ < 0 a > 0,Δ=0 a < 0,Δ=0 a > 0,Δ < 0 a < 0,Δ > 0

3 Les fonctionsx?→1/xn,n?N?

3.1 Etude générale

Soitn?N?.

•Parité.Pourx?R?,1

(-x)n= (-1)n1xn. Ainsi, la fonctionx?→1xnest paire quandnest pair et impaire quandnest impair ou encore " la fonctionx?→1 xna la parité den».

•Variations.La fonctionx?→xnest strictement croissante et strictement positive sur]0,+∞[. On en déduit que la

fonctionx?→1 xnest strictement décroissante sur]0,+∞[.

•Dérivée.La fonctionx?→1

xnest dérivable surR?et ?x?R?,?1xn? (x) =-nxn+1. En effet, soientx0?R?puisxun réel non nul distinct dex0. 1 xn-1xn0 x-x0=1 x-1x0 x-x0×?1xn-1+1xn-2x0+...+1xxn-2

0+1xn-1

0? 1 xx0×?1xn-1+1xn-2x0+...+1xxn-2

0+1xn-1

0? Quandxtend versx0, cette dernière expression tend vers-1 x20×nxn-10= -nxn+10. On peut alors fournir le graphe de la fonctionx?→1 xn,n?N?, en séparant les casnpair etnimpair. c ?Jean-Louis Rouget, 2009. Tous droits réservés.6 http ://www.maths-france.fr n=2p,p?N? y=1/x2p n=2p+1,p?N y=1/x2p+1

3.2 Les fonctions homographiquesx?→(ax+b)/(cx+d),c?=0,ad-bc?=0

On se donne quatre réelsa,b,cetdtels quec?=0etad-bc?=0(la conditionc?=0élimine le cas particulier des

fonctions affines et la conditionad-bc?=0empêche une proportionnalité entre le numérateur et le dénominateur et évite

donc une fonction du genrex?→2x-4 x-2=2). Pourx?= -dc, on posef(x) =ax+bcx+d.

•Transformation canonique.Comme pour les fonctions du second degré, on dispose d"une transformation canonique,

l"idée générale étant dans les deux cas d"obtenir une expression où la variablexn"apparaît qu"une seule fois et donc de

comprendre les opérations élémentaires successives effectuées depuis la variablexjusqu"à son imagef(x).

Soitx?R\ {-d

c}. f(x) =a c(cx+d) +b-adc cx+d=a c(cx+d) cx+d-(ad-bc)/ccx+d=ac-(ad-bc)/c2x+dc. ?x?R\? -dc? ,ax+bcx+d=ac+(ad-bc)/c2x-dc.

þCommentaire.•Dans la transformation ci-dessus, nous voulions faire apparaître l"expressioncx+dau numérateur pour

pouvoir ensuite la simplifier. Il y avait alors deux manièresd"agir : ax+b=cx+d+ax+b-cx-d= (cx+d) + ((a-c)x+ (b-d)) (1), et ax+b=a c(cx+d) +b-adc(2). (2)est la seule bonne façon d"agir car le terme correctifb-ad cne contient plus la variablexalors que le terme((a-c)x+(b-d)) contient toujours cette variable.

•Pour effectuer la transformation(2), on a commencé parécrire ce que l"on voulait voir écrit:

ax+b= ?(cx+d) + ? puis, on a corrigé petit à petit ax+b=a c(cx+d) + ?puisax+b=ac(cx+d) -adc+b. c ?Jean-Louis Rouget, 2009. Tous droits réservés.7 http ://www.maths-france.fr •Centre de symétrie.On note(Γ)la courbe représentative de la fonctionf:x?→ax+b cx+d. Montrons que le point -d c,ac? est centre de symétrie de(Γ).

1 ère solution.Soitx?R\ {-d

c}. Alors2xΩ-x?R\ {-dc}et f(2xΩ-x) =a c-(ad-bc)/c2(-2dc-x) +dc= a c+(ad-bc)/c2x+dc, et donc f(2xΩ-x) +f(x) =2×a c=2yΩ.

On a montré que

Le pointΩ?

-dc,ac? est centre de symétrie du graphe de la fonctionx?→ax+bcx+d.

2 ème solution.On trouve une équation de(Γ)dans le repère(Ω,-→i ,-→j). Les formules de changement de repère s"écrivent :

?x= -d c+X y=a c+You encore?????X=x+d c Y=y-a c.

Soit alorsMun point du plan dont les coordonnées dans le repère(O,-→i ,-→j)sont notées(x,y)et les coordonnées dans

le repère(Ω,-→i ,-→j)sont notées(X,Y).

M?(Γ)?y-a

c= -(ad-bc)/c2x+dc?Y= -(ad-bc)/c2 X. Maintenant, la nouvelle fonctiong:X?→-(ad-bc)/c2 Xest impaire et la courbe(Γ)est à la fois la courbe représentative

defdans le repère(O,-→i ,-→j)et la courbe représentative degdans le repère(Ω,-→i ,-→j). Donc l"origine du repère(Ω,-→i ,-→j)

à savoirΩest centre de symétrie de(Γ).

Avec cette deuxième manière d"agir, plus compliquée que la première, on a néanmoins obtenu davantage : de même que

les graphes des fonctionsx?→ax2+bx+csont les translatés des graphes des fonctions de référencex?→ax2,

les graphes des fonctionsx?→ax+bcx+d,a?=0,ad-bc?=0, sont les translatés des graphes des fonctions de référencex?→k x,k?R?.

•Dérivée.Pourx?R\ {-dc},

ax+b cx+d? (x) =a(cx+d) -c(ax+b)(cx+d)2=ad-bc(cx+d)2. ?x?R\ {-dc},?ax+bcx+d? (x) =ad-bc(cx+d)2.

Ainsi, par exemple,?2x-3x-1?

=-2+3(x-1)2=1(x-1)2. De manière générale,le signe de?ax+bcx+d? sur chacun des intervalles -∞,-d c? et? -dc,+∞? est le signe du déterminantD=ad-bc. cquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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