Les fonctions de référence
6 Les fonctions circulaires réciproques . 10.2 Les fonctions hyperboliques réciproques . ... 11.1 Définition et propriétés de la valeur absolue .
Chapitre 11 : Dérivation
21 janv. 2014 La réciproque est fausse! Par exemple la fonction valeur absolue est continue sur R mais pas dérivable en 0. Démonstration. Si f est dérivable ...
Sofad-Résolution Feuille de route MAT-5171-2 Édition 2018
1.2 LA FONCTION VALEUR ABSOLUE. LA RÉDUCTION D'EXPRESSIONS AVEC VALEUR ABSOLUE CHAPITRE 2 - LA RÉCIPROQUE D'UNE FONCTION ET LA FONCTION RACINE CARRÉE.
2.2 Graphe dune fonction numérique – définition 2.3 Réciproque
Expression de la restriction de la fonction valeur absolue
Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 La fonction valeur absolue x ??
Corrigé du TD no 11
valeur absolue est continue donc la fonction
Dérivation
La fonction valeur absolue est-elle dérivable en 0 ? En revanche la réciproque est fausse : une fonction f continue en a n'est pas nécessairement ...
Dérivation et fonctions trigonométriques
La réciproque est fausse. Par exemple la fonction valeur absolue x ??
Fonctions continues
La réciproque est fausse. La fonction valeur absolue est continue en 0 mais elle n'est pas dérivable en 0. B Théorème des valeurs intermédiaires.
Untitled
12 juil. 2021 Fonctions partie entière valeur absolue
La réciproque de la fonction valeur absolue Secondaire Alloprof
La réciproque d'une fonction valeur absolue est composée de 2 demi-droites qui débutent au même point et qui forment un V sur le côté
[PDF] Les fonctions de référence
6 Les fonctions circulaires réciproques 10 2 Les fonctions hyperboliques réciproques 11 1 Définition et propriétés de la valeur absolue
[PDF] Bijection reciproque dune fonction pdf - Squarespace
Ce cours explique le principe général des fonctions réciproques tandis qu'en cliquant sur ce lien tu auras accès à un cours détaillé sur les fonctions arccos
[PDF] 1 R Ensembles Applications 11 Valeur absolue Bornes
(2) La réciproque est vraie : toute fonction f continue et injective sur I est strictement monotone sur I En résumé : Une fonction continue f sur un intervalle
Fonction Valeur Absolue Cours PDF Racine carrée Nombre réel
Autrement dit un nombre dont la valeur absolue est nulle est nul et réciproquement Démonstration : ( ) { { Exemple : Propriété 3 : { Autrement
Fonction reciproque de valeur absolue
Webdes fonctions 1 2 3 Valeur absolue d'une fonction 1 2 4 Fonctions com/limites-fonctions-continues-fonctions-da-c-rivabl/zOM1RLX6-tD pdf Vente
Les fonctions réciproques - Méthode Maths
OR CECI N'EST PAS VRAI !!! La vraie formule est : (x est la valeur absolue de x) Alors comment faire ?? Et bien on sait que
[PDF] Fonctions réelles
Par contre toute fonction bijective a la réciproque donc l'ensemble des Valeur absolue La valeur absolue est la fonction: RR définie pour tout
[PDF] Chapitre 2 : Fonctions dune variable réelle
2 5 Antécédent image directe et image réciproque 3 1 La valeur absolue Définition La fonction valeur absolue notée est définie par :
Comment faire la réciproque d'une fonction valeur absolue ?
Si la fonction valeur absolue est ouverte vers le bas (lorsque a est négatif), l'ouverture de sa réciproque est vers la droite. Dans ce cas, ima(f)=]??,k]=dom(f?1).Quelle est la formule de la réciproque ?
La relation réciproque d'une fonction f de X dans Y est la relation notée f-1, de Y dans X, telle que, pour tous les éléments du domaine de f, si y = f(x), alors x = f -1(y).Comment trouver la réciproque d'une fonction ?
La réciproque d'une fonction f s'obtient en intervertissant les valeurs de x et de y puis en isolant y . Elle se note f?1 . On obtient le graphique d'une réciproque en faisant subir à notre fonction une réflexion par rapport à l'axe y=x .- Définition de la réciproque
Quand on a une propriété qui s'écrit "Si A alors B", la réciproque serait "Si B alors A". "Si ce mammifère est l'Homme alors ce mammifère peut parler." "Si cet animal est l'Homme alors cet animal peut parler." Fausse car les perroquets parlent aussi.
![Continuité et dérivabilité dune fonction Continuité et dérivabilité dune fonction](https://pdfprof.com/Listes/18/8776-1804_Cours_continuite_derivabilite_fonction.pdf.pdf.jpg)
Continuité et dérivabilité d"unefonction
Table des matières
1 Continuité d"une fonction2
1.1 Limite finie en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Continuité en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Continuité des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Théorème du point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Continuité et dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Continuité et équation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Dérivabilité6
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Interprétations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Interprétation graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Interprétation numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.3 Interprétation cinématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Signe de la dérivée, sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Dérivée et extremum local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Dérivées des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.1 Dérivée des fonctions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.2 Règles de dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.3 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1 Continuité d"une fonction
1.1 Limite finie en un point
Définition 1 :Dire qu"une fonction
fa pour limite?ena, signifie que tout intervalle ouvert contenant?contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche dea- c"est à dire pour lesxd"un intervalle]a-η;a+η[. On note alors : lim x→af(x) =? a a+ηa-ηC f O?? Remarque :Parfois la fonctionfn"admet pas une limite ena, mais admet une limite à droite et une limite à gauche. C"est le cas de la fonction partie entièreE (voir plus loin). On a par exemple : limx→2-E(x) =1 et limx→2+E(x) =21.2 Continuité en un point
Définition 2 :Soit une fonctionfdéfinie sur un intervalle ouvert I. Soitaun élément de I. On dit que la fonctionfestcontinueenasi et seulement si : lim x→af(x) =f(a) La fonctionfestcontinue sur un intervalle Isi, et seulement si,fest continue en tout point de I. Remarque :Graphiquement, la continuité d"une fonctionfsur un intervalle I se traduit par une courbe en un seul morceau. 1231 2 3 4 5-1
]Cf OFonctionfdiscontinue en 2
limx→2+f(x) =3?=f(2) 1231 2 3 4 5-1
Cf OFonctionfcontinue sur[-1,5; 5,5]
La fonction de gauche représente une discontinuité par "saut". C"est le cas par exemple de la fonction partie entière ou plus pratiquement de la fonction qui représente les tarifs postaux en fonction du poids (brusque changement de tarif entre les lettres en dessous de 20 g et de celles entre 20 g et 50 g).PAULMILAN2 TERMINALES
1. CONTINUITÉ D"UNE FONCTION
D"autres discontinuités existent. C"est par exemple le cas en 0 de lafonctionf définie parf(x) =sin1 xpourx?=0 etf(0) =0. ?x?R,?n?Z,n?xE(2,4) =2 ;E(5) =5 ;E(-1,3) =-2
On observe alors un "saut" de la fonction pour
chaque entier. La fonction partie entière n"est donc pas continue pourxentier. 123-1 -21 2 3 4-1-2 O
Soit la fonctionfdéfinie par :???f(x) =sin1
xpourx?=0 f(0) =0La fonctionfn"est pas continue en 0 bien qu"on
n"observe ici aucun "saut". La fonction oscille de plus en plus autour de 0 si bien qu"au voisi- nage de 0, la fonction tend vers une oscillation infinie qui explique la non continuité. 1 -11-1O1.3 Continuité des fonctions usuelles
Propriété 1 :Admis
Les fonctions polynômes sont continues surR. La fonction inversex?→1xest continue sur]-∞;0[et sur]0;+∞[ La fonction valeur absoluex?→ |x|est continue surR. La fonction racine carréex?→⎷xest continue sur[0;+∞[ Les fonctionsx?→sinxetx?→cosxsont continues surR D"une façon générale, toutes fonctions construites par opération ou par com- position à partir des fonctions ci-dessus sont continues sur leur ensemble de définition, en particulier les fonctions rationnelles.1.4 Théorème du point fixe
Théorème 1 :Théorème du point fixe
Soit une suite(un)définie paru0etun+1=f(un)convergente vers?. Si la fonction associéefest continue en?, alors la limite de la suite?est solution de l"équationf(x) =x.PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Démonstration :
On sait que la suite(un)est convergente vers?donc : limn→+∞un=? De plus, la fonctionfest continue en?donc : limx→?f(x) =f(?)Par composition, on en déduit que : lim
n→+∞f(un) =f(?)?limn→+∞un+1=f(?) or lim Exemple :Reprénons l"exemple du chapitre 2, soit la suite(un) ?u0=0 u n+1=? 3un+4 On a montré que la suite(un)était positive, croissante et majorée par 4, elle est donc convergente vers?. La fonctionx?→⎷3x+4 est continue sur[0;4], donc?
est solution de l"équationf(x) =x.3x+4=xon élève au carré
3x+4=x2
x2-3x-4=0
Cette équation a-1 et 4 comme solution. Or on sait queun?0. On en déduit que la seule solution acceptable est 4. La suite(un)converge vers 4.1.5 Continuité et dérivabilité
Théorème 2 :Admis
Sifest dérivable enaalors la fonctionfest continue ena. Sifest dérivable sur un intervalle I alors la fonctionfest continue sur I. ?La réciproque de ce théorème est fausse Remarque :Laréciproquedecethéorèmeestfausse.Pours"enrendrecompte,on peut s"appuyer surunereprésentation graphique.Siunefonction est continuesur un intervalle, sa représentation graphique est en un seul morceau. Sila fonction est dérivable, sa représentation graphique admet une tangente en chacun de ses points. Un petit exemple :La fonction dont la représentation est
ci-contre, est bien continue ena, car la courbe est en un seul morceau.Par contre, la fonction n"est pas déri-
vable ena, car la représentation admet au point A deux demi-tangentes.Onditquelacourbeadmetunpointan-
guleux A O a?PAULMILAN4 TERMINALES
1. CONTINUITÉ D"UNE FONCTION
La fonction valeur absoluex?→ |x|est continue mais pas dérivable en 0.1.6 Continuité et équation
Théorème 3 :Théorème des valeurs intermédiaires Soit une fonctioncontinuesur un intervalle I= [a,b]. Pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), il existe un réelc?I tel quef(c) =k.Remarque :Ce théorème est admis.
Ce théorème résulte du fait que l"image
d"un intervalle deRpar une fonction continue est un intervalle deRVoici une illustration graphique. Icik
est bien compris entref(a)etf(b).L"équationf(x) =kadmet donc des so-
lutions.Le fait quecexiste ne veut pas dire
qu"il soit unique. Dans notre exemple, il existe ainsi trois valeurs pourc. abf(a) f(b)k c1c2c3O
Théorème 4 :Théorème des valeurs intermédiaires bis Soit une fonctionfcontinue et strictement monotonesurI= [a,b]. Pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), l"équationf(x) =ka une unique solution dans I= [a,b] Démonstration :L"existence découle du théorème précédent, et l"unicité de la monotonie de la fonction.Remarque :
On généralise ce théorème à l"intervalle ouvertI=]a,b[.kdoit alors être com- pris entre limx→af(x)et limx→bf(x) Lorsquek=0, on pourra montrer quef(a)×f(b)<0.Ce théorème est parfois appelé le théorème de la bijection car lafonction réalise
une bijection de I surf(I). Un tableau de variation pourra être suffisant pour montrer la continuitéet la monotonie de la fonction. Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x3+x-1. Montrer que l"équationf(x) =0 n"admet qu"une solution surR. On donnera un enca- drement à l"unité de cette solution. Trouver ensuite, à l"aide d"un algorithme un encadrement à 10 -6de cette solution.PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
123-1 -20.5 1.0 1.5 Oα
La fonctionfest une fonctioncontinuesurRcarf
est un polynôme.La fonctionfest la somme de deux fonctions crois-
santesx?→x3etx?→x-1, doncfeststrictement croissantesurR.On af(0)=-1 etf(1)=1?f(0)×f(1)<0
donc d"après le théorème des valeurs intermé- diaires, la fonctionfadmet un uniqueα?[0,1] tel quef(α) =0.Algorithme :Un algorithme utilisant le
principe dedichotomie(on divise l"intervalle en deux et on réitère l"opération) permet de trouver une approximation deαà la précision demandée. On pose :AetBles bornes de l"intervalle.
Pla précision (entier positif).
Nle nombre d"itérations.
On rentre alors :A=0,B=1,P=6 et
f(x) =x3+x-1On obtient alors :A=0,682 327,B=0,682 328
etN=20. Il faut donc 20 itérations pour obtenir la préci- sion demandéeVariables:A,B,Créels
P,Nentiersffonction
Entrées et initialisation
LireA,B,P
0→N
Traitement
tant queB-A>10-Pfaire A+B2→C
sif(A)×f(C)>0(*)alorsC→A
sinonC→B
finN+1→N
finSorties: Afficher :A,B,N
?Cette algorithme ne fonctionne que sik=0, si l"on veut généraliser cet algorithme à un réel
kquelconque, on peut : demander à lireKet changer la ligne étoilée par : f(A)-K)×(f(C)-K)>0 au lieu de rentrer la fonctionf, on rentre la fonctiongtelle que : g(x) =f(x)-k2 Dérivabilité
2.1 Définition
Définition 3 :Soit une fonctionfdéfinie sur un intervalle ouvertIetaun point de I. On dit que la fonctionfest dérivable enasi et seulement si le taux d"accroissement de la fonctionfenaadmet une limite finie?ena, c"est à dire : lim h→0f(a+h)-f(a) h=? Dans ce cas, on appelle?le nombre dérivé defenaet on le notef?(a) Lorsque la fonctionfest dérivable sur un intervalle I, on notef?, la fonction dérivée qui à toutxdeIassocie son nombre dérivéef?(x).PAULMILAN6 TERMINALES
2. DÉRIVABILITÉ
Remarque :
Si la fonctionfest dérivable enaalors la fonctionfest continue ena Les physiciens expriment volontiers une variation à l"aide du symboleΔ; il notent ainsiΔx=x-aetΔy=f(x)-f(a). Pour une variation très petite, on note alors dxet dy. On obtient alors la nota- tion différentielle de la dérivée : f ?=dy dxetf?(a) =dydx(a) Exemple :Soit la fonction par morceaux définie par : ?f(x) =x2-2x-2 six?1 f(x) =x-4 xsix>1 Étude de la continuité et de la dérivabilité en 1. Continuité en 1. La continuité à gauche de 1 ne pose pas de problème, car une fonction polynôme est continue sur]-∞;1]. Il faut donc étudier la continuitéà droite.
lim x→1+x-4 x=-3 etf(1) =12-2×1-2=-3 on a donc : lim x→1+x-4 x=f(1)la fonctionfest donc continue en 1 Dérivabilité en 1. La dérivabilité à gauche de 1 ne pose pas de problème car une fonction polynôme est dérivable sur]-∞;1]. six?1, on af?(x) =2x-2 doncf?g(1) =0 Pour la dérivabilité à droite, il faut revenir à la définition. On calcule alors : f(1+h)-f(1) h=1+h-4 1+h+3 h=4hh(1+h)=41+hOn a donc :
lim h→0-41+h=4 doncf?d(1) =4
Commef?g(1)?=f?d(1)la fonctionf
n"est pas dérivable en 1.Graphiquement la fonctionfest en un
seul morceau et possède un point an- guleux en 1. -1 -2 -31 2 3 4-1-2 Cf A OPAULMILAN7 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
2.2 Interprétations
2.2.1 Interprétation graphique
Théorème 5 :
Lorsquefest dérivable ena, la courbe
représentativeCfde la fonctionfad- metaupointA(a,f(a))unetangentede coefficient directeurf?(a)dont l"équa- tion est : (T) :y=f?(a)(x-a) +f(a) AM xy a f(a) OC f(T) Remarque :Il est important de retenir que le nombre dérivé représente le coef- ficient directeur de la tangente à la courbe en un point.2.2.2 Interprétation numérique
Théorème 6 :Lorsqu"une fonctionfest dérivable ena, une bonne approxi- mation affine, lorsquea+hest voisin deaest : f(a+h)≈f(a) +hf?(a) Exemple :Déterminer une approximation affine de⎷4,03.On posef(x) =⎷
x,a=4 eth=0,03. On calcule alors la dérivée en 4. f ?(x) =12⎷xdoncf?(4) =14
et doncf(4,03)≈f(4) +0,03×14≈2,0075
On obtient donc :
4,03≈2,0075 à comparer à la valeur donnée par la calcu-
latrice 2,007 486. La précision est donc de 10 -4.2.2.3 Interprétation cinématique
Si on appellex(t)la loi horaire d"un mouvement, alorsx?(t)représente la vitesse instantanée à l"instantt. De même, si on appellev(t)la vitesse instantanée à l"ins- tantt, alorsv?(t)représente l"accélération à l"instantt. Ainsi, avec les notations des physiciens, la vitesse instantanéevet l"accélération as"écrivent : v=dx dteta=dvdt=d2xdt2PAULMILAN8 TERMINALES
2. DÉRIVABILITÉ
2.3 Signe de la dérivée, sens de variation
Théorème 7 :Soit une fonctionfdérivable sur un intervalle I. Si la fonction dérivéef?estnulle, alors la fonction estconstante. Si la fonction dérivée eststrictement positive(sauf en quelques points isolés de I où elle s"annule), alors la fonctionfeststrictement croissantesur I. Si la fonction dérivée eststrictement négative(sauf en quelques points isolés dequotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] racine carrée de 1 4
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