Examen de géométrie dans lespace et visualisation Durée : 3 PDF

Ces exercices couvrent les quatres chapitres du polycopié de cours de la mécanique du Soient et trois vecteurs de l'espace et soit ?.

Polycopié dexercices et examens résolus: Mécaniques des

Ces exercices couvrent les sept chapitres du polycopié de cours de la mécanique des systèmes indéformables : Calcul vectoriel-Torseurs. Cinématique du solide

Cinématique et dynamique du point matériel (Cours et exercices

Le vecteur de la vitesse instantanée est tangent à la trajectoire et sa direction suivant la direction du mouvement. Les coordonnées du vecteur vitesse suivant

Examen de géométrie dans lespace et visualisation Durée : 3

c) et une formule de distance entre deux droites. Les points et vecteurs introduits doivent être définis précisément. Question de cours 2 Énoncer le

Exercices de mathématiques - Exo7

10 352.00 - Géométrie différentielle (Examen). 101. 2 Deux angles de vecteurs inscrits dans un cercle interceptant le même arc de cercle sont de même ...

Plan de cours

2. Étude personnelle : 3. Professeur du cours. Bureau. poste. ? courriel Lectures et exercices ... Angle entre deux vecteurs de l'espace.

Cours et Exercices de mécanique du point matériel

Ce recueil de cours d'exercices et problèmes d'examens de mécanique du point matériel est 2- Déterminer l'angle que font entre eux les vecteurs 1.

Plan de cours

2/12. Belqassem Mehdaoui. 1 PLACE DU COURS DANS LA FORMATION DE L'ÉTUDIANT Lectures et exercices. PÉRIODE DES ... Angle entre deux vecteurs de l'espace.

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2/12. Belqassem Mehdaoui. 1 PLACE DU COURS DANS LA FORMATION DE L'ÉTUDIANT Lectures et exercices. PÉRIODE DES ... Angle entre deux vecteurs de l'espace.

FINALE FASCICULE MATHS 3EME ok

Chapitre 1 : THÉORÈME DE THALÈS. Chapitre 2 : RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES DANS UN TRIANGLE RECTANGLE. Chapitre 3 : ANGLE INSCRIT. Chapitre 4 : VECTEURS.

Examen de geometrie dans l'espace et visualisation

Duree : 3 heures | 13 juin 2012

Calculatrice interdite. Le sujet comporte deux pages. Le total des points depasse

20, les notes seront tronquees a 20.

Question de cours 1On se place dans un espace euclidien de dimension trois. Donner sans demonstration dans le systeme de parametrage de votre choix : a) une formule de distance d'un point a un plan; b) une formule de distance d'un point a une droite; c) et une formule de distance entre deux droites. Les points et vecteurs introduits doivent ^etre denis precisement.

Question de cours 2

Enoncer le theoreme de Thales (et faire une gure). Question de cours 3SoitPun polygone regulier convexe du plan anc^otes. Donner sans demonstration une formule pour l'angle entre deux c^otes consecutifs. Question de cours 4SoitABCun triangle spherique, sur une sphere de rayon un. On note, et ses angles. Donner sans demonstration une formule pour l'aire (spherique) du triangle. Question de cours 5On considere un tetraedre regulier de l'espace euclidienR3. Dire sans demonstration combien de rotations (y compris la rotation triviale Identite) le laissent globalement invariant, et quels sont leurs angles et leurs axes. Bonus : m^eme question pour le cube et le dodecaedre.

Exercice 1 : un endomorphisme a reconna^tre

1) On considere la matriceB=19

0 @8 14 4 47

1 8 41

A . Montrer qu'elle est orthogonale, et que c'est une rotation.

2) Calculer l'axe et l'angle de rotation.

Exercice 2 : une conique a reduireSoitC R2la conique denie par l'equation 3x2+4y2+

2p6xy+ 3x+ 2y+ 6 = 0, dans le repere orthonorme canoniqueR.

1) On sait qu'il existe un autre repere orthonorme dans lequel la conique a une equation

reduite. Donner cette equation reduite ainsi que le type de la conique (sans preciserR0, mais on pourra calculer le centre).

2) Preciser le repere orthonormeR0(coordonnees des vecteurs).

Exercice 3 : une etude de coniqueDans tout l'exercice, on se place dans le plan euclidien R

2muni de son repere orthonorme direct canoniqueR. Les coordonnees et equations donnees ou

demandees seront toujours relatives a ce repere, sauf mention explicite. 1

1) Donner les coordonnees du symetrique orthogonal d'un pointPde coordonnees (a;b) par

rapport a la droiteDd'equationy=x=p3 (on pourra commencer par trouver un vecteur directeur norme). On considere maintenant le polyn^ome a deux variables

P=X2+ 2p3XY+ 3Y28p3X+ 8Y:

Il denit une coniqueC=f(x;y)2R2jP(x;y) = 0gdu planR2muni de sa base canonique.

Le but de l'exercice est d'etudier cette courbe.

2) Donner un repere orthonorme directR0du plan dans lequel la conique a une equation

reduite (et donner l'equation dansR0). Preciser le type de la conique.

3) Montrer que la droiteDest un axe de symetrie pour la conique.

4) Trouver les (cinq) points de la conique d'ordonnees 0, 1 et 3=2.

5) Donner l'equation des tangentes en ces points.

6) Tracersoigneusementla conique dans le repere orthonorme canoniqueR(unite=1cm),

ainsi que les tangentes et les points calcules plus haut. On donne les approximations sui- vantes :1;411) En comptant les ar^etes a partir des faces ou des sommets, ecrireSetFen fonction den, detA(c'est du cours mais on demande de le demontrer).

2) En utilisant la formule d'Euler, exprimerAen fonction denetv. Montrer quen6= 6.

Autrement dit, on ne peut pas paver de facon combinatoirement reguliere une sphere par des hexagones, reguliers ou pas. Exercice 5 : l'icosaedre (Bonus)Dans toute la suite on note=12 1 +p5 le nombre d'or.

On a donc1=1 =p512

. On se place dans l'espaceR3muni de sa structure euclidienne orientee canonique. SoientA,B, etCles points de coordonnees (;1;0), (1;0;), et (0;;1). On noteOl'origine, de coordonnees (0;0;0),Gle centre de gravite du triangleABC,xla re exion orthogonale d'axeOyz,zla re exion orthogonale d'axeOxy,Ala re exion orthogonale suivant le planOBC. a) Montrer que le triangleABCest equilateral et calculer la longueurAB. b) Calculer les coordonnees du pointG. c) SoitPle projete orthogonal de B sur la droite (OC). Calculer ses coordonnees. d) Donner une equation du planABP. e) Donner une equation du planOBC. f) On noteA0=x(A) etC0=z(C). Donner leur coordonnees. g) Calculer la matrice (dans la base canonique) deA. h) On noteB0=A(A). Calculer les coordonnees deB0. i) Montrer que les trianglesBCB0,B0CA0,A0CC0etC0CAsont equilateraux. j) Montrer que les pointsA,A0,B,B0etC0sont coplanaires. k) Calculer l'angle \BPA. Le polygoneABB0A0C0est-il un pentagone regulier convexe? l) Expliquer, sans faire les calculs, comment obtenir un icosaedre (c'est-a-dire un polyedre regulier a 12 sommets) a partir de cette construction. 2quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Duree : 3 heures | 13 juin 2012

20, les notes seront tronquees a 20.

Question de cours 2

Exercice 1 : un endomorphisme a reconna^tre

1) On considere la matriceB=19

1 8 41

2) Calculer l'axe et l'angle de rotation.

2p6xy+ 3x+ 2y+ 6 = 0, dans le repere orthonorme canoniqueR.

1) On sait qu'il existe un autre repere orthonorme dans lequel la conique a une equation

2) Preciser le repere orthonormeR0(coordonnees des vecteurs).

2muni de son repere orthonorme direct canoniqueR. Les coordonnees et equations donnees ou

1) Donner les coordonnees du symetrique orthogonal d'un pointPde coordonnees (a;b) par

P=X2+ 2p3XY+ 3Y28p3X+ 8Y:

Le but de l'exercice est d'etudier cette courbe.

2) Donner un repere orthonorme directR0du plan dans lequel la conique a une equation

3) Montrer que la droiteDest un axe de symetrie pour la conique.

4) Trouver les (cinq) points de la conique d'ordonnees 0, 1 et 3=2.

5) Donner l'equation des tangentes en ces points.

6) Tracersoigneusementla conique dans le repere orthonorme canoniqueR(unite=1cm),

2) En utilisant la formule d'Euler, exprimerAen fonction denetv. Montrer quen6= 6.

On a donc1=1 =p512