Chapitre 7 - Trigonométrie et angles orientés
Le radian noté rad
Vecteurs et colinéarité. Angles orientés et trigonométrie
21 févr. 2017 ?2x ? 4y + 16 = 0 en multipliant par (?2). PAUL MILAN. 6. PREMIÈRE S. Page 7 ...
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Angles orientés et trigonométrie I. Cercle trigonométrique radian
Alors chacun des nombres associés à x de la forme x+2k?
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Première S Cours angles orientés - trigonométrie 1 I Repérage sur
Exemple : un angle plat (180°) mesure exactement ? radians soit environ 3
TRIGONOMÉTRIE (Partie 1)
Mesures d'angles sur le cercle trigonométrique. 1) Exemple : Ci-contre l'angle orienté ? ; ? mesure mà radians en tournant dans le sens direct.
Chapitre7
Trigonométrieetanglesorientés
7.1Cerc letrigonométriqueetmesu red'angle
Définition7.1.1.Unce rcletrigonométrique Cestuncer clederay on1surleq uelnousdistingueron s deuxsensdep arcours: •les ensdirectlor squelecercleestparcou rudanslesensinversedesaigui llesd'un emontre; •les ensindirect lorsquelecercleestparcouruda nslesensdesai guillesd'unemontre. Remarque.Lesmes uressuivantesseron tutilesparlasuite:lalong ueurd'uncerclevaut2π,celle dude mi-cerclevautdoncπetcel led'unqua rtdecerclevaut 2 Lecer cletrigono métriquepermetd'introduireunenouvelleunitédemesured'angles:leradian. Définition7.1.2.Lera dian,notérad,estlamesured'unangleaucentrequiinterceptesurle cercleCuna rcdelongue ur1. Remarque.Ilya une rel ationdepr oportionnalitéentrelesd egrése tlesradians.Eneffet,nous savonsquelarela tionsuivan teestvé rifiée360de gréséquivautà2πrad( lalongueurd ucercletrigonométrique)
C'estpourquo inousavonsletableausuiv ant:
Degrés360d
Radian2πr
Ceta bleaudeproportionnal iténou sfournitlarelationsuivante180×r=d×2πquiper metde convertirdesdegrésenradian etvice-ver sa. Lesv aleursremarquablessui vantessontàconnaitreDegrés030456090120135150180
Radian0
6 4 3 2 2π 3 3π 4 5π 6 5758CHAPITRE7.TRIGONOMÉTR IEETANG LESORIENTÉS
7.2Anglé orientéd'uncoup ledevecteurs
Nousallons voirqu'ilestpossi bled'orienter leplanetd'utiliserlecercletrigo nométri quepour associerlamesured'unangle entrede uxvecteursnonnul s.Aceteffet,soi ent uet vdeuxvect eurs nonnuls. Apartirducentr eOduce rcletrigonométriqueC,ilexistedeuxpointsduplanMetN telsque OM= uet ON= v Depl us,observonsque lesdemi-droites[OM)et[ON)coupentlecercleendespointsAetB.La longueurl,surlecercleC,entrelespointsAetBvape rmettrededéfinirlamesuredel 'angle associéauxvecteurs uet v.Définition7.2.1.Danslec ontexte précédent,lafamilledes nombresréelsl+2kπ,aveck∈Z,est
unemesur edel'angleorien té( u, v). Remarque.Dema nièreinformelle,lenom brekindiquelenombredet our (ducercletrigonomét rique) quiaété fai t.Enprati que,nousallonss ouvent confondreunangleavecl 'unedesesmes ures.Notons aussiquel'ordre desvecteu rs uet vestimpo rtant.Eneffet,si( u, v)=lalors( v, u)=2π-l.7.2.1Mesure principaled'unangl eorientédevecteurs
Certainsmesuressontplu ssimplesàutiliserque d'autres. Définition7.2.2.Parmilesmesur esl+2kπ,aveck∈Z,d'unangleorienté( u, v),ilenexiste uneetune seuleap partena ntàl'interva lleI=]-π;π].Cettemesures'appellelamesureprincipale de( u, v). Remarque.Lava leurabsoluedelam esureprincipaled'unang lecoïnci deavecl'anglegéométrique définiparle sdeuxvec teurs uet "toursdecercle»:si( u, v)=lalorstoute slesautresmesuresd ecetangles ontdelaforme l+2kπaveck∈ZVoyonscequenous obteno nssurdeux exemples.
Exemple7.2.1.1.Su pposonsque(
u, v)= 376
πetdét erminonslamesureprincipaledecet
angleorienté. Pourcela,ilsuffitd'observerque37π
66×6+1
6π=(6+
1 6 6 +3×2π; lame sureprincipaleestdonc 62.De manières imilaire,si(
u, v)=202π
3 nousavons202π
367×3+1
3 3 +67π;ici,ilfau tpo ursuivreunpeu noscalculsafindefaireapparaitreunmult iplede2πàlaplace de6 7π.Celas'effectuedelama nièresu ivante
67π=68π-π,
7.3.FON CTIONCOSINUSETSINUSD'UNAN GLEORIENTÉ59
ainsi 3 +67π=3 +68π-π=-
2π 3 +34×2π.Lamesureprincipalevautdonc-
2π 3 etl 'angle géométriqueassociéapourmesure 2π 3 2π 3
7.2.2Proprié tésdesanglesorientés
Voiciquelque spropriétésdesanglesori entés,celles-cis'obtiennentgrâceàducalculvecto riel.
uet vdeuxvecteu rsnonnuls.Alors •direque uet vsontcoliné airesetdemêmesensestéquivalentà( u, v)=0; •direque uet vsontcoliné airesetdesensopposéestéquivalentà( u, v)=π Remarque.Ceré sultatdonneuneautrefaço ndeprouverquetr oispoints sontaligné soudemontrer quedesd roitesson tparallèles. Unerel ationdeChaslesexisteéga lemen tpourlesanglesorientés.Proposition24(RelationdeChasles).Soient
u, vet wdesvect eursnonnuls,alors u, v)+( v, w)=( u, w) Remarque.Encons équencedecetterelationdeChasles,n ousavo nslesrelationssuivantes: v, u)=-( u, v);( u,- v)=( u, v)+π;(- u, v)=( u, v)+π;(- u,- v)=( u, v) Iles tégalemen timportantd'observerquelas ubstitutiond'unvect eurparunautrevecteur coli- néaire,demêmesens,n'affectepasl emesuredel 'angle orienté.Par exemple (2 u, v)=( u, v);( u,3 v)=( u, v);(2 u,3 v)=( u, v)7.3Foncti oncosinusetsinusd 'unangleorienté
Pourintro duirecesnouvellesfonctions,il estimport antdeseplacerdansunrepèreorthonormé (O;I;J)direct;si i= OIet j=OJcecisi gnifieque
i∥=∥ j∥=1et ( i, j)= 2 Définition7.3.1.Dansunt elcadr e,àtoutpo intsMappartenantaucercletrigonomét riq ueCde •nousnotero nsθunemes uredel'angleorie nté( OI, OM); •leco sinusdeθ,notécos(θ),correspondraàl'abscissedupointM; •lesi nusdeθ,notésin(θ),correspondraàl'ordonnéedupointM.60CHAPITRE7.TRIGONOMÉTR IEETANG LESORIENTÉS
OO II JJ MM cos(θ) sin(θ) Voyonsquelquesp ropriétésdecesnouvelles fonctions.Toutd'abord,ilestimportantdecalculer quelquesvaleursrema rquablesdecesfonctions .7.3.FON CTIONCOSINUSETSINUSD'UNAN GLEORIENTÉ61
x y 0 3060
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
6 4 3 2 2π 3 3π 4 5π 6 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4
11π
6 2π 3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 (-1,0)(1,0) (0,-1) (0,1) Surla figurepréc édente,l'a bscissedechaquepointfournilavaleurducosinusdel'anglecor- respondantetl'ordonnéelavale urdus inus.Parexemple,lepointM( 1 2 3 2 )permetdesavoir quequotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] angle orienté entre deux vecteurs PDF Cours,Exercices ,Examens
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