[PDF] TD n 8 : Intégrales impropres

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ECE2TD n8 : Integrales impropres

Exercice 1.

Etude de la convergence a l'aide de la denition

Etudier la convergence, et en cas de convergence, preciser la valeur des integrales : I 1=Z +1

01(2t+ 3)2dt I2=Z

+1 012 tdt I3=Z +1 21t
pt dt I4=Z +1 1lntt

2dt I5=Z

+1 1t

2t+ 1dt

Exercice 2. Utilisation des criteres de comparaison

Etudier la convergence des integrales :

I 1=Z +1 1 ln

1 +1pt

dt I2=Z +1

1tlnt(1 +t2)2dt I3=Z

+1 1 exp 1pt dt Exercice 3. Fonction denie par une integrale (Edhec 2007)

On considere la fonctionfdenie par :

f(t) =lnttlntsit >0 etf(0) =1

1. (a) Montrer quefest denie et continue sur [0;+1[.

(b) Determiner le signe defsur [0;+1[.

2. On considere la fonctionFdenie sur [0;+1[ par :F(x) =Z

x 0 f(t)dt (a) Montrer queFest de classeC1sur [0;+1[, puis etudier ses variations. (b) Determiner lim x!+1Z x 1lntt dt. (c) En deduire lim x!+1Z x

1lnttlntdtpuis limx!+1F(x).

(d) Donner l'allure de la courbe representative deF.

Exercice 4. Ecricome 1997 (suite)

Soitun reel tel que >1. Pour toutn2N, on pose :un() =n!n Y k=0(+k)

On a vu dans le TD n

o4 que :un()!n!+10. Le but de l'exercice est d'etudier la nature de la serie de terme generalun() pour >1 (on avait que pour1 cette serie diverge). Pour cela, on pose pour tout entier natureln:In() =Z +1 0 et1etndt

1. (a)

Etudier la convergence de l'integrale generaliseeIn() et calculerI0(). (b) Soit un reelxstrictement positif. Integrer par parties :Z x 0 et(1et)ndt et en deduire une relation simple entreIn() etIn1(+ 1), pour toutnentier naturel non nul. (c) En deduire :8n2N; In() =un()

2. (a) Montrer que, pour toutNentier naturel :NX

n=0I n() =11IN+1(1) (b) En deduire que la serie de terme generalun() converge et donner en fonction dela valeur de+1X n=0u n().

Exercice 5. Calculs d'integrales

1. Justier l'existence puis calculer :

(a)Z 1

012 +tdt(b)Z

1

0ptdt(c)Z

1 0 tet2dt(d)Z e 1lntt dt(e)Z 4 213
tdt

2. Justier l'existence puis calculer

Z 1 0t

3p1 +t2dt.

3. Justier l'existence puis calculer

Z 1

0pttpt+ 1dt. (On pourra poseru=pt+ 1.)

Exercice 6. Extensions

1. Etudier la convergence, et en cas de convergence, preciser la valeur des integrales : I 1=Z +1 1 etdt I2=Z +1 1 tet2dt

2. M^eme question avec :

I 1=Z 1

01p1tdt I2=Z

1=e

01t(lnt)2dt I3=Z

1

0lntpt

dt I4=Z 1

1tp1t2dt

3. (a) En eectuant le changement de variableu= 1t, etudier la convergence de l'integraleI1=Z

1

0ln(1 +t)p1t2dt.

(b) En eectuant le changement de variableu=11t, etudier la convergence de l'integraleI3=Z 1 0 exp1t1 dt. Exercice 7. Changement de variable, integration par parties (Ecricome 1999)

On admet que l'integrale generaliseeZ

+1 0 eu2duconverge et vautp 2 Soitun reel strictement positif. Sixest un element deR+, on pose :

I(x) =Z

x 0

2u2eu2duetJ(x) =Z

x 0 t2e(t=)2dt

1. A l'aide d'un changement de variable, exprimer, pour tout elementxdeR+,J(x) en fonction deIx

2. A l'aide d'une integration par parties, montrer que, pour tout elementxdeR+:

I(x) =Z

x 0 eu2duxex2

3. En deduire que l'integrale generalisee

Z +1 0 t2e(t=)2dtconverge et vaut3p 4 Exercice 8. Fonction continue par morceaux (Ecricome 2010) On considere l'application'denie surR+par :8x2R+; '(x) = ln(x)ln(x+ 1) +1x

1. On rappelle que ln(2)0;7 et ln(3)1;1.

Montrer que l'equation'(x) = 1 possede une unique solution noteeet que :13 < <12

2. On considere la fonctionfdenie surRpar :

8< :f(x) =1x

2(x+ 1)six >

f(x) = 0 six6 (a) Montrer quefest continue par morceaux surR. (b) Montrer que l'integraleZ +1 1 f(t)dtconverge et donner sa valeur. (c) Montrer que l'integrale Z +1 1 tf(t)dtconverge absolument. On note alorsE=Z +1 1 tf(t)dt. (d) Demontrer que pour toutt > :tf(t) ='0(t) +1t 2 En deduire la valeur deE, puis donner un encadrement deEpar deux entiers consecutifs. (e) L'integraleZ +1 1 t2f(t)dtconverge-t-elle?quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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