[PDF] Fiche dexercices n 8 Primitives et intégrales 1 Exercices

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Universite Claude Bernard Lyon 1 PCSI L1 UE TMB

Printemps 2014

Fiche d'exercices n

8

Primitives et integrales

1 Exercices obligatoires

Exercice 1.Calculer par parties les integrales suivantes : a)Z x

2lnx dx; b)Z

lnx dx; c)Z xe xdx; d)Z cosxexdx: Exercice 2.En eectuant un changement de variable, calculer les integrales suivantes : a)Z cosxsinx dx; b)Z x(x21)5dx; c)Z11 + px dx; d)Z11 +exdx:

Exercice 3.Calculer les integrales suivantes :

a)Z 2 0 f(x)dxouf(x) =1si0x1; x si1< x2:; b)Z 2

1jxjdx;

c)Z =2 0 xsinx dx; d)Z 1

011 +xdx:

Exercice 4.Calculer les integrales suivantes :

a)Zx+ 2x

23x+ 2dx; b)Z1x

21dx; c)Z1x(x+ 1)2dx; d)Z1x

2+x+ 1dx:

Exercice 5.Calculer les integrales suivantes :

a)Z sin

2x dx; b)Z

tanx dx; c)Z sin

2xcos3x dx; d)Zsin3xcos

2xdx:

Exercice 6.Calculer les integrales suivantes :

a)Z xpx

2+ 1dx; b)Z1x

rx1x+ 1dx; c)Zpx

21dx; d)Z

rx+ 1x dx:

Exercice 7.

1. Montrer que l'aire du disque de rayonrvautr2.

2. Calculer l'aire de la portion de plan delimite par les courbes des fonctionsf(x) =x+12x2,g(x) =x

et les droites d'equationx= 1 etx= 2.

2 Exercices facultatifs

Exercice 8.Calculer les integrales suivantes :

a)Z1xlnxdx; b)Zexpe x+ 1dx; c)Z x

2cos(2x)dx

d)Z xarctanx dx; e)Z 1 01x

2+ 1dx:

1

Exercice 9.Calculer les integrales suivantes :

a)Zxpx

2+ 1dx; b)Zsinx32cos2xdx; c)Z1sinxdx;

d)Z1(x2+ 1)2dx; e)Zx2x1dx; f)Z 1 0 x2p1 +x3dx:

Exercice 10.

1. Calculer l'aire de la portion de plan delimitee par la courbe de la fonctionf(x) =x2p1 +x3, par l'axe

desxet par les droites d'equationx= 0 etx= 1.

2. Calculer l'aire de la portion de plan delimite par les courbes des fonctionsf(x) =x22

,g(x) =11 +x2.

Exercice 11.

1. Calculer la longueur de l'arc de courbe de la fonctionf(x) = chxde (0;1) a (a;ch(a)) oua >0.

2. Calculer la longueur de l'arc de paraboley=x2de (0;0) a (1;1).

(Rappel : La longueur d'un arc, dans un repere orthonorme, decrit par une fonctionf(x)de classeC1, lorsquexvarie deaab, vautZ b ap1 +f02(x)dxen unites de longueur.)

Exercice 12.Calculer les integrales suivantes :

a)Zexe

2x1dx; b)Z1chxdx; c)Z

sh

2x dx;

d)Zcosx2 + cosxdx; e)Z1(x21)2dx; f)Z rx 1xdx: Exercice 13.Soita >0 et soitfla fonction denie parf(x) =x3=2. SoitCla portion de la courbe def delimitee par 0 eta. Calculer le volume engendre par la rotation deCautour de l'axe desx. Exercice 14.Calculer l'aire d'une ellipse d'equationx2a 2+y2b

2= 1 (a >0;b >0).

Exercice 15.Soitf:R!Rune fonction continue. Calculer la derivee des fonctions suivantes : a)H(x) =Z x2+1 x f(t)dt; b)H(x) =Z x 0 (tf(t))dt;x >0; c)H(x) =Z lnx 0 (sint)f(t)dt; x >1:

Exercice 16.Calculer les integrales suivantes :

a)Z 0 1xpx

2+ 3dx; b)Z

sin(2x)dx; c)Z e 1 lnx dx; d)Z1px+3px dx; e)Zx2+x+ 1x

3+xdx; f)Z

1

0p1x2dx:

g)Z sin

3xcos2x dx; h)Z1x

4+ 1dx; i)Z

sh

3xch2x dx:

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