[PDF] Chapitre 8 : Intégrales généralisées

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Lycée Sainte GenevièveBCPST 2

Chapitre 8 : Intégrales généraliséesExercice 1.♪ Étudier l"existence des intégrales suivantes : 1) 0 ln(t)e-tdt2)? 1

0dt(1-t)⎷t

3)?

0ln(1 +t)t

32
dt4)?

0ln(1 +t2)1 +t2dt5)?

0sin(t)⎷t

dt

Exercice 2.♪

On considèreI=?

0dxx 3+ 1 1.

Mon trerque Iest convergente.

2.

À l"aide du c hangementde v ariabley=1x

montrer que2I=? 0dxx

2-x+ 1

3.

En déduire la v aleurde I.

Exercice 3.♪

On considère la fonctionf:R?+→Rdéfinie parf(x) =? 1x dt(1 +t2)ln(1 +t2). 1.

Mon trerque fest bien définie.

2. Mon trerque fest dérivable surR?+et calculerf?. Étudier les variations def. 3.

Étudier limx→+∞f(x).

Exercice 4.♪

SoitI=?

π2 0?

1sinx-1x

dx.

1.Iest-elle convergente?

2.

P ourtout ε >0, calculerJε=?

π2 εdxsinxen remarquant que1sinx=sinx1-cos2xet en faisant un changement de variable. 3.

Calculer I.

Exercice 5.(Agro 2018 extrait)

Pour toutx?]0,1], on pose :

h(x) =? x

01⎷x-t⎷t

dt 1. Justifier que h(x)est bien définie, pour toutx?]0,1]. 2. Mon trerque hest constante sur]0,1]et plus précisément que, pour toutx?]0,1], on a h(x) =? 1

01⎷1-y⎷y

dy 3. Calculer la v aleurde hsur]0,1].On pourra faire le changement de variabley= sin2(u). 1

Exercice 6.

On souhaite calculer la valeur de l"intégrale de Fresnel : F=?

0sin(t)t

dt dont on a montré dans le cours qu"elle est convergente mais pas absolument convergente. 1.

On aura b esoindu Lemme de Riemann-Leb esguequi s"énonce de la façon suiv ante: soit f: [a,b]→Rde classe

C

1sur[a,b], on a

lim b a f(x)sin(λx)dx= 0 Démontrer ce lemme en faisant une intégration par partie. 2.

Soit ?:t?→1t

-1sin(t)définie sur?

0,π2

. Montrer qu"elle est prolongeable en une fonction de classeC1sur

0,π2

3.

On p osep ourtout n?N:

I n=? π2

0sin((2n+ 1)t)t

dtetJn=? π2

0sin((2n+ 1)t)sin(t)dt

Montrer que ces intégrales sont convergentes.

4.

Mon trerque limn→+∞In-Jn= 0.

5. En effectuan tun c hangementde v ariable,mon trerque limn→+∞In=F. 6. En s"in téressantaux quan titésJn-Jn-1, déterminer, pour toutn?N, la valeur deJn. 7.

En déduire la v aleurde F.

Exercice 7. Comparaison séries-intégrales

1.

Soien tFune fonction croissante et continue sur un intervalle[a,+∞[et(xn)une suite de réels incluse dans

[a,+∞[strictement croissante vérifiantlimn→+∞xn= +∞. Montrer queFadmet une limite finie en+∞si et

seulement si la suite(F(xn))converge. 2. Soit f: [0,+∞[→Rune fonction continue, positive et décroissante. (a)

Mon trerque la série

n≥0? f(n)-? n+1 n f(t)dt? est convergente. (b)

Mon trerque la série

n≥0f(n)et l"intégrale? 0 f(t)dtsont de même nature. 3.

Un exemple. Soit a >0.

(a)

Mon trerque ?

0 e-a⎷t dtconverge et la calculer. (b)

En déduire que la série

n?Ne -a⎷n converge. on noteS(a)sa somme. (c)

Exercice 8. Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soitf,g: [a,b[→Rtelles que?

b a f2(t)dtet? b a g2(t)dtsoient convergentes. Montrer que? b a f(t)g(t)dtest absolument convergente et que : ??b a f(t)g(t)dt? 2 b a f2(t)dt? b a g2(t)dt Indication : pourx?[a,b[et pourλ?Ron pourra introduire le polynômeP(λ) =? x a (λ|f(t)|+|g(t)|)2dt... 2quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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