[PDF] Limites de fonctions 1 Théorie 2 Calculs

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Biblioth`eque d"exercices

´Enonc´es

L1Feuille n◦11Limites de fonctions

1 Th´eorie

Exercice 11. D´emontrer que limx→0⎷1 +x-⎷1-xx = 1.

2. Soientm,ndes entiers positifs.´Etudier limx→0⎷1 +xm-⎷1-xmx

n.

3. D´emontrer que lim

x→01x (⎷1 +x+x2-1) =12

Exercice 2

1. Montrer que toute fonction p´eriodique et non constante n"admet pas de limite en +∞.

2. Montrer que toute fonction croissante et major´ee admet une limite finie en +∞.

2 Calculs

Exercice 3Calculer lorsqu"elles existent les limites suivantes a) limx→0x2+2|x|x b) limx→-∞x2+2|x|x c) limx→2x2-4x

2-3x+2

d) limx→Πsin2x1+cosxe) limx→0⎷1+x-⎷1+x2x f) limx→+∞⎷x+ 5-⎷x-3 g) limx→03⎷1+x2-1x

2h) limx→1x-1x

n-1 Exercice 4D´eterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.

1. lim

x→0+x+ 2x 2lnx

2. lim

x→0+2xln(x+⎷x)

3. lim

x→+∞x

3-2x2+ 3xlnx

4. lim

x→+∞e⎷x+1x+ 2

5. lim

x→0+ln(3x+ 1)2x

6. lim

x→0+x x-1ln(x+ 1)

7. lim

x→-∞2x+ 1ln?x3+ 41-x2?

8. lim

x→(-1)+(x2-1)ln(7x3+ 4x2+ 3) 1

9. lim

x→2+(x-2)2ln(x3-8)

10. lim

x→0+x(xx-1)ln(x+ 1)

11. lim

x→+∞(xlnx-xln(x+ 2))

12. lim

x→+∞e x-ex2x 2-x

13. lim

x→0+(1 +x)lnx

14. lim

x→+∞? x+ 1x-3? x

15. lim

x→+∞? x3+ 5x 2+ 2? x+1x 2+1

16. lim

x→+∞? ex+ 1x+ 2? 1x+1

17. lim

x→0+?ln(1 +x)? 1lnx

18. lim

x→+∞x (xx-1)x (xx)

19. lim

x→+∞(x+ 1)xx x+1

20. lim

x→+∞x?ln(x2+ 1)1 +ex-3 Exercice 5Calculer, lorsqu"elles existent, les limites suivantes : lim x→αx n+1-αn+1x n-αn, lim x→0tanx-sinxsinx(cos2x-cosx), lim x→+∞?x+?x+⎷x-⎷x, lim

2-α2,

lim x→0xE?1x lim x→2e x-e2x

2+x-6,

lim x→+∞x

41 +xαsin2x,en fonction deα?R.

Exercice 6Calculer :

lim x→∞(ln(1 +e-x))1x ,limx→0x2 + sin 1x ,lim x→0+x1ln(ex-1). 2

Exercice 7Trouver :

lim x→0+x xxlnxx x-1

Exercice 8Trouver pour (a,b)?(R+?)2:

lim x→∞? ax+bx2 1x

Exercice 9Trouver pour (a,b)?(R+?)2:

lim x→0+? ax+bx2 1x 3

Biblioth`eque d"exercicesIndications

L1Feuille n◦11Limites de fonctions

Indication 1Utiliser l"expression conjugu´ee.

Indication 21. Raisonner par l"absurde.

2. Montrer que la limite est la borne sup´erieure de l"ensemble des valeurs atteintesf(R).

Indication 51. Calculer d"abord la limite def(x) =xk-αx-α.

2. Utiliser cos2x= 2cos2x-1 et faire un changement de variableu= cosx.

3. Utiliser l"expression conjugu´ee.

4. Diviser num´erateur et d´enominateur par⎷x-αpuis utiliser l"expression conjugu´ee.

5. On a toujoursy-1?E(y)?y, posery= 1/x.

6. Diviser num´erateur et d´enominateur parx-2.

7. Pourα?4 il n"y a pas de limite, pourα <4 la limite est +∞.

1

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

L1Feuille n◦11Limites de fonctions

Correction 1G´en´eralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes racines carr´ees, il est utile de faire intervenir "l"expression conjugu´ees" : =a-b⎷a+⎷b Les racines au num´erateur ont "disparu" en utilisant l"identit´e (x-y)(x+y) =x2-y2.

Appliquons ceci sur un exemple :

f(x) =⎷1 +xm-⎷1-xmx n (⎷1 +xm-⎷1-xm)((⎷1 +xm+⎷1-xm))x n(⎷1 +xm+⎷1-xm)

1 +xm-(1-xm)x

n(⎷1 +xm+⎷1-xm) 2xmx n(⎷1 +xm+⎷1-xm)

2xm-n⎷1 +xm+⎷1-xm

Et nous avons

lim x→02⎷1 +xm+⎷1-xm= 1. Donc l"´etude de la limite defen 0 est la mˆeme que celle de la fonctionx?→xm-n.

Distinguons plusieurs pour la limite defen 0.

- Sim > nalorsxm-net doncf(x) tend vers 0. - Sim=nalorsxm-netf(x) vers 1. - Sim < nalorsxm-n=1x n-m=1x kaveck=n-mun exposant positif. Sikest pair alors les limites `a droite et `a gauche de 1x ksont +∞. Pourkimpair la limite `a droite vaut +∞et la limite `a gauche vaut-∞. Conclusion pourk=n-m >0 pair, la limite defen 0 vaut +∞ et pourk=n-m >0 impairfn"a pas de limite en0 car les limites `a droite et `a gauche ne sont pas ´egales. Correction 21. Soitp >0 la p´eriode : pour toutx?R,f(x+p) =f(x). Par une r´ecurrence facile on montre : ?n?N?x?Rf(x+np) =f(x). Commefn"est pas constante il existea,b?Rtels quef(a)?=f(b). Notonsxn=a+npet y n=b+np. Supposons quefa une limite?en +∞. Commexn→+∞alorsf(xn)→?. Maisf(xn) =f(a+np) =f(a), donc?=f(a). De mˆeme avec la suite (yn) :yn→+∞ doncf(yn)→?etf(yn) =f(b+np) =f(b), donc?=f(b). Commef(a)?=f(b) nous obtenons une contradiction. 1

2. Soitf:R-→Rune fonction croissante et major´ee parM?R. Notons

f=f(R) ={f(x)|x?R}. Fest un ensemble (non vide) deR, notons?= supF. CommeM?Rest un majorant deF, alors? <+∞. Soitε >0, par les propri´et´es du sup il existey0?Ftel que ?-ε?y0??. Commey0?F, il existex0?Rtel quef(x0) =y0. Commefest croissante alors : ?x?x0f(x)?f(x0) =y0??-ε.

De plus par la d´efinition de?:

?x?Rf(x)??. Les deux propri´et´es pr´ec´edentes s"´ecrivent : ?x?x0?-ε?f(x)??. Ce qui exprime bien que la limite defen +∞est?. Correction 31. La limite `a droite vaut +2, la limite `a gauche-2 donc il n"y a pas de limite.

2.-∞

3. 4 4. 2 5. 12 6. 0 7. 13 en utilisant quea3-1 = (a-1)(1 +a+a2) poura=3⎷1 +x2. 8. 1n

Correction 41.-∞

2. 0

3. +∞

4. +∞

5. 32

6.-∞

7. 0 8. 0 9. 0 10. 0 11.-2

12.-∞

13. 1 14.e4
15. 1 16.e 2 17.e 18. 0 19. 0 20. 0

Correction 51. Montrons d"abord que la limite de

f(x) =xk-αx-α enαestkαk-1. Un calcul montre quef(x) =xk-1+αxk-2+α2xk-3+···+αk-1, et donc la limite enx=αestkαk-1. Une autre m´ethode consiste `a dire quef(x) est la taux d"accroissement de la fonctionxk, et donc la limite defenαest exactement la valeur

de la d´eriv´ee dexkenα, soitkαk-1. Ayant fait ceci revenons `a la limite de l"exercice :

commexn+1-αn+1x n-αn=xn+1-αn+1x-α×x-αx n-αn. Le premier terme du produit tend vers (n+ 1)αnet le second terme, ´etant l"inverse d"un taux d"accroissement, tend vers 1/(nαn-1). Donc la limite cherch´ee est (n+ 1)αnnα n-1=n+ 1n

2. La fonction s"´ecrit aussif(x) =1-cosxcosx(cos2x-cosx). Or cos2x= 2cos2x-1. Posonsu= cosx,

alors f(x) =1-uu(2u2-u-1)=1u(-1-2u) Lorsquextend vers 0,u= cosxtend vers 1, et doncf(x) tend vers-13 3. x+?x+⎷x+⎷x =?x+⎷x? x+?x+⎷x ⎷x =?1 +

1⎷x?

1 +quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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