[PDF] CHAPITRE 12 : MOUVEMENTS OSCILLANTS

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TERMINALE S - CHAPITRE 12

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CHAPITRE 12 : MOUVEMENTS OSCILLANTS

I. DE QUOI ON PARLE

Ce chapitre est consacré aux mouvements oscillants : saut à l'élastique, balançoire, amortisseur de voiture, immeubles de grande hauteur sous l'effet du vent, marées, diapason ... Nous étudierons des systèmes physiques correspondant à des modèles simples des ces situations, afin de dégager le comportement général de tels systèmes.

II. LE PENDULE PESANT

1. Définitions

On appelle pendule pesant tout système oscillant autour d'un axe sous l'effet de la gravité. Parapluie fixé à une poignée de porte, balancier d'une horloge... Le pendule simple est le modèle idéalisé des pendules pesants : il est constitué d'une masse supposée ponctuelle qui oscille à une distance constante d'un axe horizontal fixe. Une manière de le réaliser est de fixer par un fil inextensible une petite bille à un support horizontal (pour qu'on puisse considérer la masse comme ponctuelle, il faut que la longueur du fil soit très supérieure au rayon de la bille.) La position d'équilibre est la verticale d'après le principe d'inertie :

0 possible ssi verticalePT T

Lorsque la bille est écartée de la verticale puis lâchée, le pendule s'anime d'un mouvement circulaire d'aller et retour autour de sa position d'équilibre verticale. C'est un système oscillant ou oscillateur. Une oscillation est un aller retour autour de la position d'équilibre. Si le mouvement d'aller et retour se répète à l'identique après une durée T, le

phénomène est qualifié de périodique, de période T (voir partie A). La fréquence est

l'inverse de la période, son unité est le Hertz (1Hz = 1s -1 1fT m m masse du pendule (kg)

écart angulaire (rad)

longueur du pendule (m)

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2. Isochronisme des petites oscillations

Lorsque les forces de frottement sont négligeables pendant la durée de l'étude du mouvement, on observe une évolution périodique du pendule. On peut lire sur un enregistrement la période et l'amplitude du mouvement. Si, de plus, l'écart angulaire initial est " faible » (en gros <10°), le mouvement vérifie la loi d'isochronisme des petites oscillations (que l'on vérifiera en T.P.) : La période du pendule ne dépend pas de l'amplitude du mouvement La période mesurée pour de petits angles est appelée la période propre du pendule, et notée T 0 . Elle a pour expression : 0 2Tg Nous ne démontrerons pas cette relation (la démonstration nécessite en effet des outils mathématiques hors programme : on imagine bien que le mouvement circulaire va compliquer les projections des équations du mouvement). On peut par contre la vérifier par analyse dimensionnelle : 12 0 1222
LT LTTg

Remarque :

L'analyse dimensionnelle peut en fait être plus utile que ça, et nous permettre de prévoir

l'expression de la période propre à un facteur près. Les paramètres susceptibles de jouer un rôle

dans les oscillations du pendule simple sont : la masse m de la masse suspendue, l'intensité de la

pesanteur g, et la longueur du pendule . Leurs dimensions respectives sont Mm, 2 L.Tg et L. Nous désirons combiner ces grandeurs pour " fabriquer » la période propre T 0 du pendule. Nous

écrivons donc :

0 Tmg où ,, sont trois exposants à déterminer. Appliquons l'analyse dimensionnelle à cette expression : 2 0 0 0

21 12

T M L T L Tmg

EJJE EE soit : 11 0220
Tmgg

Seul le facteur numérique 2

n'est pas prévisible à l'aide de ce raisonnement très simple ! En

particulier, l'analyse dimensionnelle permet de prévoir que la période du pendule ne dépend pas de

la masse, ce qui est remarquable (l'explication théorique est bien sûr liée à l'indépendance de la

masse de l'équation de la chute libre).

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III. LE SYSTEME SOLIDE-RESSORT

1. Force de rappel exercée par un ressort

Soit un ressort, de longueur " au repos »

0 . Lorsqu'on l'étire, celui-ci exerce une force tendant à lui faire retrouver sa longueur initiale. Lorsqu'on le compresse aussi. On peut vérifier expérimentalement que, tant que l'allongement du ressort est " suffisamment » faible, cette force est proportionnelle à l'allongement du ressort (en effet pour un écart à l'équilibre assez faible on peut confondre la courbe 0 Ff avec sa tangente à l'origine). On a ainsi l'expression de la force de rappel du ressort : 0 Fk i La constante de proportionnalité positive k est nommée constante de raideur du ressort et s'exprime en N/m (soit en kg/s²) : 22

MLTMTLFkl

On vérifie bien que

F est opposée à i

lorsque le ressort est étiré ( 0

0) et dans

le sens de i lorsque le ressort est comprimé ( 0

0) : la force de rappel rappelle

donc bien ce qui est accroché au ressort vers la position d'équilibre 0 (ressort au repos). La relation ci-dessus devient, si on choisit l'origine de l'axe à l'extrémité du ressort au repos (comme on l'a fait sur le schéma ci-dessus) : Fkxi

2. Equation du mouvement

Référentiel d'étude : terrestre supposé galiléen.

Système étudié : masse

m, en contact avec le support et le ressort.

Bilan des forces :

Poids P ; Réaction du support R

; Force de rappel du ressort F

Force de frottement solide

f 0x m x 0 i

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Remarque: le frottement solide ne se modélise pas de la même manière que le frottement fluide :

son intensité n'augmente pas avec la vitesse. Le poids et la réaction du support se compensent (pas de mouvement suivant la verticale). De plus, si on étudie le cas simple des frottements négligeables, le théorème du centre d'inertie s'écrit : 00 ext

Fma FPRfma kxima

GGGGGGGGG

Le mouvement est rectiligne puisque la force est dirigée suivant x et que les vitesses initiales en y et z sont nulles. Projetons sur l'axe Ox et injectons la définition de l'accélération : 2 2 d dx kx mai mt soit en réorganisant les termes : 2 2

0dx kx

mdt ou 0kxxm Intéressons nous à la durée caractéristique apparaissant dans l'équation : 222
2 dLT T Tdxkm mk t

Le phénomène décrit par cette équation est donc caractérisé par une évolution sur une

durée de l'ordre de mk.

3. Solutions

Nous avons déjà rencontré cette équation en électricité : sa solution est une fonction

sinusoïdale. Rappelons brièvement comment la " deviner » : L'équation différentielle de la décroissance radioactive est du type 0yay. Une fonction y solution de cette équation doit donc être telle que sa dérivée est proportionnelle à l'opposé de la fonction y ; le cours de mathématique montre que cette fonction est : e e ax ax yA y aA ay c L'équation différentielle de notre système mécanique est du type 0yay , la

fonction y solution doit donc être telle que sa deuxième dérivée soit proportionnelle à

l'opposé de y. Un bref inventaire des fonctions connues montre que les fonctions trigonométriques cosinus et sinus ont bien cette propriété : 2 cos sin cosax a ax a ax .

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5 Nous voyons donc que la variation temporelle de la position de la masse accrochée au ressort est sinusoïdale : la position x oscille. On admettra que l'unique solution de l'équation différentielle s'écrit : 0 0 2cos m xt X tT M

Avec :

M est la phase à l'origine des dates (en radian : donc pas une unité physique): c'est le terme dans le cosinus lorsque t = 0 X m est l'amplitude du mouvement (en m) : c'est la valeur maximale que peut prendre x. T 0 est la période propre de l'oscillation (en s) : c'est la période du phénomène sinusoïdal. En effet, lorsque t = T 0 dans l'expression de x, on a : 00 0 cos 2 cos 2 cos 0 mmm xx

TtT X X X tT

Montrons que x(t) est solution de l'équation différentielle : 0 00 222
0 200 0

22sind

22 2
cosdd d m m xt X ttT T xtXtxtTT Tt x x Injectons ce résultat dans l'équation différentielle : 2 0

20 kxt xtTm

2 0 20 t kxTm Cette équation devant être vérifiée pour tout x, nous avons bien une solution si : 2 0 0

20 2

kmTTm k Vérifions que la période propre de l'oscillateur a bien les dimensions d'une durée (bien que cela apparaisse clairement dans l'équation différentielle et dans la solution) : 12 0 2

MTMTmTk

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4. Régimes d'oscillations du système {solide+ressort}

4.1. Régime périodique (courbe noire)

Lorsque les forces de frottement sont

négligeables pendant la durée de l'étude du mouvement, on observe une évolution périodique de l'oscillateur. On peut lire sur un enregistrement (réalisé à partir d'une vidéo) la période et l'amplitude du mouvement.

4.2. Régime pseudo-périodique (courbe bleue)

Lorsque les forces de frottement ne sont plus négligeables, de l'énergie est dissipée et l'amplitude diminue au cours du mouvement. On remarque toutefois que le mouvement est toujours composé d'allers-retours : la durée d'un aller-retour est appelée la pseudo-période T a du pendule amorti. On remarque de plus que, lorsque l'amortissement n'est pas " trop » élevé, la pseudo- période est sensiblement égale à la période propre T 0 (mais un peu plus élevée).

4.3. Régime apériodique

(courbe rouge) Remarquons enfin que, lorsque l'amortissement est très important, le pendule n'oscille plus : il va s'immobiliser sur la position d'équilibre sans être passé de l'autre côté.

IV. ASPECTS ENERGETIQUES

1. Travail élémentaire

Le travail exercé par une force constante sur un système en déplacement rectiligne AB est : cos AB

WFFABFAB

(voir fiche de rappel du chapitre 11). Si la force exercée n'est pas constante au cours du mouvement, on peut toujours la considérer constante au cours d'un déplacement " suffisamment petit » t (s) x (m) A B F F F

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On aura alors au cours du petit déplacement

un " petit » travail WFF et le travail total au cours du déplacement AB sera : AB WF WF Comme on peut toujours assimiler une courbe quelconque à une juxtaposition de segments de longueur suffisamment faible, l'opération décrite ci-dessus est aussi applicable dans le cas où le déplacement n'est pas rectiligne :

Ici aussi :

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