[PDF] [PDF] Résolution des syst`emes linéaires Méthode de Gauss - Normale Sup





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Résolution des syst`emes linéaires Méthode de Gauss

Aide : on cherchera d 'abord une relation de récurrence entre Nn et Nn?1. 3. Méthode de Gauss. Transformation de A en une matrice triangulaire supérieure.



1.3 Les méthodes directes

en détails la méthode de Choleski qui est adaptée aux matrices symétriques. 1.3.2 Méthode de Gauss



Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications

Propriété : Un système de Cramer possède une unique solution que l'on détermine en partant de la dernière équation. … II – Technique du pivot de Gauss-Jordan. 1 



Annexe 3 : Inversion de matrices par la méthode du pivot de Gauss

Dans le cas général on utilise la méthode du pivot de Gauss. Pour montrer qu'une matrice M est inversible : On applique les opérations élémentaires : • 



Méthode du pivot de Gauss

Méthode du pivot de Gauss. Dédou. Octobre 2010 Pour appliquer la méthode du pivot `a un syst`eme on commence donc par y choisir une équation et une ...



METHODE DU PIVOT DE GAUSS

Dans tous les cas la méthode du pivot de Gauss permet de déterminer si le système a des solutions ou non (et notamment de savoir s'il est un système de Cramer 



1 Méthode de Gauss et factorisation LU

(c) Résoudre le système (1) par l'algorithme de Gauss avec pivot partiel. (d) Calculer la factorisation ¯L¯U de PA (où P est la matrice produit des matrices de 



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2.1.2 Méthode d'elimination de Gauss et décomposition LU.. . 6 2.2.3 Convergence des méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel. . 13.



Informatique en CPGE (2018-2019) Résolution dun système

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Méthode de réduction de Gauss. Cas 1 :Lorsqu'on a un x2 i dans l'expression de q : Exemple : q(x1x2



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Exercice 5 Résoudre les deux probl`emes suivants par la méthode de votre choix (On commencera par poser correctement le probl`eme en termes de syst`eme 



[PDF] Ift 2421 Chapitre 3 Résolution des systèmes déquations linéaires

Remarques sur la méthode de Gauss 1 Un pivot est une valeur par laquelle on doit diviser pour résoudre le système linéaire

  • Comment faire la méthode de Gauss ?

    La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et est donc facile à résoudre. Les opérations autorisées pour transformer ce système sont : échange de deux lignes. multiplication d'une ligne par un nombre non nul.

  • Comment utiliser la méthode de pivot de Gauss ?

    La méthode du pivot permet d'associer `a tout syst`eme linéaire un syst`eme facile équivalent. ? 2x + 3y + z = 1 ?7y + 7z = 1 ?7y ? 3z = ?2. on résout le syst`eme dérivé (par combinaison linéaire) et on conclut avec l'équation facile.

  • Comment faire Gauss Jordan ?

    L'élimination de Gauss-Jordan est un algorithme de transformation menant à un système équivalent d'équations linéaires Rx=d R x = d , où R est sous FER, qui n'utilise que des opérations élémentaires sur les lignes. En langage courant, on dit que la transformation d'une matrice en FER est une réduction.
  • Résoudre un système de trois équations d'inconnues x, y et z revient à chercher tous les triplets (x ; y ; z) qui vérifient ces trois équations. Un tel triplet de valeurs (x ; y ; z) est appelé « solution du système d'équations ».

UniversiteReneDescartes

UFRdemathematiquesetinformatique

chapitre1

Resolutiondessystemeslineaires

MethodedeGauss

Methodesnumeriques2003/2004-D.Pastre

licencedemathematiquesetlicenceMASS 1

Resolutiondessystemeslineaires

Notations

a11x1+a12x2+:::+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+:::+a2nxn=b2 an1x1+an2x2+:::+annxn=bnnequations ninconnues A=2 6 6 6 4a

11a12:::a1na21a22:::a2n:::

a n1an2:::ann3 7 7 7 5B=2 6 6 6 4b

1b2:::

b n3 7 7 7 5AX=B

Etudedessolutions:

Sidet(A)6=0(Areguliere)solutionunique

Exemple:

x+y=3 x+2y=5

Sidet(A)=0(Asinguliere)systemedegenere

(impossibleouindetermine)

Exemples:

2x+3y=4

4x+6y=5

2x+3y=4

4x+6y=8

2

Theorie

Expressiondessolutionsparlareglede

Cramer:

x k=detk(A) det(A)avec detk(A)= a

11:::a1;k1b1a1;k+1:::a1n

a

21:::a2;k1b2a2;k+1:::a2n

a n1:::an;k1bnan;k+1:::ann

Calcultheoriqued'undeterminant

det(A)=nX i=1(1)i+jaijmij oumijestledeterminantdelasous-matrice obtenueensupprimantdeAlaiemeligneetla j emecolonne

Exercice:evaluerlenombreNnd'operations

necessairespourcalculerundeterminanten utilisantcetteformule.

Aide:onchercherad'abordunerelationde

recurrenceentreNnetNn1. 3

MethodedeGauss

superieure

Exemple:

2x+y4z=8

3x+3y5z=14

4x+5y2z=16A=2

6 4214
335
4523
7 5B=2 6 48
14 163
7 5

Notation:A=

2148
335
14 452
16

1erpivot:2

2emeligne-1ereligne3/2

3 emeligne-1ereligne2 2148
03=21 2 036
0

2emepivot:3/2

3emeligne-2emeligne2

2148
03=21 2 004 4 4

3emepivot:4

D'ou: 4z=4

32y1=22x+2+4=8

z=1 y=2 x=1

Remarque:Touteslesmatricesintermediaires

ontlem^emedeterminantquiestdoncegala 23
24=12
5

Autrefacondeconduirelescalculs

(ligne1)/pivot2 (ligne2)-(nouvelleligne1)3 (ligne3)-(nouvelleligne1)4

11=224

03=21 2 036
0 (ligne2)/pivot3/2 (ligne3)-(nouvelleligne2)3 11224
012

3430044

(ligne3)/pivot4

11=224

012=3 4=3 001 1 D'ou: z=1 y=4=32=3z x=41=2y(2)z z=1 y=2 x=1

Remarque:LedeterminantdeAestegalau

produitdespivots,soit23 24=12
6

2emeexemple

A=2 6 4214
427
2113
7 5 la1ereetapedonne:2 6

411=22

001 0033
7 5

Lesystemeestimpossibleouindetermine

exemples B=2 6 48
15 93
7 5!2 6 44
1 13 7 5 B=2 6 48
15 53
7 5!2 6 44
1 33
7 5 z=13=1 8 :z=1 yquelconque x=2y=2 7

3emeexemple

A=2 6 4214
427
2213
7 5 la1ereetapedonne:2 6

411=22

001 0133
7 5 8

Resolution

2phases:

-substitutions!resolution

OnsupposequeAestderangn

1Onsupposea11nonnul(sinononfaitun

echangedelignes).

Onresoutlapremiereequationparrapporta

x

1etonremplacedanslesautresequations.

Onobtientlesystemeequivalent

a11x1+a12x2+:::+a1nxn=b1 a(2)

22x2+:::+a(2)

2nxn=b(2)

2 a(2) n1x1+a(2) n2x2+:::+a(2) nnxn=b(2) n avec a(2) ij=aijai1a1j=a11 b(2) i=biai1b1=a11pour2i;jn et a(2) i1=0pouri2 9

Iterations

Onrecommenceaveclepivota(2)

22supposenon

nulsinononfaitunechangedelignes,etc...

EnposantA:;n+1=BetA(1)=A,al'etape

k,aveclepivota(k) k;k6=0,onaA(k+1)=2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4a (1)

11a(1)

12:::a(1)

1k a(1) 1;n+1 0a(2)

22:::a(2)

2k a(2) 2;n+1 0a(k) k;k a(k) k;n+1

00a(k+1)

k+1;k+1::: a(k+1) k+1;n+1

00a(k+1)

n;k+1::: a(k+1) n;n+13 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 a (k+1) ij=a(k) ija(k) ika(k) kj=a(k) kkpourk+1inetk+1jn+1 a(k+1) ij=0pourk+1inetj=k a (k+1) ij=a(k) ijsinon

Remarque:det(A)=leproduitdespivots.

10

Findelaresolution

2Ala(n1)emeetape,onaunematrice

triangulairesuperieure 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4a (1)

11a(1)

12:::a(1)

1k:::a(1)

1;n 0a(2)

22:::a(2)

2k:::a(2)

2;n

00:::a(k)

k;k:::a(k) k;n

00:::00a(n)n;n3

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 52
6 6 6 6quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20
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