Résolution des syst`emes linéaires Méthode de Gauss
Aide : on cherchera d 'abord une relation de récurrence entre Nn et Nn?1. 3. Méthode de Gauss. Transformation de A en une matrice triangulaire supérieure.
1.3 Les méthodes directes
en détails la méthode de Choleski qui est adaptée aux matrices symétriques. 1.3.2 Méthode de Gauss
Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications
Propriété : Un système de Cramer possède une unique solution que l'on détermine en partant de la dernière équation. … II – Technique du pivot de Gauss-Jordan. 1
Annexe 3 : Inversion de matrices par la méthode du pivot de Gauss
Dans le cas général on utilise la méthode du pivot de Gauss. Pour montrer qu'une matrice M est inversible : On applique les opérations élémentaires : •
Méthode du pivot de Gauss
Méthode du pivot de Gauss. Dédou. Octobre 2010 Pour appliquer la méthode du pivot `a un syst`eme on commence donc par y choisir une équation et une ...
METHODE DU PIVOT DE GAUSS
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Exercice 5 Résoudre les deux probl`emes suivants par la méthode de votre choix (On commencera par poser correctement le probl`eme en termes de syst`eme
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Remarques sur la méthode de Gauss 1 Un pivot est une valeur par laquelle on doit diviser pour résoudre le système linéaire
Comment faire la méthode de Gauss ?
La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et est donc facile à résoudre. Les opérations autorisées pour transformer ce système sont : échange de deux lignes. multiplication d'une ligne par un nombre non nul.Comment utiliser la méthode de pivot de Gauss ?
La méthode du pivot permet d'associer `a tout syst`eme linéaire un syst`eme facile équivalent. ? 2x + 3y + z = 1 ?7y + 7z = 1 ?7y ? 3z = ?2. on résout le syst`eme dérivé (par combinaison linéaire) et on conclut avec l'équation facile.Comment faire Gauss Jordan ?
L'élimination de Gauss-Jordan est un algorithme de transformation menant à un système équivalent d'équations linéaires Rx=d R x = d , où R est sous FER, qui n'utilise que des opérations élémentaires sur les lignes. En langage courant, on dit que la transformation d'une matrice en FER est une réduction.- Résoudre un système de trois équations d'inconnues x, y et z revient à chercher tous les triplets (x ; y ; z) qui vérifient ces trois équations. Un tel triplet de valeurs (x ; y ; z) est appelé « solution du système d'équations ».
M×M -1=M -1×M=I
où I désigne la matrice identité (de même taille que M et M-1). Dans ce cas, la matrice M-1 est apelée matrice inverse de M. Pour l'heure, seul le cas des matrices de dimension 2 est complètement connu :Théorème :
Une matrice carrée d'ordre 2M=(ab
cd)est inversible si et seulement siad-cb≠0Et dans ce casM -1=1 ad-cb (d-b -ca). Dans le cas général, on utilise la méthode du pivot de Gauss.Pour montrer qu'une matrice M est inversible :
On applique les opérations élémentaires : • Echanger deux lignes • Multiplier une ligne par un nombre non nul • Ajouter/soustraire un multiple d'une ligne à une autre ligne. directement sur les lignes de la matrice M pour la mettre sous forme triangulaire. Si tous les coefficients diagonaux de la matrice obtenue sont non nuls, M est inversible.Stratégie :
r Travailler colonne par colonne, de la gauche vers la droite. r Faire apparaître, par des soustractions bien choisies, des 0 sous la diagonale. 1/5Exemple : Etudions l'inversibilité deM=(11-1
110211).
2/5 Pour calculer la matrice inverse d'une matrice inversible M :
On présente le calcul en deux colonnes :
• Dans la colonne de gauche, on applique les opérations élémentaires sur les lignes de M
pour la tranformer en la matrice identité I.• Dans la colonne de droite, on applique les mêmes opérations à la matrice identité I.
Lorsqu'on a obtenu la matrice I dans la colonne de gauche, le résultat de la colonne de droite est M -1.Stratégie :
r Mettre M sous forme triangulaire (Cf méthode précédente). r Ensuite, repartir de la colonne de droite. r Faire apparaître, par des soustractions bien choisies, des 0 au-dessus de la diagonale.La matrice obtenue est diagonale.
r Si besoin, diviser chaque ligne de sorte à obtenir la matrice identité I. 3/5Exemple : Calculons l'inverse de.M=(11-1
110211)M=
(11-1 110211)I3=(100
010001)4/5
Exercice 1
Déterminer, à l'aide de la méthode du pivot de Gauss, si les matrices suivantes sont inversibles. Le cas échéant, calculer leur inverse.A=(111 2-11101)B=(1-21
-13-1 -24-1)C= (1-12 1-1-1 -12-1)D=(3-20 100010)Exercice 2
On considère la matrice
Ax=(x11
1x111x)où x est un nombre réel.
Discuter l'inversibilité de
Axen fonction de la valeur de x.
Exercice 3 issu d'EMLyon 2013
Montrer que la matrice suivante est inversible et calculer son inverse A= (1001 01100-110 -1001)5/5quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20
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