[PDF] Schéma dEuler explicite o`u f est une

View - Download Schéma dEuler explicite

Previous PDF

Next PDF

Sch

´ema d"Euler explicite

D ´efinition 1´Etant donn´es un pas de tempstet une suite d"instants(tn=t0+nt)n2N, le sch ´ema d"Euler expliciteassoci´e`a l"´equation diff´erentielle (1) dudt=f(t;u); o `ufest une fonction continue deR+UdansRd, est donn´e par la relation de r´ecurrence (2)vn+1=vn+ tf(tn;vn): Une"solution»de ce sch´ema est unN-uplet(vn)n2f0;:::;Ngde vecteurs deUv´erifiant(2)pour toutn2 f0;:::;N1g.

Ce sch

´ema approcheu(tn+1)par

u(tn) + t f(tn;u(tn)); ce qui revient `a remplacerfpar la fonction constante´egale`af(tn;u(tn))sur l"intervalle [tn;tn+1]dans la formule int´egrale u(tn+1) =u(tn) +Z tn+1 t nf(s;u(s))ds: Th ´eor`eme 1Sif:R+U!Rdest continue, quel que soientt02R+,u02U, il existe T > t

0tel que, si pour0 sch ´ema(2)d´efinissent un uniqueN-uplet(vn)n2f0;:::;Ngde vecteurs deU. Soit alors la fonction v t: [t0;T]!U, continue affine par morceaux valantvnentn, c"est-`a-dire que v t(t) =vn+ (vn+1vn)ttnt;sit2[tn;tn+1[; n2 f0;:::;N1g: Il existe une suite(hk)k2N, strictement d´ecroissante et tendant vers0telle quevhktend vers une fonctionu2C(t0;T;U)solution de l"´equation int´egrale u(t) =u0+Z T t

0f(s;u(s))ds;

ce qui implique queuest solution de(1)pour la donn´ee initialeu(0) =u0. Ce th ´eor`eme de convergence`a sous-suite pr`es du sch´ema d"Euler d´emontre"au passage» un th

´eor`eme d"existence de solutions pour l"´equation diff´erentielle (1) en supposant seulement

fcontinue : ce r´esultat est en g´en´eral attribu´e`a Cauchy, Peano et Arzel`a (en ne retenant parfois

que deux noms sur les trois). Sa d ´emonstration repose sur un th´eor`eme d"analyse fonctionnelle, attribu ´e`a Arzel`a et Ascoli, souvent appel´e simplement th´eor`eme d"Ascoli. Th ´eor`eme 2 (Ascoli)On consid`ere l"espaceC(K;Rd)des fonctions continues sur un inter- valle compactKet`a valeurs dansRd, muni de la norme sup : kvk1:= maxt2Kkv(t)kRd: Siunesuite(vk)k2Nestborn´eedansC(K;Rd)et´equicontinue,c"est-`a-direquepourtout" >0, il existe >0tel que pourt,s2K, sijtsj alorskvk(t)vk(s)kRd"quel que soit k2N. 1 Sch

´emas explicites

D ´efinition 2´Etant donn´es un pas de tempstet une suite d"instants(tn=t0+nt)n2N, un sch ´ema explicite`a un pas est une relation de r´ecurrence de la forme (3)vn+1=vn+ t(tn;vn;t); o `uest une fonction deR+UR+(avecUun ouvert deRd) dansRd. Une"solution»du sch´ema est unN-uplet(vn)n2f0;:::;Ngde vecteurs deUv´erifiant(3)pour toutn2 f0;:::;N1g.

Exemples :

Sch´ema d"Euler:(t;w;t) =f(t;w)comme on l"a d´ej`a vu.

Sch´ema de Runge:(t;w;t) =f(t+12

t;w+12 tf(t;w)). Ce sch´ema provient de l"approximation de l"int

´egrale

Z tn+1 t nf(s;u(s))ds par la"formule des trap`ezes», c"est-`a-dire par t f(tn+1=2;u(tn+1=2)) o `utn+1=2=tn+t2 , en approchantu(tn+1=2)par le sch´ema d"Euler entretnettn+1=2. D

´efinition 3Le sch´ema(3)est ditconsistantavec l"´equation diff´erentielle(1)si pour toute

solutionu2C1([t0;T];U)de(1), pour toutt2[t0;T], l"erreur de consistance:

R(t;u;t) :=u(t+ t)u(t)t(t;u(t);t)

tend vers0lorsquettend vers0, uniform´ement pourt2[t0;T]. Le sch´ema(3)est ditconsis- tant `a l"ordrep(p2N), ou simplement d"ordrep, si de plus (en supposantude classeCp+1) il existeC >0, ind´ependant detet det2[t0;T]tel que kR(t;u;t)k C(t)p: Proposition 1Siestcontinue,lesch´ema(3)estconsistantavec(1)sietseulementsi(t;w;0) = f(t;w)quel que soit(t;w)2R+U. Sifest de classeCp, on d´efinitf[0]:=fet par r´ecurrence, pour toutk2 f0;:::;p1g, f [k+1]:R+U!Rd (t;w)7!f[k+1](t;w) :=@f[k]@t (t;w) +dX j=1@f [k]@w j(t;w)fj(t;w); et siest de classeCp, alors le sch´ema(3)est consistant avec(1)`a l"ordrepsi et seulement si pour toutk2 f1;:::;p1g, k@(t)k(t;w;0) =1k+ 1f[k](t;w) quel que soit(t;w)2R+U. 2

Exemples :

Le sch´ema d"Euler est d"ordre1. En effet, pour(t;w;t) =f(t;w)on a´evidemment (t;w;0) =f(t;w), mais@@(t)(t;w;0) = 0, ce qui n"est pas´egal`af1(t;w)si la fonc- tionf1n"est pas nulle. Donc en g´en´eral, le sch´ema d"Euler n"est pas d"ordre2. Lesch´emadeRungeestd"ordre2.Eneffet,pour(t;w;t) =f(t+12 t;w+12 tf(t;w)), (t;w;0) =f(t;w), @@(t)(t;w;0) =12 @f@t (t;w) +dX j=1@f@w j(t;w)fj(t;w)! 12 f[1](t;w):

Donc le sch

´ema de Runge est au moins d"ordre1. Plus g´en´eralement, @@(t)(t;w;t) =12 @f@t (t+12 t;w+12 tf(t;w)) Pd j=1@f@w j(t+12 t;w+12 tf(t;w))fj(t;w) 12 f[1](t+12 t;w+12 tf(t;w)) + 12 P d j=1@f@w j(t+12 t;w+12 tf(t;w))(fj(t;w)fj(t+12 t;w+12 tf(t;w)); d"o `u

2@(t)2(t;w;0) =14

f [2](t;w)Pd j=1@f@w j(t;w)f[1] j(t;w) 14 @f[1]@t (t;w) +Pd j=1@f[1]@w j(t;w)fj(t;w)@f@w j(t;w)f[1] j(t;w) ce qui n"est pas ´egal`af[2](t;w)en g´en´eral. On voit cependant sur cet exemple que la v ´erification de l"ordre d"un sch´ema devient rapidement tr`es technique. D ´em.[Proposition 1] Pouru2C1([t0;T];U), pour toutt2[t0;T], u(t+ t)u(t)t=Z 1 0 u0(t+t)d tend versu0(t)lorsquettend vers0, uniform´ement par rapport`atcaru0est uniform´ement continue sur le compact[t0;T]. Par suite, siuest solution de (1), l"erreur de consistance R(t;u;t)tend versf(t;u(t))(t;u(t);0)(uniform´ement pourt2[0;T]puisqueest uni- form sch

´ema (3) est consistant avec (1) si et seulement si cette limite est nulle quelle que soit la solu-

tionu. Ceci est par cons´equent´equivalent`af(t;w) =(t;w;0)quel que soit(t;w)2R+U.

Maintenant siu2Cp+1([t0;T];U), pour toutt2[t0;T],

u(t+ t)u(t)t=pX k=11k!(t)k1u(k)(t) +1p!(t)pZ 1 0 (1)pu(p+1)(t+t)d Si de plusuest solution de (1), on v´erifie par une r´ecurrence imm´ediate que pour toutk2 f1;:::;p+ 1g, u (k)(t) =f[k1](t;u(t)): 3

Par ailleurs, siest de classeCp,

(t;u(t);t) =p1X k=01k!(t)k@k@(t)k(t;u(t);0)+1(p1)!(t)pZ 1 0 (1)p1@p@(t)p(t;u(t);0) d donc l"erreur de consistance s"

´ecrit

R(t;u;t) =p1X

k=01k!(t)k1k+ 1f[k](t;u(t))@k@(t)k(t;u(t);0)

1(p1)!(t)pZ

1 0 (1)p11p f[p](t;u(t))@p@(t)p(t;u(t);0) d: Si tous les termes de la somme sont nuls, alors il existe bienC >0tel quekR(t;u;t)k C(t)p. Inversement, si l"un des termes de la somme (autre que le premier) est non nul, soit k2 f1;:::;p1gle plus petit entier tel que k@(t)k(t;u(t);0)6=1k+ 1f[k](t;u(t)):

Alors il existe(t)>0et

>0tels que pour00, etC >0tels que, pourN2Ntel queN(Tt0)=(t),t= (T t

0)=N,("n)n2f0;:::;Ng2R(N+1)d, si(vn)n2f0;:::;Ngest solution du sch´ema(3)et(un)n2f0;:::;Ngest

solution du sch

´ema perturb´e

(4)un+1=un+ t(tn;un;t) +"n; alors pour toutn2 f0;:::;Ng, kunvnk C ku0v0k+n1X m=0k"mk! Proposition 2S"il existe(t)>0et>0tels que, pour toutt2R+, pouru,v2U, t <(t), k(t;u;t)(t;v;t)k kuvk; alors le sch ´ema(3)est stable par rapport aux erreurs sur tout intervalle[t0;T]. D ´em.Si(vn)n2f0;:::;Ngv´erifie(3)et(un)n2f0;:::;Ngv´erifie(4),alorspourtoutn2 f0;:::;Ng, u n+1vn+1=unvn+ t((tn;un;t)(tn;vn;t)) +"n; d"o `u kun+1vn+1k (1 + t)kunvnk+k"nk:

On en d

´eduit par une r´ecurrence facile que

kunvnk (1 + t)nku0v0k+n1X m=0(1 + t)nmk"mk: 4 (Ce r ´esultat est parfois´enonc´e sous l"appellationlemme de Gronwall discret, par analogie avec le r ´esultat analogue pour les fonctions : siw0(t)cw(t) +"(t)quel que soittalorsw(t) e ctw(0) +Rt

0ec(t)"()d, voir l"appendice.) Or pour tout r´eelx,1 +xex. Donc

kunvnk ent ku0v0k+n1X m=0k"mk! et l"on a la majoration cherch

´ee pourC= e(Tt0).2

L"hypoth

`ese de la proposition 2 est tr`es forte, puisqu"elle demande`a la fonctiond"ˆetre globalement Lipschitienne par rapport `aw: ceci semble par exemple exclure la fonction: (t;w)7!w2, correspondant au sch´ema d"Euler pour l"´equation deRiccatiu0=u2. On peut

enoncer un r´esultat plus faible, avec une limitation sur l"intervalle de r´esolution analogue`a celle

que l"on conna

ˆıt pour les´equations diff´erentielles. (Pour l"´equation de Riccati par exemple, les

solutions"explosent»en temps fini : une solution ne s"annulant pas v´erifie u

0(t)u(t)2= 1

d"oquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

[PDF] Mesure et contrôle des impayés Calcul et fixation de taux d 'intérêt

[PDF] Accueil de jeunes enfants - Caf

[PDF] La prestation de service unique Mode d 'emploi - Gisti

[PDF] La recombinaison homologue - UPMC

[PDF] etude mesurer la vacance dans les logements - Observation et

[PDF] petite enfance taux d encadrement - Snec-CFTC

[PDF] code general des impots - Direction Générale des Impôts

[PDF] plus value immobiliere exemple - adept

[PDF] duree du temps de travail dans la fonction publique territoriale

[PDF] Expliquer l annualisation du temps de travail aux agents - safpt

[PDF] Le Torseur

[PDF] trajectoires au billard - Mathématiques

[PDF] - 01 - GESTION DES INVESTISSEMENTS - IUT en Ligne

[PDF] Utilisation des fonctions financières d Excel - HEC Montréal

[PDF] Taux de Rendement Interne (TRI) - Dareios