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Méthodes numériques

Introduction à l"analyse numérique

et au calcul scientifique

Guillaume Legendre

(version provisoire du 17 mai 2023) Ce document est mis à disposition selon les termes de la licenceCreative Commons " Attribution - Pas d"utilisation commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0

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Avant-propos

Ce document est une version augmentée et regroupée des notes de deux cours enseignés à l"université Paris-

Dauphine, respectivement en deuxième année de licence de Mathématiques et Informatique appliquées à l"Éco-

nomie et à l"Entreprise (MI2E) et en première année de master de Mathématiques Appliquées. Ces enseignements

se composent à la fois de cours magistraux et de séances de travaux dirigés et de travaux pratiques.

Leur but est de présenter plusieurs méthodes numériques de base utilisées pour la résolution des systèmes

linéaires, des équations non linéaires, des équations différentielles et aux dérivées partielles, pour le calcul nu-

mérique d"intégrales ou encore pour l"approximation de fonctions par interpolation polynomiale, ainsi que d"in-

troduire aux étudiants les techniques d"analyse (théorique) de ces dernières. Certains aspects pratiques de mise

en oeuvre sont également évoqués et l"emploi des méthodes est motivé par des problèmes " concrets ». La présen-

tation et l"analyse des méthodes se trouvent complétées par un travail d"implémentation et d"application réalisé

par les étudiants avec les logiciels MATLAB®1 et GNU OCTAVE2.

Il est à noter que ce support de cours comporte plusieurs passages qui ne sont pas traités dans le cours devant

les étudiants (ce dernier fixant le programme de l"examen), ou tout au moins pas de manière aussi détaillée.

Il contient également deux annexes de taille relativement conséquente, l"une consacrée à des rappels d"algèbre,

l"autre à des rappels d"analyse, qui constituent les pré-requis à une bonne compréhension des deux premières

parties du cours. Les courtes notes biographiques, qui apparaissent en bas de page à chaque première fois que le

nom d"une personne est cité, sont pour partie tirées de WIKIPEDIA3.

Je tiens enfin à adresser mes remerciements à tous les étudiants ayant décelé des erreurs, à Matthieu Hillairet

pour sa relecture d"une partie du manuscrit et ses remarques, à André Casadevall, Djalil Chafaï, Maxime Chupin,

Olga Mula, Pierre Lissy, Nicolas Salles, Julien Salomon, Anders Thorin et Gabriel Turinici pour leurs suggestions

et enfin à Donald Knuth pour l"invention de T

EX et à Leslie Lamport pour celle de LATEX.

Guillaume Legendre

Paris, janvier 2018.

Quelques références bibliographiques

Pour approfondir les thèmes abordés dans ces pages, voici une sélection de plusieurs ouvrages de référence,

que l"on pourra consulter avec intérêt en complément du cours. Par ailleurs, afin de faciliter l"accès à la littérature

de langue anglaise, des traductions des termes spécifiques à ce cours sont proposées tout au long du manuscrit,

généralement lors de l"introduction de l"objet ou de la notion en question.

Ouvrages rédigés en français

[AD08]L. AMODEIet J.-P. DEDIEU.Analyse numérique matricielle,Mathématiques pour le master/SMAI. Dunod, 2008.

[AK02]G. ALLAIREet S. M. KABER.Algèbre linéaire numérique,Mathématiques pour le deuxième cycle. Ellipses, 2002.

[Cia98]P. G. CIARLET.Introduction à l"analyse numérique matricielle et à l"optimisation - cours et exercices corrigés,Ma-

thématiques appliquées pour la maîtrise. Dunod, 1998. i [Fil09]F. FILBET.Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique. Dunod, 2009.

[LT00a]P. LASCAUXet R. THÉODOR.Analyse numérique matricielle appliquée à l"art de l"ingénieur. 1. Méthodes directes.

Dunod, 2000.

[LT00b]P. LASCAUXet R. THÉODOR.Analyse numérique matricielle appliquée à l"art de l"ingénieur. 2. Méthodes itératives.

Dunod, 2000.

Ouvrages rédigés en anglais

[Act90]F. S. ACTON.Numerical methods that (usually) work. The Mathematical Association of America, 1990.

[Atk89]K. ATKINSON.An introduction to numerical analysis. John Wiley & Sons, second edition, 1989. [Axe94]O. AXELSSON.Iterative solution methods. Cambridge University Press, 1994.DOI:?? ? ???? ?

[CLR+09]T. H. CORMEN, C. E. LEISERSON, R. L. RIVEST, and C. STEIN.Introduction to algorithms. MIT Press, third edition,

2009.

[DB08]G. DAHLQUISTand Å. BJÖRCK.Numerical methods in scientific computing. Volume I. SIAM, 2008.DOI:???

[GGK14]W. GANDER, M. J. GANDER, and F. KWOK.Scientific computing. An introduction using Maple and MATLAB,

[GV13]G. H. GOLUBand C. F. VANLOAN.Matrix computations. Johns Hopkins University Press, fourth edition, 2013.

[IK94]E. ISAACSONand H. B. KELLER.Analysis of numerical methods. Dover, 1994.

[LeV07]R. J. LEVEQUE.Finite difference methods for ordinary and partial differential equations: steady-state and time-

[MM05]K. W. MORTONand D. F. MYERS.Numerical solution of partial differential equations. Cambridge University Press,

[PTV+07]W. H. PRESS, S. A. TEUKOLSKY, W. T. VETERLING, and B. P. FLANNERY.Numerical recipes: the art of scientific

computing. Cambridge University Press, third edition, 2007.

[QV97]A. QUARTERONIand A. VALLI.Numerical approximation of partial differential equations, volume 23 ofSpringer

[SB02]J. STOERand R. BULIRSCH.Introduction to numerical analysis, volume 12 ofTexts in applied mathematics.

[SM03]E. SÜLIand D. F. MAYERS.An introduction to numerical analysis. Cambridge University Press, 2003.DOI:

[TB97]L. N. TREFETHENand D. BAU, III.Numerical linear algebra. SIAM, 1997.

[Var00]R. S. VARGA.Matrix iterative analysis, volume 27 ofSpringer series in computational mathematics. Springer,

[Wil65]J. H. WILKINSON.The algebraic eigenvalue problem,Numerical mathematics and scientific computation. Oxford

University Press, 1965.

[You71]D. M. YOUNG.Iterative solution of large linear systems. Academic Press, 1971. ii

Table des matières

1 Généralités sur l"analyse numérique et le calcul scientifique

1

1.1 Différentes sources d"erreur dans une méthode numérique

2

1.2 Quelques notions d"algorithmique

3

1.2.1 Algorithme

3

1.2.2 Codage

4

1.2.3 Efficacité et complexité

4

1.3 Arithmétique à virgule flottante

8

1.3.1 Système de numération

9

1.3.2 Représentation des nombres réels en machine

10

Arrondi

12

1.3.3 Arithmétique en précision finie

13 Un modèle d"arithmétique à virgule flottante 14

Multiplication et addition fusionnées

14

Perte d"associativité et de distributivité

14

Soustraction exacte

15

Arithmétique complexe

16

1.3.4 La norme IEEE 754

16

1.4 Propagation des erreurs et conditionnement

17

1.4.1 Propagation des erreurs dans les opérations arithmétiques

17

Cas de la multiplication

17

Cas de la division

18

Cas de l"addition et de la soustraction

18

1.4.2 Analyse de sensibilité et conditionnement d"un problème

19

Problème bien posé

19

Conditionnement

19

Quelques exemples

22

1.5 Analyse d"erreur et stabilité des méthodes numériques

28

1.5.1 Analyse d"erreur directe et inverse

29

Quelques exemples (simples) d"analyse d"erreur

30

1.5.2 Stabilité numérique et précision d"un algorithme

33

1.6 Notes sur le chapitre

35

Références

37

I Algèbre linéaire numérique

39

2 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires

43

2.1 Exemples d"application

43

2.1.1 Estimation d"un modèle de régression linéaire en statistique *

44

2.1.2 Résolution numérique d"un problème aux limites par la méthode des différences finies *

45

2.2 Stockage des matrices

46

2.3 Remarques sur la résolution des systèmes triangulaires

50

2.4 Méthode d"élimination de Gauss

52
iii

2.4.1 Élimination sans échange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.2 Élimination de Gauss avec échange

54

2.4.3 Résolution de systèmes rectangulaires par élimination

55

2.4.4 Choix du pivot

55

2.4.5 Méthode d"élimination de Gauss-Jordan

57

2.5 Interprétation matricielle de l"élimination de Gauss : la factorisation LU

58

2.5.1 Formalisme matriciel

58

Matrices des transformations élémentaires

58

Factorisation LU

59

2.5.2 Condition d"existence de la factorisation LU

62

2.5.3 Mise en oeuvre

64

2.5.4 Factorisation LU de matrices particulières

68
Cas des matrices à diagonale strictement dominante 68

Cas des matrices bandes

69

Cas des matrices tridiagonales

70

Cas des matrices de Hessenberg

71

Cas des matrices de Toeplitz

71
Phénomène de remplissage lors de la factorisation de matrices creuses 74

2.6 Autres méthodes de factorisation

75

2.6.1 Factorisation LDM

>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

2.6.2 Factorisation de Cholesky

76

2.6.3 Factorisation QR

78

2.7 Stabilité numérique des méthodes directes *

84

2.7.1 Résolution des systèmes triangulaires *

85

2.7.2 Élimination de Gauss et factorisation LU *

85

2.7.3 Factorisation de Cholesky *

86

2.7.4 Factorisation QR **

87

2.8 Notes sur le chapitre

87

Références

89

3 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires

93

3.1 Méthodes linéaires stationnaires du premier degré

94

3.1.1 Généralités

94

3.1.2 Méthode de Jacobi

99

3.1.3 Méthodes de Gauss-Seidel et de sur-relaxation successive

100

3.1.4 Méthode de Richardson stationnaire

102

3.1.5 Méthode des directions alternées

103

3.1.6 Résultats de convergence

103
Cas des matrices à diagonale strictement dominante 104
Cas des matrices hermitiennes définies positives 105

Cas des matrices tridiagonales

107

3.1.7 Remarques sur la mise en oeuvre des méthodes

111

3.2 Méthodes de projection

112

3.2.1 Méthode de Kaczmarz

112

3.2.2 Méthode de Cimmino

112

3.3 Notes sur le chapitre

113

Références

115

4 Calcul de valeurs et de vecteurs propres

117

4.1 Exemples d"application **

118

4.1.1 Détermination des modes propres de vibration d"une plaque *

118

4.1.2 Évaluation numérique des noeuds et poids des formules de quadrature de Gauss **

119

4.1.3 PageRank

119

4.2 Localisation des valeurs propres

122

4.3 Conditionnement d"un problème aux valeurs propres

123
iv

4.4 Méthode de la puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.4.1 Approximation de la valeur propre de plus grand module

124

4.4.2 Déflation

127

4.4.3 Méthode de la puissance inverse

128

4.4.4 Méthode de Lanczos **

128

4.5 Méthodes pour le calcul de valeurs propres d"une matrice symétrique

128

4.5.1 Méthode de Jacobi pour une matrice réelle

129

Matrices de rotation de Givens

129

Méthode de Jacobi

131

Méthode de Jacobi cyclique

134

4.5.2 Méthode de Givens-Householder **

134

4.6 Méthodes pour la calcul de la décomposition en valeurs singulières ***

137

4.7 Notes sur le chapitre

138

Références

139

II Traitement numérique des fonctions

143

5 Résolution numérique des équations non linéaires

147

5.1 Exemples d"applications *

147

5.1.1 Équation de Kepler

148

5.1.2 Équation d"état de van der Waals pour un gaz

148

5.1.3 Calcul du rendement moyen d"un fonds de placement

149

5.2 Ordre de convergence d"une méthode itérative

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