Convex Optimization
This book is about convex optimization a special class of mathematical optimiza- tion problems
Optimisation convexe
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Eléments danalyse et doptimisation convexe.
Dans ce chapitre nous présentons quelques propriétés remarquables des fonctions convexes. Elle permettront de construire des algorithmes de minimisation dans
Optimisation et analyse convexe
OPTIMISATION. ET. ANALYSE CONVEXE. Exercices et problèmes corrigés avec rappels de cours. Jean-Baptiste Hiriart-Urruty. Collection dirigée par Daniel Guin.
Convex Optimization
4 sept. 2009 Boyd & Vandenberghe Convex Optimization
Convex Optimization – Boyd and Vandenberghe
surprisingly many problems can be solved via convex optimization. Introduction. 1–8 convex and y is a random variable with log-concave pdf then.
Optimisation des fonctions convexes
Optimisation des fonctions convexes D7 : Une fonction réelle f définie sur C convexe est dite convexe si pour tout (a
Convex Optimization Basics
Is this convex? What is the criterion function? The inequality and equality constraints? Feasible set? Is the solution unique when: • n
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La fonction f est convexe (donc toute combinaison linéaire avec des coefficients stric- tement positifs de fonctions convexes est convexe). 2. Si au moins l'une
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sition of similarity and regularisation term into two convex optimisation steps. This approach enables non-parametric registration with billions.
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Ce document est un support pour le cours d'optimisation Il n'a donc pas vocation `a être complet mais vient en appui aux séances de cours
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19 fév 2020 · 4 1 Méthodes optimales en optimisation convexe différentiable 45 4 1 1 Cas convexe différentiable
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2 2 1 Fonctions convexes strictement convexes fortement convexes 11 4 2 3 Applications de la théorie du point selle à l'optimisation
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19 nov 2009 · 1 Géométrie et analyse convexe 2 Optimisation : idées exemples convexité 3 Optimisation de la production électrique en France
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In our opinion convex optimization is a natural next topic after advanced linear algebra and linear programming (Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe)
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I 1 Introduction à la programmation linéaire 1 I 1 1 Un problème d'optimisation linéaire en dimension 2 II 2 4 Fonctions convexes
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On dit que f est strictement convexe si l'inégalité ci-dessus est stricte pour x = y t ?]01[ Rappelons que toute fonction convexe possède une régularité
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16 oct 2015 · pdf pour la r`egle dite d'Armijo – Analyse théorique – Hypoth`eses pour résultat théorique simple : f deux fois dérivable convexe LI f (x)
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Pour les fonctions convexes différentiables on pourra consulter [12] Cha- pitre IV Section 4 par exemple * Exercice I 1 Soit f : Rn ?? R continûment
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1 1 1 Généralités 1 1 2 Convexité dans les espaces de Hilbert 5 1 3 Convexité et convergence faible 12 2 Fonctions convexes
Comment montrer qu'un problème est convexe ?
Théorème 2.1 Un fonction f est convexe si et seulement si, pour tout (x, y) ? (dom(f))2 et ? ? 0 tels que y + ?(y ? x) ? dom(f), f satisfait : f(y + ?(y ? x)) ? f(y) + ?(f(y) ? f(x)).19 fév. 2020Comment la convexité permet d'optimiser certains marchés économiques ?
C'est un concept utile dans le cadre du trading sur obligations car la comparaison des durées des obligations peut permettre aux investisseurs d'anticiper le degré de variation du cours d'une obligation suite à un changement de taux d'intérêt.Comment montrer qu'une fonction est fortement convexe ?
Une fonction f : K ?? R est dite fortement convexe ou uniformément convexe ou ?-convexe ou ?-elliptique s'il existe ? > 0 tel que, pour tous (x, y) ? K2, t ? [0,1], f(tx + (1 ? t)y) ? tf(x) + (1 ? t)f(y) ? ? 2 t(1 ? t)x ? y2.- La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ? 0 pour tout x de I. Soit la fonction f définie sur R par f (x) = 1 3 x3 ?9x2 + 4.
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Cours en Master M1 SITN
Ionel Sorin CIUPERCA
1Table des matières
1 Introduction 4
2 Quelques rappels de calcul différentiel, analyse convexe et extremum 5
2.1 Rappel calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Quelques Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Quelques rappels sur le calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Rappel formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Quelque rappels sur le matrices carrées réelles . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Fonctions convexes, strictement convexes, fortement convexes . . . . 11
2.2.2 Exemples des fonctions convexes, strictement convexes et fortement
convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3 Fonctions coercives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Conditions nécéssaires et suffisantes de minimum . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Existence et unicité d"un point de minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Optimisation sans contraintes 23
3.1 Méthodes de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Description de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2 Cas particulier des fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Méthodes de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Méthodes de gradient à pas optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.2 Autres méthodes du type gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 La méthode des gradients conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Le cas quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 Cas d"une fonctionJquelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Optimisation avec contraintes 39
4.1 Rappel sur les multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Optimisation sous contraintes d"inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.1 Conditions d"optimalité de premier ordre : multiplicateurs de Karush-
Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.2 Théorie générale du point selle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
24.2.3 Applications de la théorie du point selle à l"optimisation . . . . . . 51
4.2.4 Le cas convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Algorithmes de minimisation avec contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1 Méthodes de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.2 Méthodes de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.3 Méthodes de pénalisation exterieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.4 Méthode d"Uzawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3Chapitre 1
Introduction
En généraloptimisersignifie le fait de chercher une configuration optimale d"un sys-tème, c"est à dire, chercher la meilleure configuration parmi tous les configurations possibles
du système et ceci, par rapport à un critère donné. Pour décrire (et éventuellement résoudre) un problème d"optimisation nous utilisons la modélisation mathématique. La démarche de modélisation comporte 3 étapes : Etape 1.Choisir lesvariables de décision, qui sont les composantes du système sur lesquelles on peut agir. On supposera dans ce cours qu"il y a un nombre finit notén2INde variables de décision, chacune de ces variables étant un nombre réel. Alors les variables
de décision seront représentés par un vecteurx= (x1;x2;xn)T2IRn(vecteur colonne). Etape 2.Décrirel"étatdu système, étant donnée une configuration des variables de décision. Ceci revient mathématiquement à se donner une fonctionJ:IRn!IRqui s"appellefonction objectifoufonction coûtet que nous voulons rendre la plus petite possible ou la plus grande possible. Etape 3.Décrire lescontraintesque les variables de décision satisfont. Ceci revient à définir un ensemble de contraintesUIRnet imposer d"avoirx2U. Pour résumer on peut dire que pour décrire un problème d"optimisation on se donne1. Une fonctionJ:IRn7!IR(fonction coût)
2. Un ensembleUIRn(ensemble des contraintes)
On cherche à minimiserJsurU, c"est à dire, on cherchex2Utel queJ(x) = minx2UJ(x)
ou équivalentJ(x)J(x);8x2U:
Motivation et exemples pratiques :en classe
4Chapitre 2
Quelques rappels de calcul différentiel,
analyse convexe et extremum2.1 Rappel calcul différentiel
2.1.1 Quelques Notations
1. Pour toutn2IN;IRndésigne l"espaceeuclidienIRIRIR( "produitnfois").
En général un vecteurx2IRnsera notéx= (x1;x2;xn)T(vecteur colonne).2. On notee1;e2;enles éléments de labase canoniquedeIRn, oùeiest le vecteur
deIRndonné par : (ei)j=ij=0sij6=i1sij=i;8i;j= 1;2n(2.1)
(ij=symboles deKronecker).3. Pour tousx;y2IRnon note par< x;y >2IRleproduit scalairedexety, qui
est donné par < x;y >=nX i=1x iyi: Deux vecteursx;y2IRnsontorthogonaux(on noterax?y) si< x;y >= 0.4. Pour toutx2IRnon note parkxk 0lanorme euclidiennedex, donnée par
kxk=p< x;x >=v uutn X i=1x 2i: Rappellons lespropriétés d"une norme(donc aussi de la norme euclidienne) : i)kxk=jjkxk 82IR;8x2IRn ii)kx+yk kxk+kyk 8x;y2IRn iii)k0k= 0etkxk>0six2IRn f0g. 55. Pour tousx2IRnetr >0on notera parB(x;r)laboule ouvertedu centrexet
rayonr, donnée parB(x;r) =fy2IRn;kyxk< rg:
6. Si x(k) k2INest une suite dansIRnetxest un élément deIRnon dit quex(k) convergeversx(notéex(k)!x) sikx(k)xk !0. Rappellons que nous avons :x(k)!xsi et seulement six(k) i!xienIRoùx(k) i(respectivementxi) est lai-ème composante dex(k)(respectivementx).7. SoitUIRn.
- On définitl"intérieurdeUcomme l"ensemble des élémentsx2Upour lesquels il exister >0tel queB(x;r)U. - On dit queUestouvertsi8x2U9r >0tel queB(x;r)U. - On dit queUestfermési pour tout suitefx(k)g Utel quex(k)!x2IRnon ax2U.8. Sia;b2IRnon note[a;b]le sous-ensemble deIRndonné par
[a;b] =fa+t(ba)(1t)a+tb; t2[0;1]g: L"ensemble[a;b]est aussi appelléle segmentreliantaàb.Remarques :
[a;b] = [b;a](Exo!) Sia;b2IRaveca < bon retrouve la notation[a;b]pour l"intervalle des nombres x2IRtels queaxb.9. Rappellons aussi l"inégalité de Cauchy-Schwarz :
j< x; y >j kxk kyk 8x;y2IRn:2.1.2 Quelques rappels sur le calcul différentiel
On considère dans cette partiemetndeux nombres deN(très souvent dans ce cours on auram= 1).1. SoitUun sous-ensemble deIRnetf:U7!IRm.
On dit quefestcontinueenx2Usif(x(k))!f(x)pour toute suitex(k)U telle quex(k)!x. On dit quefest continue surUsifest continue en tout pointx2U. Remarque :Sif= (f1;f2;fm)avecf1;f2;fm:U!IRalorsfest continu enx2Usi et seulement sif1;f2;fmsont continues enx.Pour tous les poins suivants on va supposer que
est un ouvert de IRnetfest une fonctionf: !IRm. 62. Pour toutx2
eth2IRnon note (quand9) @f@h (x) = limt7!01t [f(x+th)f(x)] (c"est ladérivée directionnelledefenxdans la directionh).Remarques :
i)@f@0(x) = 0: ii)Sif= (f1;f2;fn)T2IRnavecf1;f2;fm: !IRalors @f@h (x) =@f1@h (x);@f2@h (x);@fm@h (x) T3. Pour toutx2
et touti2 f1;2;;ngon note (quand9) @f@x i(x) =@f@e i(x) = limt7!01t [f(x+tei)f(x)] (c"est ladérivée partielledefenxpar rapport à la variablexi.)En particulier, sin= 1on notef0(x) =@f@x
1(x) = limt!01t
[f(x+t)f(x)] = lim y!x1yx[f(y)f(x)]4. Pour toutx2
on note (quand9)Jf(x) =lamatrice Jacobiennedefenxqui est un élément deMm;n(IR)définie par (Jf(x))ij=@fi@x j(x)2IR8i= 1;m;8j= 1;n: Legradientdefenxest défini comme la transposée de la matrice Jacoblenne de fenx: rf(x) = (Jf(x))T2 Mn;m(IR): Remarque importante :Dans le cas particulierm= 1(doncf: !IR) alors en considérant tout élément deMn;1comme un vector colonne deIRn, on va dire que rf(x)est le vecteur colonne rf(x) =@f@x 1@f@x2;@f@x
n T 2IRn:Rappellons la formule :
@f@h (x) =8h2IRn:
5. Sif:
!IR(icim= 1) on dit qu"un pointx2 est unpoint critiquepour la fonctionfsirf(x) = 0. 76. Pour toutx2
eti;j2 f1;2;ngon note (quand9) 2f@x i@xj(x) =@@x i @f@x j (x)2IRm dérivée partielle à l"ordre 2.Notation :pouri=jon écrira@2f@
2xi(x)à la place de@2f@x
i@xi(x).7. Dans le casm= 1on note pour toutx2
(quand9)r2f(x) =la matrice carrée 2 M n(IR)donnée par r2f(x) ij=@2f@x i@xj(x);8i;j= 1;2;n: (r2f(x)s"appelle aussila matrice Hessiennedefenx).8. On dit quefest de classeCpsur
(on noteraf2Cp( )) pourp= 1oup= 2 si les dérivées partielles desfjusqu"à l"ordrepexistent et sont continues sur . Par extension on dit quefest de classeC0sur sifest continue sur9. On a le Théorème de Schwarz : sif2C2(
)alors 2f@x i@xj(x) =@2f@x j@xi(x)8x2 ;8i;j= 1;n (c"est à dire, la matricer2f(x)est symmétrique).10. (Lien entrer;Jfetr2) : Sif:
!IRest de classeC2alors r2f(x) =Jrf(x) =rJf(x)8x2
(la matrice Hessienne defest le Jacobien du gradient defou le gradient de laJacobienne def).
11. (Composition) Soient
IRn; UIRmavec
;Uouvertsf: !IRm; g:U! IR pavecp2INetf( )U. Considérons la fonction composéegf: !IRp. i)Sifetgsont continues alorsgfest continue. ii)Sifetgsont de classeC1alorsgfest de classeC1et on a l"égalité matricielle J gf(x) =Jg(f(x))Jf(x)8x2Conséquences :
i)Sim=p= 1alors r(gf)(x) =g0(f(x))rf(x): i)Sin=p= 1alors (gf)0(x) =Proposition 2.1.Nous avons
r2f(x)h=r8x2
;8h2IRn: où le premier gradient dans le membre de droite de l"égalité est considéré par rapport à la
variablex.Démonstration.On a :
@@x i1. Sif:IRn!IRmest une fonctionconstantealorsrf= 0etJf= 0. On a aussi
évidementr2f= 0dans le casm= 1.
2. Soitf:IRn!IRmdéfinie par
f(x) =Ax8x2IRn oùA2 Mm;n(IR)est une matrice donné (c"est à dire,fest une fonctionlinéaire).Il est facile de voir qu"on a
J f(x) =A8x2IRn (la matrice Jacobienne est constante). Dans la cas particulierm= 1une fonction linéaire générale peut être écrite sous la forme f(x) =< a; x >8x2IRn oùa2IRnest un vecteur donné. Il est clair alors que rf=a et r2f= 0:
3. Soitf:IRn!IRdonnée par
f(x) =< Ax; x >8x2IRn; oùA2 Mn(IR)est un matrice carrée, réelle, de taillen(c"est à dire,fest laforme quadratiqueassociée à la matriceA). Alors pour unp2 f1;2;ngfixé, on peutécrire
f(x) =nX i;j=1A ijxixj=Appx2p+nX j=1;j6=pA pjxpxj+nX i=1;i6=pA ipxixp+nX i;j=1;i6=p;j6=pA ijxixj 9 ce qui nous donne @f@x p= 2Appxp+nX j=1;j6=pA pjxj+nX i=1;i6=pA ipxi=nX j=1A pjxj+nX i=1A ipxi= (Ax)p+(ATx)p:Nous avons donc obtenu :
rf(x) = (A+AT)x;8x2IRn:En utilisant la formuler2f=Jrfon déduit
r2f(x) =A+AT;8x2IRn
(donc la hessienne defest constante). Remarque :En particulier, siAestsymmétrique(c"est à direA=AT) alors r< Ax; x >= 2Ax;8x2IRn: r2< Ax; x >= 2A;8x2IRn:
2.1.3 Rappel formules de Taylor
Proposition 2.2.(sans preuve)
SoitIRnouvert,f:
7!IR;a2
eth2IRntels que[a;a+h] . Alors :1. Sif2C1(
)alors i)f(a+h) =f(a) +R10 dt
(formule de Taylor à l"ordre 1 avec reste intégral). ii)f(a+h) =f(a)+2. Sif2C2(
)alors i)f(a+h) =f(a)+0(1t) dt
(formule de Taylor à l"ordre 2 avec reste intégral). ii)f(a+h) =f(a)+2.1.4 Quelque rappels sur le matrices carrées réelles
Soitn2INetA2 Mn(IR)une matrice carrée réelle.1. SoitC=l"ensemble des nombres complexes. On rappelle que2Cest unevaleur
propredeAs"il existex2Cnavecx6= 0tel queAx=x; on appellexvecteur propredeAassocié à la valeur propre.2. On dit que la matriceAestsemi-définie positivesi< Ax;x >0;8x2IRn.
On dit queAestdéfinie positivesi< Ax;x > >0;8x2IRnavecx6= 0.3. Rappellons que siAest symétrique alors toutes les valeurs propres deAsont réelles;
en plus il existenvecteurs propres deAappartenant àIRnformant une base ortho- normée enIRn.4. Supposons que la matriceAest symétrique. Alors
< Ah; h >minkhk2;8h2IRn oùmin2IRest la plus petite valeur propre deA. Rémarquons que l"inégalité précédente devient égalité sihest un vecteur propre associé à la valeur propremin.5. Supposons queAest symétrique. AlorsAest semi-définie positive si et seulement si
min0etAest définie positive si et seulement simin>0.6.Abréviation :La notation SDP pour une matrice carrée rélle signifie "matrice sy-
métrique et définie positive" (elle ne signifie pas "matrice semi-définie positive" !).2.2 Convexité
2.2.1 Fonctions convexes, strictement convexes, fortement convexes
Définition 2.3.Un ensembleUIRnest ditconvexesi8x;y2Uon a[x;y]U (quelque soit deux points dansU, tout le segment qui les unit est dansU). Définition 2.4.SoitUIRnun ensemble convexe etf:U!IRune fonction.1. On dit quefestconvexesurUsi
f(ty+ (1t)x)tf(y) + (1t)f(x);8x;y2U;8t2[0;1]2. On dit quefeststrictement convexesurUsi
f(ty+ (1t)x)< tf(y) + (1t)f(x);8x;y2Uavecx6=y;8t2]0;1[:3. On dit quefestfortement convexesurUs"il existe >0tel que
f(ty+ (1t)x)tf(y) + (1t)f(x)t(1t)kyxk2;8x;y2U;8t2[0;1] 114. On dit quefestconcave(respectivementstrictement concave, respectivement
fortement concave) sifest convexe (respectivement strictement convexe, res- pectivement fortement convexe). Remarque :Il est facile de voir qu"on a : fortement convexe=)strictement convexe =)convexe. Les réciproques ne sont pas vraies en général; par exemple une application affinef(x) =Ax+best convexe (et aussi concave) mais elle n"est pas strictement convexe (ni strictement concave) donc elle n"est pas fortement convexe (ni fortement concave).On a le résultat utile suivant :
Proposition 2.5.SoitUIRnun ensemble convexe,p2IN,f1;f2;;fp:U!IR des fonctions convexes et 1; 2;; ndes constantes strictement positives.Posonsf=
1f1+ 2f2+ pfp. Alors on a :1. La fonctionfest convexe (donc toute combinaison linéaire avec des coefficients stric-
tement positifs de fonctions convexes est convexe).2. Si au moins l"une des fonctionsf1;;fpest strictement convexe alorsfest stric-
tement convexe.3. Si au moins l"une des fonctionsf1;;fpest fortement convexe alorsfest fortement
convexe.Démonstration.Laissée en exercice!Il est en général difficile de vérifier la convexité d"une fonction en utilisant uniquement
la définition (essayez avecf(x) =x2ou avecf(x) =x4!) Les propositions suivantesdonnent des critères de convexité, convexité stricte et convexité forte, plus faciles à utiliser
que les définitions respectives. Proposition 2.6.(caractérisation de la convexité) SoitIRnouvert,U
avecUconvexe etf:7!IR une fonction de classeC1.
Alors a)Les 3 propositions suivantes sont équivalentes :1.fest convexe surU
2. f(y)f(x)+3.rfestmonotone surU, c"est à dire
1) =)2) :Supposonsfconvexe; la définition de la convexité peut s"écrire
f(x+t(yx))f(x)t[f(y)f(x)] En fixantx;yen divisant partet en faisantttendre vers 0 (ce qui est possible cart2[0;1]) on obtient 2).2) =)3) :De 2) on déduit
f(y)f(x)+3) =)1) :Soientx;y2Ufixés. On introduit la fonctiong:I!IRdéfinie par
t2I!g(t) =f(ty+ (1t)x)2IR oùIest un intervalle ouvert qui contient[0;1]. Il est facile de voir quegest de classeC1 et on a g0(t) =8t2I:
Soientt1;t22[0;1]avect1< t2. Alors
g0(t2)g0(t1) ==
7!IRla fonction donnée parg(x) =;8x2
. Nous avons en utilisant aussi la Proposition 2.1 : [0;1], de l"égalité précédente on déduit à l"aide de la monotonie derfque
0, c"est à dire (2.2).
"(=" Supposons maintenant que (2.2) est satisfaite et montrons quefest convexe. Soient x;y2Ufixées arbitraires, et considérons la fonctiong1:7!IRdonnée par
g1(z) =8z2
. Alors [PDF] modélisation et simulation d'un moteur ? courant continu matlab
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