[PDF] SLCI - Modélisation des SLCI MODÉLISATION PAR SCHÉMAS

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CI 2 - SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DESSYSTÈMES

LINÉAIRESCONTINUSINVARIANTS

CHAPITRE3 - MODÉLISATION DESSYSTÈMESLINÉAIRESCONTINUS

INVARIANTS

MODÉLISATION PAR SCHÉMAS BLOCSMoteur à courant continuSchématisationSchéma bloc

On a vu précédemment que les équations différentielles régissant le comportement d"un système peuvent être

transformées dans le domaine de Laplace dans le but d"être résolues.

La complexité des systèmes nous poussent à utiliser une représentation schématique : les schémas blocs. Il

bloc et la modélisation dans le domaine de Laplace? C ommentdéter minerla fonction de tr ansfertd "unsystème dans le but de pr évoirson comportement???????-M odéliser:

M od-C4.1: R eprésentationpar schéma bloc

M od-C4.2: F onctionde tr ansferten boucle ouv erteet en boucle fer mée

M od-C4.3: Classe d "unsystème

M od-C4-S1: É tablirle schéma-bloc du système M od-C4-S2: D éterminerles fonctions de tr ansfertdu système en boucle ouv erteet en boucle fermée.

R ésoudre:

R és-C5-S1: Schéma bloc ou d "unefonction de tr ansfertles gr andeurscar actérisantles performances du modèle

Ce document est en évolution permanente. Merci de signaler toutes erreurs ou coquilles.2013 - 2014

Xavier PESSOLES1CI 2 : SLCI - Cours

Ch 3 : Modélisation des SLCI - P

On adopte, pour le moteur à courant continu, la représentation suivante :Loi des mailles dans le circuit électrique :

u(t)=e(t)+Ri(t)+Ldi(t)dtCouple de frottement en sortie du moteur : c r(t)=fv!m(t) Équation de la dynamique de l"arbre moteur :2013 - 2014

Xavier PESSOLES2CI 2 : SLCI - Cours

Ch 3 : Modélisation des SLCI - P

J d!m(t)dt =cm(t)cr(t)

Équation électromécanique :

e(t)=KE!m(t)c m(t)=KCi(t)

Ainsi, dans le cas du moteur à courant continu, on peut écrire l"équation différentielle liant la tension d"entrée

aux bornes du circuit électriqueu(t)et la vitesse angulaire!m(t):???????Équation différentielle du MCC :

K e+R fvK C‹

C+L fvK

C‹ d!m(t)dt +L JK 2 Cd

2!m(t)dt

2 Dans le cas où on néglige l"impact du couple résistant, on a : u(t)=Ke!m(t)+R JK

Cd!m(t)dt

+L JK 2 Cd

2!m(t)dt

2

Soit un système linéaire, continu, invariant et mono-variable d"entréee(t)et de sorties(t). Le système est donc

modélisable par une équation différentielle de la forme suivante : a

0s(t)+n

X i=1a idis(t)dt i=b0e(t)+m X i=1b idie(t)dt inm

Ce système est modélisable par un schéma bloc :Systèmee(t)s(t)En se plaçant dans les conditions de Heaviside, l"équation différentielle de transforme dans le domaine de

Laplace :

a

0S(p)+n

X i=1a ipiS(p)=b0E(p)+m X i=1b ipiE(p)

En factorisant l"expression, on obtient donc :

S(p)n X i=0a ipi=E(p)m X i=0b ipi2013 - 2014

Xavier PESSOLES3CI 2 : SLCI - Cours

Ch 3 : Modélisation des SLCI - P

On définit la fonction de transfert d"un système la fonctionH(p)telle que :

H(p)=S(p)E(p)=m

P i=0b ipin P i=0a ipi=N(p)D(p)???????Équation du MCC dans le domaine de Laplace : K e+R fvK C‹

C+L fvK

C‹ p m(p)+L JK 2 Cp2 m(p) ()U(p)= m(p) K e+R fvK C‹

C+L fvK

C‹ p+L JK 2 Cp2

Fonction de Transfert du MCC :

H(p)= K e+R fvK C‹

C+L fvK

C‹ p+L JK 2 Cp

KeKC+R fvK

C‹ C‹ p+L JK 2 Cp 2 Sous sa forme normalisée, la fonction de transfert devient : H(p)= m(p)U(p)=K CK

CKe+R fv‹

p+L JK 2

CKe+RKCfvp

2 Note : le dénominateur a été factorisé parKe+R fvK

C=KCKe+R fvK

C. Dans le cas où on néglige l"impact du couple résistant, on a : H(p)= m(p)U(p)=1K e1+R JK

CKep+L JK

2 CKep

22013 - 2014

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Ch 3 : Modélisation des SLCI - P

est alors représenté par le schéma bloc suivant :H(p)E(p)S(p)La relation entrée - sortie du système se met alors sous la forme :

H(p)E(p)S(p)1

H(p)S(p)E(p)???????Schéma bloc du moteur à courant continu :

H(p)U(p)

m(p)On a bien : s"écrire sous cette forme :

H(p)=N(p)D(p)=Kpz1pz2...pzmp

pp1pp2...ppn Les zisont leszérosde la fonction de transfert (réels ou complexes). Les pisont lespôlesde la fonction de transfert (réels ou complexes). -Le degré deD(p)est appelé ordrendu système (nmpour les systèmes physiques). L "équationD(p)=0 est appelée équation caractéristique. Le facteur constant Kest appelé gain du système. S "ilexiste une (ou des) r acinesnulles d "ordredeD(p), un termepapparaît au dénominateur.

est la classe (ou type) de la fonction de transfert. Il correspond au nombre d"intégrations pures du2013 - 2014

Xavier PESSOLES5CI 2 : SLCI - Cours

Ch 3 : Modélisation des SLCI - P

Le schéma fonctionnel, ou schéma bloc, est ainsi une représentation graphique du système d"équations

différentielles, ou des relations entre les variables que décrit le système d"équations différentielles.???????Pour établir un schéma fonctionnel la démarche est la suivante :

1.

A ppliquerla tr ansforméede Laplace à chaque équation du système différ entiel: on obtient alors un

système d"équations linéaires dans le domaine de Laplace, que va traduire le schéma. 2. R echercherles fonctions de tr ansfertélémentair eset les v ariablesqu "ellesr elient. 3.

C onstituer,tr acerles schémas en assemblant les blocs des fonctions de tr ansfertélémentair es.

4. R assemblerles schémas ,simplifier à l "aidedes r èglesdéfinies un peu plus tar d.

La représentation par le schéma fonctionnel et la fonction de transfert permettent ainsi de déterminer les

caractéristiques principales du système sans résoudre d"équations différentielles.

Pour les équations "simples" de la physique, on peut aisément mettre les théorèmes fondamentaux sous forme

de schémas blocs et de fonctions de transfert.2013 - 2014

Xavier PESSOLES6CI 2 : SLCI - Cours

Ch 3 : Modélisation des SLCI - P

Théorème de la

résultante dynamique (position)Exemple : Mouvement d"un solide en translationF(t)=Md2x(t)dt

2F(p)=Mp2X(p)1

Mp

2F(p)X(p)Théorème de la

résultante dynamique (vitesse)F(t)=Mdv(t)dt

F(p)=MpV(p)1

MpF(p)V(p)Théorème du

moment dynamique (position)Mouvement d"un solide en rotationC(t)=Jd2(t)dt

2C(p)=Jp2(p)1

Jp

2C(p)(p)Théorème du

moment dynamique (vitesse)C(t)=Jd!(t)dt

C(p)=Jp

(p)1

JpC(p)

-C(t): le couple exprimé enNm -J: l"inertie exprimée enkg.m2-: position angulaire enrad -!: vitesse angulaire enrad=s

Frottements visqueux

pour des solides en translationf(t)=fd x(t)dt

F(p)=f pX(p)1

f pF(p)X(p)Frottements visqueux pour des solides en rotationFrottements dans les paliers d"un moteur à courant continuC(t)=fd(t)dt

C(p)=f p(p)1

f pC(p)(p)2013 - 2014

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Ch 3 : Modélisation des SLCI - P

Ressorts en

compression de raideurkf(t)=kx(t)F(p)=kX(p)1 kF(p)X(p)Ressorts en traction de raideurkC(t)=k(t)C(p)=k(p)1 Z i(t)dtU(p)=1Cp I(p)1

CpI(p)U(p)Inductanceu(t)=Ldi(t)dt

U(p)=LpI(p)LpI(p)U(p)????? ?????? ? ??????? ??????? ?? ?????? ??? ? ???????Exprimer les équations du moteur à courant continu sous forme de schéma bloc. c r(t)=fv!m(t) C r(p)=fv m(p)1 f vC r(p) m(p)e(t)=KE!m(t)

E(p)=KE

m(p)1 K EE(p) m(p)c m(t)=KCi(t) C m(p)=KCI(p)1 K

CI(p)C

m(p)u

R(t)=Ri(t)

U

R(p)=RI(p)RI(p)U

r(p)2013 - 2014

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Ch 3 : Modélisation des SLCI - P

L(t)=Ldi(t)dt

U

L(p)=LpI(p)LpI(p)U

L(p)u

L(t)+uR(t)=Ldi(t)dt

+Ri(t) U

L(p)+UR(p)=LpI(p)+RI(p)Lp

R+ +I(p)LpI(p)+RI(p)u(t)e(t)=uL(t)+uR(t)

U(p)E(p)=UL(p)+UR(p)

U(p)E(p)=LpI(p)+RI(p)+U(p)E(p)1

R+LpI(p)J

d!m(t)dt =cm(t)cr(t) Jp m(p)=Cm(p)Cr(p)+C m(p)C r(p)1 Jp m(p)Schéma bloc du MCC complet : ??? ???? ????? H 1(p)H 2(p)H

3(p)E(p)S(p)H(p)E(p)S(p)H(p)=H1(p)H2(p)H3(p)2013 - 2014

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Ch 3 : Modélisation des SLCI - P

??? ???? ?? ???????H 1(p)H 2(p)+ +E(p)S(p)H

H(p)=H1(p)+H2(p)

2013 - 2014

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Ch 3 : Modélisation des SLCI - P

Il peut être parfois intéressant de modifier un diagramme fonctionnel en vue de simplifier les calculs de fonctions de transfert. Pour

cela quelques règles sont à respecter. Les manipulations suivantes n"ont pas forcément de sens physique, mais sont symboliques. la FTBF s"exprime ainsi : H(p)=Chaîne directe1+Chaîne directeChaîne de retour

H(p)=KG(p)1+KG(p)F(p)

Recherchons la relation entreS(p)etE(p).

En analysant la chaîne directe :

S(p)=C(p)G(p)="(p)KG(p)

En analysant la chaîne de retour :

R(p)=S(p)F(p)

Équation donnée par le comparateur :

"(p)=E(p)R(p)

On peut donc en déduire que :

"(p)=E(p)S(p)F(p)2013 - 2014

Xavier PESSOLES11CI 2 : SLCI - Cours

Ch 3 : Modélisation des SLCI - P

S(p)=E(p)S(p)F(p)KG(p)

On a donc :

S(p)=KG(p)1+KG(p)F(p)E(p)

Au final :

H(p)=S(p)E(p)=KG(p)1+KG(p)F(p)

On a donc :+E(p)KG(p)"(p)S(p)F(p)R(p)H(p)E(p)S(p)???????Calcul de la FTBF du MCC :

Dans le but d"exprimer l"erreur du système, il est intéressant d"exprimer la fonction de transfert relative à l"erreur"(p). On

montre que : "(p)=11+KG(p)F(p)E(p)=11+Chaîne directeChaîne de retourE(p)2013 - 2014

Xavier PESSOLES12CI 2 : SLCI - Cours

Ch 3 : Modélisation des SLCI - P

Pour l"étude du comportement du système et pour déterminer certaines des ses performances on utilise la fonction de transfert en

boucle ouverte du système (FTBO). On déduit le comportement en boucle fermée (cas réel) à partir du système en boucle ouverte (la FTBO

est plus simple à manipuler).La boucle ouverte a donc la forme suivante :

La FTBO s"écrit donc ainsi :

F T BO(p)=KG(p)F(p)

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